专题23 函数的奇偶性与周期性 高考数学一轮复习提分专题Word版学生用Word格式文档下载.docx

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1.

（1）如果一个奇函数f（x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0.

（2）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）.

2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；

偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

3.函数周期性常用结论

对f（x）定义域内任一自变量的值x：

（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a>

0）.

（2）若f（x＋a）＝

，则T＝2a（a>

（3）若f（x＋a）＝－

4.对称性的三个常用结论

（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.

（2）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.

（3）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）关于点（b，0）中心对称.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）时是偶函数.（　　）

（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（　　）

（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.（　　）

（4）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.（　　）

【教材衍化】

2.（必修1P35例5改编）下列函数中为偶函数的是（　　）

A.y＝x2sinxB.y＝x2cosx

C.y＝|lnx|D.y＝2－x

3.（必修4P46A10改编）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1）时，f（x）＝

则f

＝________.

【真题体验】

4.（2019·

济南调研）下列函数既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）

A.y＝x3B.y＝x

C.y＝|x|D.y＝|tanx|

5.（2017·

全国Ⅱ卷）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，则f

（2）＝________.

6.（2019·

上海崇明区二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x＋1），则当x∈[1，2]时，f（x）＝________.

【考点聚焦】

考点一　判断函数的奇偶性

【例1】判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝

＋

；

（2）f（x）＝

（3）f（x）＝

【规律方法】　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立.

【训练1】

（1）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）

A.y＝x＋sin2xB.y＝x2－cosx

C.y＝2x＋

D.y＝x2＋sinx

（2）已知f（x）＝

，g（x）＝

，则下列结论正确的是（　　）

A.f（x）＋g（x）是偶函数B.f（x）＋g（x）是奇函数

C.f（x）g（x）是奇函数D.f（x）g（x）是偶函数

考点二　函数的周期性及其应用

【例2】

（1）（一题多解）（2018·

全国Ⅱ卷）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）.若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（　　）

A.－50B.0C.2D.50

（2）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<

2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.

【规律方法】

1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.

2.若f（x＋a）＝－f（x）（a是常数，且a≠0），则2a为函数f（x）的一个周期.第

（1）题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.

【训练2】

（1）（2019·

南充二模）设f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x（1＋x），则f

＝（　　）

A.－

B.－

C.

D.

（2）（2017·

山东卷）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）.若当x∈[－3，0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝________.

考点三　函数性质的综合运用　

角度1　函数单调性与奇偶性

【例3－1】（2019·

石家庄模拟）设f（x）是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f（x－1）≥f（3）的解集为（　　）

A.[－3，3]B.[－2，4]C.[－1，5]D.[0，6]

【规律方法】　1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.

2.本题充分利用偶函数的性质f（x）＝f（|x|），避免了不必要的讨论，简化了解题过程.

角度2　函数的奇偶性与周期性

【例3－2】

（1）（2019·

山东省实验中学检测）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋5）＝f（x），且当x∈

时，f（x）＝x3－3x，则f（2018）＝（　　）

A.2B.－18C.18D.－2

（2）（2019·

洛阳模拟）已知函数y＝f（x）满足y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数，且f

（1）＝

，设F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（3）＝（　　）

A.

B.

C.πD.

【规律方法】　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

【训练3】

（1）（2019·

重庆九校模拟）已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f（x）＝－x，则f（－16）＝________.

（2）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是单调递增函数.如果实数t满足f（lnt）＋f

≤2f

（1），那么t的取值范围是________.

【反思与感悟】

1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.

2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：

（1）求函数值；

（2）求解析式；

（3）求函数解析式中参数的值；

（4）画函数图象，确定函数单调性.

3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期”的应用.

【易错防范】

1.f（0）＝0既不是f（x）是奇函数的充分条件，也不是必要条件.

2.函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.

【核心素养提升】

【数学运算】——活用函数性质中“三个二级”结论

类型1　奇函数的最值性质

已知函数f（x）是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f（x）＋f（－x）＝0.特别地，若奇函数f（x）在D上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝0，且若0∈D，则f（0）＝0.

【例1】设函数f（x）＝

的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

类型2　抽象函数的周期性

（1）如果f（x＋a）＝－f（x）（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T＝2a.

（2）如果f（x＋a）＝

（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

（3）如果f（x＋a）＋f（x）＝c（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

【例2】已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x＋3）＝－f（x），且当x∈（0，3）时，f（x）＝x＋1，则f（－2017）＋f（2018）＝（　　）

A.3B.2C.1D.0

类型3　抽象函数的对称性

已知函数f（x）是定义在R上的函数.

（1）若f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝

对称，特别地，若f（a＋x）＝f（a－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.

（2）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（a－x）＝0，即f（x）＝－f（2a－x），则f（x）的图象关于点（a，0）对称.

【例3】（2019·

日照调研）函数y＝f（x）对任意x∈R都有f（x＋2）＝f（－x）成立，且函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，f

（1）＝4，则f（2016）＋f（2017）＋f（2018）的值为________.

【分层训练】

【基础巩固题组】

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.（2019·

玉溪模拟）下列函数中，既是偶函数，又在（0，1）上单调递增的函数是（　　）

A.y＝|log3x|B.y＝x3

C.y＝e|x|D.y＝cos|x|

2.（一题多解）（2019·

河北“五个一”名校联盟二模）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝

则g（－8）＝（　　）

A.－2B.－3C.2D.3

3.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（－2，0）时，f（x）＝2x2，则f（2019）等于（　　）

A.－2B.2C.－98D.98

4.（一题多解）（2017·

天津卷）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）.若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a<

b<

cB.c<

a

C.b<

a<

cD.b<

c<

5.（2019·

山东、湖北部分重点中学模拟）已知定义在R上的函数f（x）在[1，＋∞）上单调递减，且f（x＋1）是偶函数，不等式f（m＋2）≥f（x－1）对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A.[－3，1]B.[－4，2]

C.（－∞，－3]∪[1，＋∞）D.（－∞，－4]∪[2，＋∞）

二、填空题

6.若函数f（x）＝xln（x＋

）为偶函数，则a＝________.

7.若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<

x<

1时，f（x）＝4x，则f

＋f

（2）＝________.

8.设函数f（x）＝ln（1＋|x|）－

，则使得f（x）＞f（2x－1）成立的x的取值范围是________.

三、解答题

9.已知函数f（x）＝

是奇函数.

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.

10.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f

＝－f

成立.

（1）证明y＝f（x）是周期函数，并指出其周期；

（2）若f

（1）＝2，求f

（2）＋f（3）的值；

（3）若g（x）＝x2＋ax＋3，且y＝|f（x）|·

g（x）是偶函数，求实数a的值.

【能力提升题组】

20分钟）

11.（2019·

石家庄模拟）已知奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f

（1）＝0，

若f（x－1）>

0，则x的取值范围为（　　）

A.{x|0<

1或x>

2}B.{x|x<

0或x>

2}

C.{x|x<

3}D.{x|x<

－1或x>

1}

12.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且在[0，1]上是减函数，则有（　　）

A.f

<

f

B.f

C.f

D.f

13.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝2x，则有

①2是函数f（x）的周期；

②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；

③函数f（x）的最大值是1，最小值是0.

其中所有正确命题的序号是________.

14.设f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.

（1）求f（π）的值；

（2）当－4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积.

【新高考创新预测】

15.（多填题、新定义题）定义：

函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值与最小值之差为函数f（x）的极差.若定义在区间[－2b，3b－1]上的函数f（x）＝x3－ax2－（b＋2）x是奇函数，则a＋b＝________，函数f（x）的极差为________.