1、一种是叠合法.(2)线段的和与差:如下图,有AB+BCAC,或ACa+b;ADAB-BD.(3)线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点如下图,有:. 要点诠释:线段中点的等价表述:如上图,点M在线段上,且有,则点M为线段AB的中点.除线段的中点(即二等分点)外,类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图,点M,N,P均为线段AB的四等分点,则有(4)线段的延长线:如下图,图称为延长线段AB,或称为反向延长线段BA;图称为延长线段BA,或称为反向延长线段AB. 图中延长的部分叫做原线段的延长线.要点二、角1角的概念及其表示(1)角的定义:从一点引出的两条射线所形成的图形叫做
2、角,这个点叫做角的顶点,这两条射线是角的边;此外,角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法:角通常有三种表示方法:一是用三个大写英文字母表示,二是用角的顶点的一个大写英文字母表示,三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图:角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.当一个角的顶点有多个角的时候,不能用顶点的一个大写字母来表示.2.角的分类锐角直角钝角平角周角范围09090901801803603.角的度量1周角360,1平角180,160,160.度、分、秒的换算是60进制,与时间中的小时分钟秒的换算相同.度分秒之间的转化方法:由度化为度分秒的形式(即从高级单位
3、向低级单位转化)时用乘法逐级进行;由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.同种形式相加减:度加(减)度,分加(减)分,秒加(减)秒;超60进一,减一成60.4.角的平分线从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线,例如:如下图,因为OC是AOB的平分线,所以12AOB,或AOB2122.类似地,还有角的三等分线等.5余角、补角、对顶角 (1)余角、补角:若1+290, 则1与2互为余角.其中1是2的余角,2是1的余角.若1+2180,则1与2互为补角.其中1是2的补角,2是1的补角.结论: 同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等
4、.余角(或补角)是两个角的关系,是成对出现的,单独一个角不能称其为余角(或补角).一个角的余角(或补角)可以不止一个,但是它们的度数是相同的.只考虑数量关系,与位置无关“等角是相等的几个角”,而“同角是同一个角”(2)对顶角:对顶角相等要点三、平行与垂直1. 同一平面内的两条直线的位置关系:平行与相交. 平行用符号“”表示.只有一个公共点的两条直线叫做相交直线,这个公共点叫做交点.2.垂线 (1)垂线的定义:两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足垂直用符号“”表示,如下图(2)垂线的性质:在同一平面内,过一点有且
5、只有一条直线与已知直线垂直垂线段最短(3)点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离【典型例题】类型一、概念或性质的理解1.(优质试题春永登县期中)下列叙述中,正确的是()A在同一平面内,两条直线的位置关系有三种,分别是相交、平行、垂直B不相交的两条直线叫平行线C两条直线的铁轨是平行的D我们知道,对顶角是相等的,那么反过来,相等的角就是对顶角【思路点拨】根据直线的关系,平行线的定义,可得答案【答案】C【解析】解:A、在同一平面内,两条直线的位置关系有两种,分别是相交、平行,故A错误;B、在同一个平面内,不相交的两条直线叫平行线,故B错误;C、两条直线的铁轨是平行的
6、,故C正确;D、我们知道,对顶角是相等的,那么反过来,相等的角不一定是对顶角,故D错误;故选:C【总结升华】本题考查了平行线,在同一个平面内,不相交的两条直线叫平行线,注意相等的角不一定是对顶角举一反三:【变式】(优质试题春通辽期末)下列说法不正确的是()A过任意一点可作已知直线的一条平行线B同一平面内两条不相交的直线是平行线C在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D平行于同一直线的两直线平行解:A中,若点在直线上,则不可以作出已知直线的平行线,而是与已知直线重合,错误B、C、D是公理,正确故选【答案】A类型二、角的度量2.钟表分针的运动可看作是一种旋转现象,一只标准时钟的分针
