全国卷高考圆锥曲线真题答案Word文件下载.docx
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∴km
m）﹣9m
即k2＞k2﹣6k，
则k＞0，
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，
由
（1）知OM的方程为y=x，
设P的横坐标为xP，
由得，即xP=，
;
将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，
即l的方程为y=kx+，
将y=x，代入y=kx+，
得kx+=x
解得xM=，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，
于是=2×
，
解得k1=4﹣或k2=4+，
∵ki＞0，ki≠3，i=1，2，
∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．
【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用
根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
2．（2015?
河北）在直角坐标系xOy中，曲线C：
y=与直线l：
y=kx+a（a＞0）交于M，
N两点．
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？
（说明理由）
（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：
y=，利用导数的运算法
则可得：
y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．
（II）存在符合条件的点
（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，
1
2﹣4kx﹣4a=0，
y），直线PM，PN的斜率分别为：
k
，k．直线方程与抛物线方程联立化为
x
利用根与系数的关系、斜率计算公式可得
k1+k2=
．k1+k2=0?
直线PM，PN的倾
斜角互补?
∠OPM=∠OPN．即可证明．
（I）联立，不妨取M，N，
由曲线C：
y=可得：
y′=，
∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：
y﹣a=，化为
．
同理可得曲线C在点N处的切线方程为：
．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：
设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：
k1，k2．
联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．
∴k1+k2=+==．
当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，
∴∠OPM=∠OPN．
∴点P（0，﹣a）符合条件．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相
交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．（2014?
新课标I）已知点A（0，﹣2），椭圆E：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，
F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ）设直线l：
y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用
△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
（Ⅰ）设F（c，0），由条件知
，得
又
所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程
．．（6分）
（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线
l：
y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
将y=kx﹣2代入
，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，
从而
又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，
设，则t＞0，，
当且仅当t=2，k=±
等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：
y=
x﹣2或y=﹣
x﹣2．（12分）
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，
椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转
化思想以及计算能力．
﹣
x﹣2x．
4．（2014?
新课标II）已知函数f（x）=ex﹣e
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜
＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到
0.001）．
【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；
对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；
对第（Ⅲ）问，根据第（
Ⅱ）问的结论，设法利用
的近似值，并寻求
ln2，于是在b=2
及b＞2的情况下分别计算
，最后可估计
ln2的近似值．
﹣x
﹣2
（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e+e
即f′（x）≥0，当且仅当ex=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．
（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，
2x
﹣2x
x﹣x
）+（4b﹣2）]
则g′（x）=2[e
+e
2b（e+e
）+（4b﹣4）]
=2[（e+e
）
﹣2b（e
﹣x
+2
﹣2b）．
=2（e+e
﹣2）（e
①∵e+e
＞2，e+e
+2＞4，
∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
从而g（x）在R上为增函数，而
g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．
②当b＞2时，若x满足2＜ex+e
x＜2b﹣2
即
，此时，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．
（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，
为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，
得．
当b=2时，由g（x）＞0，得，
从而；
令，得＞2，当
时，
由g（x）＜0，得，得
所以ln2的近似值为0.693．
【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．
2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．
3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第
（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从
而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．
5．（2014?
广西）已知抛物线
（p＞0）的焦点为F，直线y=4
与y轴的交点为P，
C：
y=2px
与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线
C的方程，求得
x0=，
根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．
（Ⅱ）设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求
得|MN|．由于MN垂直平分线段
AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求
得m的值，可得直线l的方程．
（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线
y2=2px（p＞0），
可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．
又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，
∴+=×
，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．
（Ⅱ）由题意可得，直线
l和坐标轴不垂直，
的焦点F（1，0），
y=4x
设l的方程为x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1?
y2=﹣4．
∴AB的中点坐标为D（2m2
+1，2m），弦长|AB|=
|y
y|=
=4（m+1）．
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线
l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得
y2+
y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=
，y3?
y4=﹣（42m2+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（
+2m
），∴|MN|=
3
+3，
|y﹣
y4|=，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，
∴+DE2=MN2，
+
=×
，化简可得
m
∴4（m+1）+
﹣1=0，
∴m=±
1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．
6．（2013?
新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
（a＞b＞0）右焦点的
直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段
222
的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a=b+c联立即可得到b，c．
（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到
AB
a，
弦长|AB|，利用S四边形ACBD=
即可得到关于
t的表达式，利用二次函数的单调
性即可得到其最大值．
（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣
=0得c+0﹣
=0，解得c=．
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），
则
，相减得
∴，
∴，又=，
∴，即a2=2b2．
联立得，解得，
∴M的方程为．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，
联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．
设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．
∴|CD|===
联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，
∴交点为A（0，），B，
∴|AB|==．
∴S四边形ACBD===，
∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．
∴四边形ACBD面积的最大值为．
【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线
与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面
积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．
7．（2013?
新课标Ⅰ）已知圆M：
（x+1）2+y2=1，圆N：
（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：
动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅
当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（
x﹣
2）2+y2=4．分①l的倾斜角
为90°
，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为
90
°
，由于⊙M的半径1≠R，可
知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据
，可得Q（﹣4，0），所以可设
y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．
（I）由圆M：
（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；
圆N：
（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．
设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，
而|NM|=2，由椭圆的定义可知：
动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．
∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），
由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径
最大，其方程为（
x﹣2）+y=4．
①l的倾斜角为
90°
，则l与y轴重合，可得|AB|=．
②若l的倾斜角不为
，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，
设l与x轴的交点为
Q，则
，可得Q（﹣4，0），所以可设l：
y=k（x+4），
由l于M相切可得：
，解得．
当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．
∴，．
∴|AB|===
由于对称性可知：
当时，也有|AB|=．
综上可知：
|AB|=或．
【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线
与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推
理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．
8．（2014?
沧州校级一模）已知双曲线C：
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为
F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：
|AF2|、
|AB|、|BF2|成等比数列．
（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表
示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲
线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其
与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于
A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线
的方程，从而可求得：
|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．
（I）由题设知=3，即
=9，故b2=8a2
所以
C的方程为
8x
﹣y=8a
将y=2代入上式，并求得
x=±
由题设知，2
，解得a2=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F1
（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8
①
由题意，可设l的方程为
y=k（x﹣3），|k|＜2
﹣6k
代入①并化简得（k
﹣8）x
x+9k
+8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1
≤﹣1，x2≥1，x1
+x2=
，于是
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