勾股定理全章教案全Word下载.docx
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如图，在△ABC中，∠A=90°
，DE为BC的垂直平分线，求证：
例题5、已知如图，在△ABC中，AB=20，AC=15,BC边上的高为12，求△ABC的周长。
【变式练习】1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°
，AB=50，BC=30，CD⊥AB于D，求CD的长。
2、如右图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°
，AB=3，BC=4，CD=5，AD=6。
求四边形ABCD的面积。
3、如图所示，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相聚25km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个废品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应当建在距离A站多远处？
4、如图所示，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端将水平滑动2m吗？
试着说明理由。
5、如图所示，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B,A两点，且知道AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？
【勾股定理易错题】
（1）注意对直角边、斜边进行讨论
例题1：
在直角三角形中，已知两边长分别为3和4，求另一边长。
（2）注意考虑周全，不要忽略钝角三角形的情形
例题2：
在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12。
求△ABC的周长。
【运用“勾股”解“折叠”】
例题1、如图，把一张长8厘米，宽4厘米的矩形纸片沿EF折叠，点C敲好落在点A上，求AF的长。
例题2、如图，将边长为8厘米的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边得中点E上，点A落在点F处，折痕为MN。
求线段CN的长。
例题3、如图，将长方形ABCD折叠，BC两点恰好落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90°
，长方形的长AD=12厘米，MN=5厘米。
求长方形的宽。
例题4、如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10。
求EC的长。
【勾股定理与面积问题】
例题1、已知直角三角形的三边长分别是6、8、x，求以x为边长的正方形的面积。
例题2、在△ABC中，∠ACB=90°
，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，△ABC的面积是24，a+b=14，求c的长。
例题3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
，D为AC上的一点，且DA=DB=5，△DAB的面积为10，求DC的长。
例题4、如图，已知△ABC中，∠ACB=90°
，以△ABC各边为边向外做正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1=81，S3=225。
求S2的面积。
三、【同步练习】A组
一、填空题
1.在△ABC中，∠c=90°
.
（1）若a＝8,b=15,则c=__；
（2）若a=7,c=25,则b=___.
2.某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取___米．
3.斜边的边长为
，一条直角边长为
的直角三角形的面积是。
4．如图，已知
中，
，以直角边
为直径作半圆，则这个半圆的面积是。
5.如图1：
隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA＝50m，CB＝40m，那么A、B两点间的距离是_________．
6.有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距________海里．
7.如图，一根旗杆在离地９米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部１２米处，求旗杆折断之前有多高？
二、选择题
1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则可知最长边上的高是（）
A.48cmB.4.8cmC.0.48cmD.5cm
2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）
A、b2=c2－a2B、a∶b∶c=3∶4∶5C、∠C=∠A－∠BD、∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）
A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，12
4.若一个三角形的三边长的平方分别为：
32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（）
A.16B.25C.7D.25或7
5.如果△ABC的三边分别为m2－1，2m，m2+1（m＞1）那么（）
A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B.△ABC是直角三角形，且斜边长2为m
C.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D.△ABC不是直角三角形
三、解答题
6．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状。
7．阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.
解：
∵a2c2－b2c2=a4－b4①∴c2（a2－b2）=（a2+b2）（a2－b2）②
∴c2=a2+b2③∴△ABC是直角三角形
问：
上述解题过程，从哪一步开始出现错误？
请写出该步的序号：
_________；
错误的原因为_________；
本题正确的结论是_________.
B组
1．在直角三角形ABC中，∠C=90°
，且c+a=9，c-a=4，则b=______
2、在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为8、2，则较长直角边为_______。
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
，∠DAB=∠DBA，若CD=1.5，BD=2.5，则AC的长________。
4、如果梯子底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是________。
5、两棵树相距8米，一棵高8米，另一棵高2米，一只小鸟从一棵树尖飞到另一棵树尖至少需要飞_____米。
6、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=_________。
7、如图，以RT△ABC的三边为斜边分别向外做等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为______．
8．如图，喜洋洋想知道灰太狼家旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
9．如图，已知CB=9，AB=17,AC=10,AD⊥BC的延长线于D,求AD的长。
10、第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一边串如下图所示的直角三角形演化而来的，设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A8A9=1，请你计算OA9的长．