7、匀速旋转,经过15分钟旋转了_度【思路点拨】画出图形,利用钟表表盘的特征解答【答案】90【解析】根据钟表的特征;整个钟面是360,分针每5分钟旋转30,所以经过15分钟旋转了90【总结升华】在钟表问题中,常利用时针与分针转动的度数关系:时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6,时针一分钟转过的度数为0.5;两个相邻数字间的夹角为30,每个小格夹角为6,并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形【变式】100605210 【答案】39750类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算1.方程的思想方法3. 如图所示,在射线OF上,顺次取A、B、C、D四点,使AB:BC:CD2:3:4,又M
8、、N分别是AB、CD的中点,已知AD90cm,求MN的长【思路点拨】有关比例问题,可设每一份为x,列方程求解,再利用中点定义,找出线段的和、差【答案与解析】设线段AB,BC,CD的长分别是2x cm,3x cm,4x cm,AB+BC+CDAD90 cm, 2x+3x+4x90,x10,AB20 cm, BC30 cm, CD40 cm,MNMB+BC+CNAB+BC+CD10+30+2060(cm)【总结升华】当已知某线段被分成的几条线段的长度比时,可根据比设未知数x,用x的式子表示相关的线段的长度,列方程求出x的值,进而求出线段的长【变式】如图所示,已知AOCBOD100,且AOB:AOD
9、2:7,求BOC和COD的度数【答案】 解:设AOB的度数为2x,则AOD的度数为7x 由AODAOB+BOD及BOD100, 可得7x2x+100 解得x20,所以AOB2x40 所以BOCAOC-AOB100-4060 CODBOD -BOC100-60402.分类的思想方法 4.以AOB的顶点O为端点的射线OC,使AOC:BOC5:4 (1)若AOB18,求AOC与BOC的度数; (2)若AOBm,求AOC与BOC的度数(1)分两种情况:OC在AOB的外部,可设AOC5x,则BOC4x得AOBx,即x18所以AOC90,BOC72OC在AOB的内部,可设AOC5x,则BOC4xAOBAO
10、C+BOC9x所以9x18, 则x2所以AOC10,BOC8(2)仿照(1),可得:若AOBm,则AOC,BOC,或AOC5m,BOC4m 【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC在AOB的内部或外部,所以两个问题都必须分类讨论【变式1】已知线段AB8cm,在直线AB上画线段BC3cm,求线段AC的长【答案】分两种情况:(1)如图(1),ACABBC835(cm);(2)如图(2),ACAB+BC8+311(cm)所以线段AC的长为5cm或11cm【变式2】下列判断正确的个数有 ( ) 已知A、B、C三点,过其中两点画直线一共可画三条 过已知任意三点的直线有1条 三条直线两两相交,有三个
11、交点 A0个 B1个 C2个 D3个【答案】A3.类比的思想方法【高清课堂:图形认识初步章节复习399079 类比思想例5】5.(1)如图,线段AD上有两点B、C,图中共有_条线段.(2)如图,在AOD的内部有两条射线OB、OC,则图中共有 个角.(1)6;(2)6.【解析】(1)以A为端点的线段有3条,同样以B,C,D为一个端点的线段也各有3条,又因为所有线段均重复了一次,所以共有线段条数:(条).(2)以射线OA为一边的角有3个,同样以OB,OC,OD为一边的角也各有3个,又因为所有角均重复一次,所以共有角的个数:(个).【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题,用已知的知识类比地学习未知的内容.类型四、平行与垂直6.(优质试题春印江县期末)如图,点B在点A的南偏东60方向,点C在点B的北偏东30方向,且BC=12km,则点C到直线AB的距离是 【答案】12kmADBE,EBA=A=60ABC=ABE+CBE=90点C到直线AB的距离是BC,即12km,故答案为:12km【总结升华】本题考查的是方位角和点到直线的距离,正确理解方位角和点到直线的距离的概念是解题的关键【变式1】梯形中,()是平行的A上底和下底 B上底和腰 C两条腰【变式2】已知:如图,在ABC中,ACB=90,AB=13cm,BC=5cm,AC12cm ,且CDAB于D则CD的长
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