《平面图形的认识一》全章复习与巩固基础知识讲解文档格式.docx
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一种是叠合法.
(2)线段的和与差:
如下图,有AB+BC=AC,或AC=a+b;
AD=AB-BD.
(3)线段的中点:
把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如下图,有:
.
要点诠释:
①线段中点的等价表述:
如上图,点M在线段上,且有
,则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点(即二等分点)外,类似的还有线段的三等分点、四等分点等.
如下图,点M,N,P均为线段AB的四等分点,则有
(4)线段的延长线:
如下图,图①称为延长线段AB,或称为反向延长线段BA;
图②称为延长线段BA,或称为反向延长线段AB.图中延长的部分叫做原线段的延长线.
要点二、角
1.角的概念及其表示
(1)角的定义:
从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角,这个点叫做角的顶点,这两条射线是角的边;
此外,角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法:
角通常有三种表示方法:
一是用三个大写英文字母表示,二是用角的顶点的一个大写英文字母表示,三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图:
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.
②当一个角的顶点有多个角的时候,不能用顶点的一个大写字母来表示.
2.角的分类
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0<∠β<90°
∠β=90°
90°
<
∠β<
180°
∠β=180°
∠β=360°
3.角的度量
1周角=360°
,1平角=180°
,1°
=60′,1′=60″.
①度、分、秒的换算是60进制,与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法:
由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行;
由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减:
度加(减)度,分加(减)分,秒加(减)秒;
超60进一,减一
成60.
4.角的平分线
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线,例如:
如下图,因为OC是∠AOB的平分线,所以∠1=∠2=
∠AOB,或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地,还有角的三等分线等.
5.余角、补角、对顶角
(1)余角、补角:
若∠1+∠2=90°
,则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角,∠2是∠1的余角.
若∠1+∠2=180°
,则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角.
结论:
同角(或等角)的余角相等;
同角(或等角)的补角相等.
①余角(或补角)是两个角的关系,是成对出现的,单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个,但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系,与位置无关.
④“等角是相等的几个角”,而“同角是同一个角”.
(2)对顶角:
对顶角相等.
要点三、平行与垂直
1.同一平面内的两条直线的位置关系:
平行与相交.平行用符号“∥”表示.
只有一个公共点的两条直线叫做相交直线,这个公共点叫做交点.
2.垂线
(1)垂线的定义:
两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.垂直用符号“⊥”表示,如下图.
(2)垂线的性质:
①在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
②垂线段最短.
(3)点到直线的距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
【典型例题】
类型一、概念或性质的理解
1.(优质试题春•永登县期中)下列叙述中,正确的是( )
A.在同一平面内,两条直线的位置关系有三种,分别是相交、平行、垂直
B.不相交的两条直线叫平行线
C.两条直线的铁轨是平行的
D.我们知道,对顶角是相等的,那么反过来,相等的角就是对顶角
【思路点拨】根据直线的关系,平行线的定义,可得答案.
【答案】C
【解析】解:
A、在同一平面内,两条直线的位置关系有两种,分别是相交、平行,故A错误;
B、在同一个平面内,不相交的两条直线叫平行线,故B错误;
C、两条直线的铁轨是平行的,故C正确;
D、我们知道,对顶角是相等的,那么反过来,相等的角不一定是对顶角,故D错误;
故选:
C.
【总结升华】本题考查了平行线,在同一个平面内,不相交的两条直线叫平行线,注意相等的角不一定是对顶角.
举一反三:
【变式】
(优质试题春•通辽期末)下列说法不正确的是( )
A.过任意一点可作已知直线的一条平行线
B.同一平面内两条不相交的直线是平行线
C.在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D.平行于同一直线的两直线平行
解:
A中,若点在直线上,则不可以作出已知直线的平行线,而是与已知直线重合,错误.
B、C、D是公理,正确.
故选
【答案】A.
类型二、角的度量
2.钟表分针的运动可看作是一种旋转现象,一只标准时钟的分针匀速旋转,经过15分钟旋转了________度.
【思路点拨】画出图形,利用钟表表盘的特征解答.
【答案】90
【解析】根据钟表的特征;
整个钟面是360°
,分针每5分钟旋转30°
,所以经过15分钟旋转了90°
.
【总结升华】在钟表问题中,常利用时针与分针转动的度数关系:
时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°
,时针一分钟转过的度数为0.5°
;
两个相邻数字间的夹角为30°
,每个小格夹角为6°
,并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形.
