正交试验设计水泥试验Word格式文档下载.docx
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利用正交设计，3因素3水平的试验只需做9次即可，试验次数虽然不多但很有代表性。
在高性能混凝土、减水剂与水泥适应性等探索研究中都需要应用正交设计。
2正交试验设计的原理
2.1试验指标、因素、水平和正交表的形式及代号
2.1.1试验指标
在正交设计中,根据试验目的而选定角来考查或衡量试验结果好坏的特性值称之为试验指标。
如定量指标有产量、收率等,定性指标有颜色、光泽也可量化等。
2.1.2因素
对试验指标可能发生影响的原因或要素称为因素,一般用A、B、C等表示,如反应物的配比、反应温度、反应时间等。
2.1.3水平
因素在试验中由于所处状态和条件的不同,可能引起试验指标的变化,因素的这些状态和条件称为水平,水平一般用1、2、3等表示。
今有一化学反应X十Y=Z,已知影响Z试验指标的主要因素有3个:
反应物配比,反应温度和反应时间。
试验的目的就是要弄清3个因素对试验指标的影响,并确定最适宜的反应条件如果按常规的网络设计方法（即全面试验）,需要将所有因素和水平搭配。
在上例个因素各取3个水平的条件下,需做33=27次试验。
相当于立方体上的27个节点,如图1所示。
这种设计对于因素和水平之间的关系剖析得比较清楚,但试验次数往往太多。
如果是4因素3水平的试验,需进行34=81次；
若是10因素3水平,则试验次数将达到310=59049。
这里还未计算为抵销误差所进行的重复试验次数。
显然,这样的工作量是难以接受的。
那么,能否用少量的试验在选优区内铺开而又保持全面试验的某些特点呢？
正交设计就可解决这个问题。
正交设计试验对于全体因素来说是一种部分试验即做了全面试验中的一部分,但对其中任何两个因素来说却是带有等重复两因素之间不同水平搭配的次数相同的全面试验。
如上例3因素3水平的试验,用正交设计做9次即可。
在图1所示的立方体网络中的黑点即正交试验点。
从这9个试验点的分布我们可以看到：
立方体的每个面上都恰有3个试验点,而且立方体的每条线上也均有一个点,9个试验点均衡地分布于整个立方体内,每个试验都有很强的代表性,能够比较全面地反映选优区的大致情况。
试验点在选优区的均衡分布在数学上叫“正交”。
这也是正交设计中“正交”二字的由来。
2.1.4正交表的形式及代号
正交法的基本工具是正交表。
它是一种依据数理统计原理而制定的具有某种数字性质的标准化表格。
以基本的L9（34）正交表为例：
表的纵列数（可安排因数的最多个数）
正交表代号L9（34）
表示每一因数的水平个数
表的横行数（需要做实验的次数）
正交表基本上可以分为：
同水平正交表和混合水平正交表
通过认真分析这两个正交表，可以发现，每1个纵列中，各种数码出现次数相同，在L9（34）表中，每列“1”出现3次，“2”出现3次，在表中，有4个纵列，9个横行，表示最多可安排4个因素，每个因素可取3个水平，共需做9次试验。
正交表L8（41X24）中，，有5个纵列，8个横行，表示最多可安排5个因素，其中有一个因素可取4个水平，其余4个因素均去两个水平，供需做8个试验。
在正交表中任意2列，每1行组成1个数字对，有多少行就有多少个这样的数字对，这些数字对是完全有序的，各种数字对出现
表1.1L9（34）正交表
的次数必须相同，正交表必须满足以上两个特性，有一条不满足，就不是正交表。
如L9（34）正交表，任意1列各行组成的数字对分别为：
（1,1），（2,1），（3,1），（1,2），（2,2），（3,2），（1,3），（2,3），（3,3）共9种，每种出现一次，且完全有序。
以上介绍的两种正交表，同水平正交表一般以通式表示为：
LN（MK）,表现为K列N行的矩阵，每个因素都分为M个水平。
混合水平正交表表示为：
LN（M1K1M2K2）。
2.2正交试验表特点
从表1.1的正交试验表中,可以看到有如下的特点:
（1）每个因素的水平都重复了3次;
（2）表1中任意两个因素的水平组合后,都组成一个全面的试验方案;
（3）任意两个因素的水平组合后所得到的下标数列都相同。
3正交试验表数据直观分析
3.1指标的求和与均值分析
常见的正交试验表为四因素三水平正交试验表L9（34）,下面以来说明数据的处理过程。
表2.1因素水平正试验数据处理
编号
因素
A
B
C
D
实验结果
1
A1
B1
C1
D1
y1
2
B2
C2
D2
y2
3
B3
