高考数学二轮复习专题16圆锥曲线教学案Word格式.docx

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6．【xx课标3，理5】已知双曲线C：

（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】双曲线C：

（a＞0,b＞0）的渐近线方程为，椭圆中：

，椭圆，即双曲线的焦点为，据此可得双曲线中的方程组：

，解得：

，则双曲线的方程为.故选B.

7．【xx课标3，理20】已知抛物线C：

y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：

坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.

（2）由

（1）可得

.故圆心的坐标为，圆的半径.由于圆过点，因此，故

，即

.由

（1）可得.所以，解得或.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.

8．【xx课标1，理20】已知椭圆C：

0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：

l过定点.

【解析】

（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此

，解得.故C的方程为.

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：

x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则

，得，不符合题设.从而可设l：

（）.将代入得

由题设可知.，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.

而.由题设，故

.即

.解得.当且仅当时，，欲使l：

，即，所以l过定点（2，）

9．【xx课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：

上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线上，且.证明：

过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

二．高考研究

【考纲解读】

1.考纲要求

（1）直线方程：

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②能根据两条直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握正确直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）,了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

（2）圆与方程：

①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;

能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

（３）圆锥曲线：

①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.　　②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.知道它的简单几何性质.④了解圆锥曲线的简单应用.⑤理解数形结合的思想

（2）曲线与方程：

了解方程的曲线与与曲线方程的对应关系.

2.命题规律：

1、题量稳定：

解析几何与立体几何相似，在高考试卷中试题所占分值比例较大.一般地，解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右，其中选择题、填空题占两道，解答题占一道；

其所占平均分值为22分左右，所占平均分值比例约为14%.

2、整体平衡，重点突出：

重点内容重点考，重点内容年年考.三大圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是考查定义的理解和应用，有的是求圆锥曲线的标准方程，有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等．

数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：

①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；

②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；

③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）

④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；

⑤与曲线有关的几何证明（圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等）；

⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征（很少）；

3、题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定.解析几何试题的难度都不算太大，选择题、填空题大多属中等题，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题.高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式等），难度不是太大，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近几年的解答题，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低.若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功.

3．学法导航

1.求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．

2.解决与圆有关的问题一般有两种方法：

几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

3讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；

圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；

圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．

4.准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．

5．明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

6．解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；

涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．

7．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：

假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；

否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在．

主干整合归纳扩展

一．基础知识整合

基础知识：

1.直线的方程：

点斜式：

；

截距式：

两点式：

一般式：

，其中A、B不同时为0.

2．两条直线的位置关系：

两条直线，有三种位置关系：

平行（没有公共点）；

相交（有且只有一个公共点）；

重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.

两直线平行两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；

两直线垂直两直线的斜率之积为或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零；

与已知直线

平行的直线系方程为；

若给定的方程是一般式，即l1：

A1x＋B1y＋C1＝0和l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论：

l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；

l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

两平行直线间距离公式：

与

的距离

3．圆的有关问题：

圆的标准方程：

（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r，特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为．

圆的一般方程：

（＞0）称为圆的一般方程，

其圆心坐标为（，），半径为.

当=0时，方程表示一个点（，）；

当＜0时，方程不表示任何图形.

圆的参数方程：

圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：

（θ为参数）

直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系的判断：

【方法一】几何法：

根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；

设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则

（1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点；

（2）直线与圆相离直线与圆无公共点；

（3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点；

【方法二】代数法：

把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则

若直线与圆相交，设弦长为，弦心距为，半径为，则

4．椭圆及其标准方程：

椭圆的定义：

椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；

若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.

椭圆的标准方程：

（＞＞0），（＞＞0）.

椭圆的标准方程判别方法：

判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：

如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

求椭圆的标准方程的方法：

⑴正确判断焦点的位置；

⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.

如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为

或；

椭圆的参数方程：

椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.

说明⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：

⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.

5．椭圆的简单几何性质

椭圆的几何性质：

设椭圆方程为（＞＞0）.

范围：

-a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.

对称性：

分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

顶点：

有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

离心率：

椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；

反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.

椭圆的第二定义：

平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.

准线：

根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.

椭圆的焦半径：

由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.

在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长；

过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为

6．双曲线及其标准方程：

双曲线的定义：

平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；

若2a＞||，则无轨迹.

若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

双曲线的标准方程：

和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

双曲线的标准方程判别方法是：

如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；

如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

求双曲线的标准方程，应注意两个问题：

如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或

7．双曲线的简单几何性质

双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.

双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：

，其中k是一个不为零的常数.

双曲线的第二定义：

平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.

在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于

，其中是虚半轴的长；

8．抛物线的标准方程和几何性质

抛物线的定义：

平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线.

需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线.

抛物线的方程有四种类型：

、、、.

对于以上四种方程：

应注意掌握它们的规律：

曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；

一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；

一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向.

抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例

（1）范围：

x≥0；

（2）对称轴：

对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

（3）顶点：

O（0，0），注：

抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：

e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

（5）准线方程；

（6）焦半径公式：

抛物线上一点，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

（7）焦点弦长公式：

对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A，B，AB的倾斜角为，则有或，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求.

在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切；

9．直线与圆锥曲线的位置关系：

①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．

②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；

对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．

③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．直线被圆锥曲线所截得弦为，则长为

，其中为直线的斜率

必备方法：

1.点差法（中点弦问题）

利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）

——代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系.

2．联立消元法：

韦达定理法：

将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解

3．设而不求法

4.判别式法

5.求根公式法

椭圆与双曲线的经典结论

一．椭圆

1．

2．标准方程：

3．

4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.

9．椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

11．若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

12．AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则.

13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.

14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.

15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则

.

16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则

（1）;

（2）.

17．给定椭圆：

（a＞b＞0）,：

则（i）对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M（.

（ii）对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.

18．设为椭圆（或圆）C:

（a＞0,.b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1,P0P2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点的充要条件是.

19．过椭圆（a＞0,b＞0）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

20．椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为

，

.

21．若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,，则.

22．椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：

（,）.

23．若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当

0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

24．P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

当且仅当三点共线时，等号成立.

25．椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线：

对称的充要条件是.

26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

28．P是椭圆（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.

29．设A,B为椭圆上两点，其直线AB与椭圆相交于,则.

30．在椭圆中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为

其中,当时,.

31．设S为椭圆（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,）;

当时，有,.

32．椭圆与直线有公共点的充要条件是.

33．椭圆与直线有公共点的充要条件是

34．设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.

35．经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则.

36．已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.

（1）

;

（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;

（3）的最小值是.

37．MN是经过椭圆（a＞b＞0）过焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则.

38．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦，则

39．设椭圆（a＞b＞0）,M（m,o）或（o,m）为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q（A1,A2为对称轴上的两顶点）的交点N在直线：

（或）上.

40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

42．设椭圆方程,则斜率为k（k≠0）的平行弦的中点必在直线：

的共轭直线上,而且.

43．设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则

44．已知椭圆（a＞b＞0）,点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是（

）.

45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.

46．过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

47．设A（x1,y1）是椭圆（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线L的距离,分别是A到椭圆两焦点的距离，则.

48．已知椭圆（a＞b＞0）和（），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.

49．已知椭圆（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.

50．设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则

（1）.

（2）