【变式】100°
-60°
52′10″=
【答案】39°
7′50″
类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
1.方程的思想方法
3.如图所示,在射线OF上,顺次取A、B、C、D四点,使AB:
BC:
CD=2:
3:
4,又M、N分别是AB、CD的中点,已知AD=90cm,求MN的长.
【思路点拨】有关比例问题,可设每一份为x,列方程求解,再利用中点定义,找出线段的和、差.
【答案与解析】
设线段AB,BC,CD的长分别是2xcm,3xcm,4xcm,
∵AB+BC+CD=AD=90cm,∴2x+3x+4x=90,x=10,
∴AB=20cm,BC=30cm,CD=40cm,
∴MN=MB+BC+CN=
AB+BC+
CD=10+30+20=60(cm).
【总结升华】当已知某线段被分成的几条线段的长度比时,可根据比设未知数x,用x的式子表示相关的线段的长度,列方程求出x的值,进而求出线段的长.
【变式】如图所示,已知∠AOC=∠BOD=100°
,且∠AOB:
∠AOD=2:
7,求∠BOC和∠COD的度数.
【答案】
解:
设∠AOB的度数为2x,则∠AOD的度数为7x.
由∠AOD=∠AOB+∠BOD及∠BOD=100°
,
可得7x=2x+100°
解得x=20°
,所以∠AOB=2x=40°
所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=100°
-40°
=60°
∠COD=∠BOD-∠BOC=100°
-60°
=40°
2.分类的思想方法
4.以∠AOB的顶点O为端点的射线OC,使∠AOC:
∠BOC=5:
4.
(1)若∠AOB=18°
,求∠AOC与∠BOC的度数;
(2)若∠AOB=m,求∠AOC与∠BOC的度数.
(1)分两种情况:
①OC在∠AOB的外部,可设∠AOC=5x,则∠BOC=4x
得∠AOB=x,即x=18°
所以∠AOC=90°
,∠BOC=72°
②OC在∠AOB的内部,可设∠AOC=5x,则∠BOC=4x
∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x
所以9x=18°
,则x=2°
所以∠AOC=10°
,∠BOC=8°
(2)仿照
(1),可得:
若∠AOB=m,则∠AOC=
,∠BOC=
,或∠AOC=5m,∠BOC=4m.
【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC在∠AOB的内部或外部,所以两个问题都必须分类讨论.
【变式1】已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC=3cm,求线段AC的长.
【答案】
分两种情况:
(1)如图
(1),AC=AB-BC=8-3=5(cm);
(2)如图
(2),AC=AB+BC=8+3=11(cm).
所以线段AC的长为5cm或11cm.
【变式2】下列判断正确的个数有().
①已知A、B、C三点,过其中两点画直线一共可画三条.
②过已知任意三点的直线有1条.
③三条直线两两相交,有三个交点.
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】A
3.类比的思想方法
【高清课堂:
图形认识初步章节复习399079类比思想例5】
5.
(1)如图,线段AD上有两点B、C,图中共有______条线段.
(2)如图,在∠AOD的内部有两条射线OB、OC,则图中共有个角.
(1)6;
(2)6.
【解析】
(1)以A为端点的线段有3条,同样以B,C,D为一个端点的线段也各有3条,又因为所有线段均重复了一次,所以共有线段条数:
(条).
(2)以射线OA为一边的角有3个,同样以OB,OC,OD为一边的角也各有3个,又因为所有角均重复一次,所以共有角的个数:
(个).
【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题,用已知的知识类比地学习未知的内容.
类型四、平行与垂直
6.(优质试题春•印江县期末)如图,点B在点A的南偏东60°
方向,点C在点B的北偏东30°
方向,且BC=12km,则点C到直线AB的距离是 .
【答案】12km.
∵AD∥BE,
∴∠EBA=∠A=60°
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°
∴点C到直线AB的距离是BC,即12km,
故答案为:
12km.
【总结升华】本题考查的是方位角和点到直线的距离,正确理解方位角和点到直线的距离的概念是解题的关键.
【变式1】梯形中,( )是平行的.
A.上底和下底B.上底和腰C.两条腰
【变式2】已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,AB=13cm,BC=5cm,AC=12cm,且CD⊥AB于D.则CD的长.