C3
D3
y3
4
A2
C2
y4
5
C3
y5
6
y6
7
A3
y7
8
y8
9
y9
I1
y1+y2+y3
Y1+y4+y7
Y1+y6+y8
Y1+y5+y9
Y=1/n（∑yj），
其中（n=9，j=1,2,3...）
I2
y4+y5+y6
Y2+y5+y8
Y2+y4+y9
Y2+y6+y7
I3
y7+y8+y9
Y3+y6+y9
Y3+y5+y7
Y3+y4y+y8
Ȋ1
Ȋ11=y1+y2+y3/3
Ȋ12=y1+y4+y7/3
Ȋ13=y1+y6+y8/3
Ȋ14=y1+y5+y9/3
Ȋ2
Ȋ24=y4+y5+y6/3
Ȋ22=y2+y5+y8/3
Ȋ23=y2+y4+y9/3
Ȋ24=y2+y6+y7/3
Ȋ3
Ȋ31=y7+y8+y9/3
Ȋ32=y3+y6+y9/3
Ȋ33=y3+y5+y7/3
Ȋ34=y3+y4+y8/3
3.2极差分析（见表2.2）
表3.2
δ1
δ2
δ3
R
T
δ11=Ȋ11-Y
δ21=Ȋ21-Y
δ31=Ȋ31-Y
R01=max（δ11，δ21，δ31）
R11=min（δ11，δ21，δ31）
T1=R01-R11
δ12=Ȋ12-Y
δ22=Ȋ22-Y
δ32=Ȋ32-Y
R02=max（δ12，δ21，δ32）
R12=min（δ12，δ21，δ32）
T2=R02-R22
δ13=Ȋ13-Y
δ23=Ȋ23-Y
δ33=Ȋ33-Y
R03=max（δ13，δ23，δ31）
R13=min（δ13，δ23，δ31）
T3=R03-R33
δ14=Ȋ24-Y
δ24=Ȋ24-Y
δ34=Ȋ34-Y
R04=max（δ14，δ24，δ34）
R14=min（δ41，δ41，δ34）
T4=R04-R44
如果通过试验得到的结果为T2>
T1>
T4>
T3,在变化的水平范围内,可以说明因素2（即
B因素）对结果造成的影响最大,其次依次为因素1（即A因素）、因素4（即D因素）,因素3（即C因素）对
结果造成的影响最小。
反之,T越小,与之对应的那一列的因素试验的结果影响越小。
设有一组试验结果为:
δ21>
δ11>
δ31,δ32>
δ12>
δ22,δ23>
δ33>
δ13,δ14>
δ34>
δ24,如果该值
为某试件的抗压强度,一般希望抗压强度大,因此根据δ值的大小很快可以确定对应因素水平组合为
A2B3C2D1（该组合的下标表示该因素所在的水平）,也就是说使用A2B3C2D1配合比试验结果是最优化
配合比;
如果该值为某砌块的干燥收缩值,为降低砌筑后的墙体裂缝,一般希望干燥收缩值小而稳定,因此同样得出组合为A3B2C1D2,使用A3B2C1D2配合比生产的产品,不仅砌块干燥收缩值稳定,而且该水
平值微小波动时对试验结果的影响甚小。
考察指标中,如若δ<
0,表明某因素的某一水平低于样本总体的平均值,反之则高于样本总体的平均值。
3.3正交试验表数据方差分析
3.3.1方差计算
直观分析法比较简单易懂,只要对试验结果作少量计算,便可得到最佳配合比和因素影响程度,但直
观分析不能估计试验过程中必然存在的误差大小,换句话说不能区分某因素各水平所对应的差异究竟是
因素水平不同引起的,还是试验误差所引起的。
而本节将要进行的方差分析刚好弥补这个不足,以表2为例
S总=Σ（yi-Y）2其中,i=1,2,3...9；
Y=1/n（Σyj）（n=9,j=1,2,3...9）。
SA=r0Σ（Ij1-Y）2其中,j=1,2,3;
r0为A因素水平重复数,对,有r0=3。
SB=r1Σ（Ik2-Y）2其中,k=1,2,3;
r1为B因素水平重复数,对L9（34）,有r1=3。
SC=r2Σ（It3-Y）2其中,t=1,2,3;
r2为C因素水平重复数,对L9（34）,有r2=3。
SD=r3Σ（Iq4-Y）2其中,q=1,2,3;
r3为D因素水平重复数,对L9（34）,有r3=3。
SE=S试验误差=S总-SA-SB-SC-SD。
3.3.2自由度计算
f总=nm-1其中,n为试验次数;
m为某因素的水平数,对L9（34）,有n=9,m=3。
fA=m1-1其中,m1为A因素的水平数,对L9（34）,有m1=3。
fB=m2-1其中,m2为B因素的水平数,对L9（34），有m2=3。
fC=m3-1其中,m3为C因素的水平数,对L9（34）,有m3=3。
fD=m4-1其中,m4为D因素的水平数,对L9（34），有m4=3。
fE=f试验误差=f总-fA-fB-fC-fD.