11、在△ABC中，∠A=90°
，AD⊥BC于D，求证：
AB2=BD×
BC。
12、在△ABC中，AB>
AC，AM为BC上的中线，AD为BC上的高，求证：
AB2AC2=2MD×
BC
13、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_____。
家庭作业姓名：
一、选择题：
1、一个直角三角形，有两边长分别是3和4，下列说法中正确的是（）
A、第三边一定为5B、三角形的周长为12
C、三角形的面积为12D、第三边可能为5
2、在⊿ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则⊿ABC的周长为（）
A、42B、32C、42或32D、37或33
3、如图有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8Ccm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm
4、直角三角形中，斜边长为5，周长为12cm，则它的面积为（）
A、12cm2B、6cm2C、8cm2D、9cm2
二、、填空题：
1、已知Rt⊿ABC中，∠C=900，CD⊥AB，垂足为D，AC=8cm，
BC=6cm，则CD=，AD=。
2、如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P为
AC上的动点，则PB+PE的最小值等于。
1、在印度数学家拜斯加罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”：
在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面0.5尺，忽然一阵狂风把荷花吹在水中淹没了，最后荷花垂直落到湖底，到了秋天，渔翁发现，落到湖底的荷花离根部有2尺远，如图，你知道这个湖的水深是多少尺吗？
第六讲能得到直角三角形吗
1．勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
（1）勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
在△ABC中，若
，则△ABC为Rt△。
（2）满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数常用的勾股数组：
如:
3、4、5；
6、8、10；
5、12、13等；
若a，b，c为一组勾股数，那么ka，kb，kc（k≠0,k为常数）也是勾股数．
2．如何判定一个三角形是否是直角三角形
①首先求出最大边（如c）；
②验证
与
是否具有相等关系。
若
，则△ABC是以∠C＝90°
的直角三角形。
，则△ABC不是直三角形。
（，则三角形是钝角三角形）。
已知△ABC的三边为a、b、c，有下列各组条件，判定△ABC的形状．
（1）a＝6，b＝8，c＝10；
（２）a＝41，b＝40，c＝9；
（3）
．
例2：
如图，在四边形ABCD中，∠C是直角，AB＝13，BC＝4，CD＝3，AD＝12，
求证：
AD⊥BD．
【小试牛刀】
1．已知a、b、c是△ABC的三边，
（1）a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5；
（2）a＝4，b＝5，c＝6；
（3）a＝7，b＝24，c＝25；
（4）a＝15，b＝20，c＝25．
上述四个三角形中，直角三角形有（）个．
2．下列命题中的假命题是（）
A．在△ABC中，若∠A＝∠C－∠B，则△ABC是直角三角形；
B．在△ABC中，若
，则△ABC是直角三角形；
C．在△ABC中，若∠A,∠B,∠C的度数比是1：
2：
3，则△ABC是直角三角形；
D．在△ABC中，若三边长a：
b：
c＝1：
3，则△ABC是直角三角形．
3．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式
，则此三角形是__________.
4．已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为_____________．
【应用拓展】
例题1、试判断：
三边分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+2（n>
0）的三角形是否为直角三角形。
例题2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=
，DA=4，CD=5，∠B=90°
，求四边形ABCD的面积。
例题3、若三角形ABC的三边a、b、c满足条件：
，求证：
∠BAC=90°
例题4、如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，且AB=9，BC=12，CD=17，AD=8求四边形ABCD的面积。
例题5、如图所示，在正方形ABCD中，F为DC的重点，E为BC上一点，且EC=
BC。
试判断AF与EF的位置关系，并加以说明。
是否有AE=CE+AD。
例题6，如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上找一点E，沿直线AE把△AED折叠，使D点恰好落在BC上，设此点位F，若△ABF的面积为30cm2,求△ADE的面积。
五、错题分析：
例题1、在△ABC中，
，而
，期中，m、n是正整数，且m>
n,试是判断△ABC是否为直角三角形。
错解：
因为
所以：
，所以△ABC不是直角三角形。
六、用勾股数解题。
A、直接利用勾股数
例题1、在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm。
求△ABC的面积。
B、“异地重逢”勾股数。
例题2、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD上一点，AM=2DM，AM=3，BM=4，CM=5。
求在△ABC的面积。
C、巧妙构造勾股数
例题3、有一块如图形状的钢板，其中AB=20cm，BC=15cm,CD=7cm，AD=24cm，∠B=90°
你能求出∠D的度数吗？
若能，请求出它的度数，若不能，请说明理由。
例题4、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在BC上且DF=
DC，试判断BE与EF的位置关系，并作出说明。
例题5、如图，在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线DB=5cm。
△ABC是等腰三角形。
例题6、如图，AC=8，BC=6，在△ABC中，ED为AB边上的高，DE=12，S△ABE=60.那么△ABC是否为直角三角形？
【同步练习】
1、△ABC的三边长分别是
（其中m、n为正整数，且m>
n），则△ABC是_______。
2、如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式
，那么a=____，b=____，c=_____。
△ABC为________三角形。
3、△ABC中，a、b、c为三边长，若
，c=5，则最长边上的高为______。
4、若△ABC三边长分别为x+1，x+2，x+3，要是△ABC为直角三角形则x=____。
5、一个三角形三边之比为5：
:
1:
13，且周长为60cm，则他的面积是_____。
6、如图，一牧童在A处放羊，牧童的家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m，且C、D两地相距500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走______m．
二解答题
1．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
2．一架长为25m的梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙7m，现将梯顶沿墙面下滑4m，那么梯子底端在水平方
向滑动了多少米？
3.如果三角形的三边长分别为5cm、12cm和13cm，这个三角形是不是直角三角形？
如果是，请指出哪条边是
直角边；
如果不是，请说明理由.
