高考数学基础知识总复习教案.doc

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《高考数学总复习系列》——高中数学选修2-1

第一章常用逻辑用语

******特别注意：

本章历来不做重点，只需知道“且”“或”“非”的特点即可

一、基础知识【理解去记】

1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：

若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若且即，则A是B的充要条件.

2.充要条件的问题要十分细心地去辨析：

“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：

“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题.

3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.

4.会用集合的子集的方法判断充要条件：

①A是B的充分条件（或B是A的必要条件）即A

②A是B的充分不必要条件

③A是B的充要条件

二、基础例题【必会】

注意在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。

例1.（2009全国高考卷）已知函数是减函数，求a的取值范围。

【分析】是在内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如在R上递减，但。

【解析】：

求函数的导数

（1）当时，是减函数，则故解得。

（2）当时，易知此时函数也在R上是减函数。

（3）当时，在R上存在一个区间在其上有，所以当时，函数不是减函数，综上，所求a的取值范围是。

【知识归类点拔】若函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：

①与为增函数的关系:

能推出为增函数，但反之不一定。

如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。

②时，与为增函数的关系:

若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。

∴当时，是为增函数的充分必要条件。

③与为增函数的关系:

为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。

当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。

∴是为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。

因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。

但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

因此本题在第一步后再对和进行了讨论，确保其充要性。

在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。

【练习】是否存在这样的K值，使函数在上递减，在上递增？

答案：

。

（提示据题意结合函数的连续性知，但是函数在上递减，在上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由求出K值后要检验。

）

注意：

易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。

例2.（2010年高考数学江苏卷，）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.

（Ⅰ）若首项，公差，求满足的正整数k；

（Ⅱ）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立.

【分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第（Ⅱ）时极易根据条件“对于一切正整数k都有成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。

还应进一步的由特殊到一般。

【解析】：

（I）当时

由，即又.

（II）设数列{an}的公差为d，则在中分别取k=1,2,得

（1）

（2）

由

（1）得当

若成立 ,

若故所得数列不符合题意.当

若

若.

综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

①{an}:

an=0，即0，0，0，…；②{an}:

an=1，即1，1，1，…；③{an}:

an=2n－1，即1，3，5，…，

第二章圆锥曲线与方程

一、基础知识【理解去记】

1．椭圆的定义，第一定义：

平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|=2c）.

第二定义：

平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e（0

（0

第三定义：

在直角坐标平面内给定两圆c1:

x2+y2=a2,c2:

x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。

从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为

（a>b>0），

参数方程为（为参数）。

若焦点在y轴上，列标准方程为

（a>b>0）。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆

，

a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为（±a,0）,（0,±b）,（±c,0）；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0

椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：

对于椭圆1（a>b>0）,F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两焦点。

若P（x,y）是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.

5.补充知识点：

几个常用结论：

1）过椭圆上一点P（x0,y0）的切线方程为

；

2）斜率为k的切线方程为；

3）过焦点F2（c,0）倾斜角为θ的弦的长为

。

6．双曲线的定义，第一定义：

满足||PF1|-|PF2||=2a（2a<2c=|F1F2|,a>0）的点P的轨迹；

第二定义：

到定点的距离与到定直线距离之比为常数e（>1）的点的轨迹。

7．双曲线的方程：

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为

，

参数方程为（为参数）。

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为

。

8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线

（a,b>0）,

a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为（-a,0）,（a,0）.左、右焦点为F1（-c,0）,F2（c,0），对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e>1。

两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。

若a=b，则称为等轴双曲线。

9．补充知识点：

双曲线的常用结论，

1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两个焦点。

设P（x,y）是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.

2）过焦点的倾斜角为θ的弦长是。

10．抛物线：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。

若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px（p>0），离心率e=1.

11．补充知识点

抛物线常用结论：

若P（x0,y0）为抛物线上任一点，

1）焦半径|PF|=；

2）过点P的切线方程为y0y=p（x+x0）；

3）过焦点倾斜角为θ的弦长为。

12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。

13．圆锥曲线的统一定义：

到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若01，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。

这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。

二、基础例题【必会】

1．与定义有关的问题

例1已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。

[解]见图11-1，由题设a=5,b=4,c==3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。

由定义知，则|PF|=|PQ|。

所以3|PA|+5|PF|=3（|PA|+|PF|）=3（|PA|+|PQ|）≥3|AM|（AM左准线于M）。

所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得，又x<0，所以点P坐标为

例2已知P，为双曲线C：

右支上两点，延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。

求证：

∠F1K=∠KF1Q.

[证明]记右准线为l，作PDl于D，于E，因为//PD，则，又由定义，所以，由三角形外角平分线定理知，F1K为∠PF1P的外角平分线，所以∠=∠KF1Q。

2．求轨迹问题

例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。

[解法一]利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：

=1（a>b>0）.F坐标为（-c,0）.设另一焦点为。

连结，OP，则。

所以|FP|+|PO|=（|FA|+|A|）=a.

所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=（,0）平移，得到中心在原点的椭圆：

。

由平移公式知，所求椭圆的方程为

[解法二]相关点法。

设点P（x,y）,A（x1,y1），则，即x1=2x+c,y1=2y.又因为点A在椭圆上，所以代入得关于点P的方程为。

它表示中心为，焦点分别为F和O的椭圆。

例4长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。

[解]设P（x,y）为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A（x-,0）,B（x+,0）,C（0,y-）,D（0,y+）,记O为原点，由圆幂定理知|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，用坐标表示为，即

当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；

当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；

当a

例5在坐标平面内，∠AOB=，AB边在直线l:

x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。

[解]设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B（3,3tanθ）,A（3,3tan（θ-））,设外心为P（x,y），由中点公式知OB中点为M。

由外心性质知再由得

×tanθ=-1。

结合上式有

•tanθ=①

又tanθ+=②

又

所以tanθ-=两边平方，再将①，②代入得。

即为所求。

3．定值问题

例6过双曲线（a>0,b>0）的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。

求证：

H的横坐标为定值。

[证明]设点B，H，F的坐标分别为（asecα,btan