4.在△ABC中，AC=2a，BC=a2+1，BC=a2－1，其中a＞1，△ABC是不是直角三角形？
如果是哪一个角是直角？
5.已知a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90o，a、b、c都为整数，若a＝9时，b、c为多少？
1.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
2.P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°
到△CBE的位置，若BP＝a.求：
以PE为边长的正方形的面积.
3.如图,已知△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC边上的高.
4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°
，BC=AC，P为△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数。
5、一个智力的火材盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法。
如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：
a2+b2=c2．
6.拼图填空：
剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①.
（1）拼图一：
分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和等于图③中小正方形的面积，用关系式表示为________.
（2）拼图二：
用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们面积之间的关系可表示为_____.
（3）拼图三：
用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积之间的关系可表示为_____.
7、如图在△ABC中，AB=50m，AC=40m，∠C=90°
，若点P从点C开始沿着CA边想点A以每秒4m/s的速度移动，，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒后，S△PCQ的面积等于S△ABC四分之一？
家庭作业姓名：
1、下列说法中错误的是（）
A、若⊿ABC中，a2=c2-b2，则⊿ABC为直接三角形B、若⊿ABC中，a2+b2≠c2，则⊿ABC不是直接三角形
C、若⊿ABC中，c2=a2+b2，则∠C为直角D、若⊿ABC为直角三角形，则任何一个角都可以是直角
2、⊿ABC在下列条件下不是直接三角形的是（）
A、b2=a2-c2B、a2:
b2:
c2=1:
2:
3C、∠C=∠A-∠BD、∠A:
∠B:
∠C=3:
4:
5
3、在⊿ABC中，如果∠A=2∠B=3∠C，则⊿ABC是（）
A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形
4、已知⊿ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，O为三条角平分线的交点，则O到各边的距离为（）
A、4B、6C、2D、无法求出
如图，长方形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将纸片折叠，使点A和的C重合，折痕为EF，则EF的长为。
在Rt⊿ABC中，∠C=900，BC=6cm，CA=8cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度沿CA、AB运动到B，则从C点出发经过几秒，可使S⊿BCP=
S⊿ABC..
第七讲蚂蚁怎样走最近
1.勾股定理：
c
=a
+b
（c为斜边）。
2．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：
a
=c
，那么这个三角形是直角三角形。
注意：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
如图：
有一个圆柱，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（∏的取值为3）
例题2、如图所示，一个正三棱柱，它的高等于8cm，底面边长等于4cm，D1是线段B1C1的中点，一只蚂蚁沿着正三棱柱的侧面由A爬向点D1，则蚂蚁爬行的最短的路程是多少cm？
例3：
如图有一个三级台阶，每级台阶长、宽、高分别为2米、0.3米0.2米，A处有一只蚂蚁，它想吃到B处食
物，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？
并求出最短的线路长。
例4、如图所示，有一个长为12cm，宽为4cm，高为3cm的长方体铁盒，在其内部放一根笔直的铁丝，则铁丝的最大长度是多少？
例5：
古代数学著作《九章算术》中记载了如下一个问题：
有一个水池，水面的边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
例6、电力公司为了用电电费过高的现状，实行电网改造。
莲花村联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如题图中的实线部分。
请帮助计算一下，那种设计最省钱？
（参考数据：
）
例7、在旧城改造中，要拆除一烟囱（如图），在地面上事先画好以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区。
现从离B点21米远的建筑物CD顶端C点测得A点的仰角（即∠ACE）为45°
，B点的俯角（即∠BCE）为30°
问离B点35m远的一处保护文物是否在危险区域内？
例8、如图，某供电部门准备在输电线路主干线连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个小区送点，已知A、B到L得距离分别是：
AA1=2km，BB1=1km,且A1B1=4km。
指点应建在什么地方可以使总线路最短？
最短线路长度是多少？
【求最短距离的常见错误】
A、混淆圆柱中侧面展开图的线段。
例题1、如图，球圆柱上A、B两点的最短距离。
圆柱的高为5cm，底面半径2cm。
（π取3）
∵底面周长：
2πr=2×
3×
2=12（cm），圆柱的高5cm，∴
，∴AB=13cm，则A、B的最短距离为13cm。
B、不会确定长方体中的最短线路。
例题2、如图，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点到C’点，那么沿哪条路最近，请画出图形。
已知长方形的长为2cm，宽1cm，高4cm。
如右图所示：
，AC=29cm。
【几道常见典列】
例1、如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别是AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米。
现在要在河岸上修建一个自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请在河岸上选择自来水厂的位置P，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用。
例2、如图，在△ABC中，AB=3，BC=5，AC=4，现将它折叠，使点B与点C重合，求折痕DE的长。
例题3、如图，一个长方体铁盒，长宽高分别是8cm，6cm，24cm，一根长28cm的木棒能否放在这个盒子里？
例4、如图，矩形ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿着AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，AF=
cm，则AD的长为多少？
例5、一根长25分米得木棒，斜靠在墙上，此时木棒低端距离墙脚7分米，当木棒顶端在墙壁上向下滑动9分米时，木棒的底端水平滑动了多少分米？
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