2.3.3均方计算
FA=SA/fA，ŜB=SB/fB，ŜC=SC/fC，ŜD=SD/fD，ŜE=SE/fE.
3.3.3计算F比
ŜB=ŜA/ŜE,FB=ŜB/ŜE,FC=ŜC/ŜE,FD=ŜD/ŜE。
2.3.5方差分析表和显著性检验（见表2.3）
表2.3方差分析表和显著性检验
平方和S
自由度f
均方
F
显著性
SA
f
ŜA
FA
FA>
F0.05（FA-f总）
SB
ŜB
FB
...
误差
S误差
f误差
ŜE
在试验水平α=0.05（或0.01）的情况下,分别检验各因素的显著性,如果FA>
F0.05（fA,f总）,即认为A因素对试验指标有显著影响,其它因素依此类推,反之没有显著影响。
在今后的试验中,我们对数据的处理可以通过直观分析方法分析试验结果,并运用方差分析法进行验证,两种方法分析结果应该是一致的。
4试验设计与分析
用两种不同蒸养时间和振捣方式进行混凝土增强效果的比较试验。
试验中的因素与水平列于下表。
要求考察A、B、C和A×
B、A×
C、B×
C对混凝土7天抗压强度的影响，并选择较优的工艺条件见表1。
表1因素水平
因素水平
A.水灰比
B.振捣方式
C蒸样时间
0.45
捣碎
0.50
震碎
4.1试验安排
⑴表头设计：
由于A、B、C均是二水平，除了考察A、B、C三个因素外，还要考察交互作用A×
C的效应，因此选择正交表L8（27）比较合适。
A×
B放第3列，C放在第4列，A×
C放在第5列，第6列考察B×
C，第7列空着，作为试验误差的估计。
其表头设计见表2：
表2表头设计
列号
B×
⑵试验方案：
由表头设计可知，由1，2，4三列给出试验方案，通过3，5，6三列可以分析交互作用，第7列作试验误差估计。
试验方案和结果见表3。
表3试验方案和结果
因素
试验
AB
AC
7天抗压
强度
（kg/cm2）
1（3）
169
2（4）
178
273
272
146
194
215
K1
892
662
756
782
826
802
804
总和1616
K2
724
954
860
834
790
814
812
ΔK
168
292
104
52
36
12
k1
223
165.5
189.75
195.5
206.5
200.5
201
k2
181
238.5
208.5
197.5
203.5
203
Δk
42
73
25.25
13
K1为相应各因素中第一水平的7天抗压强度之和，
K2为相应各因素中第二水平的7天抗压强度之和；
极差
R为K1与K2数值之差的绝对值，用来衡量试验中相互因素作用的大小。
K1为相应各因素中第一水平的7天抗压强度的均值。
K2为相应各因素中第二水平的7天抗压强度的均值。
Δk每一列均值之间的最大差异。
4.2试验结果分析
4.2.1直观分析
⑴根据极差尺的大小可知影响因素的主次顺序为B>
A>
B>
C>
C。
⑵根据k值的大小可以认为，取A为A1，取B为B2，取C为C2为好。
一般说来，要获得较高的7天强度，其组合条件可以定为A1B2C2。
⑶由于A×
B对R7有影响，所以选取A和B的最好水平还要服从A×
B的最好水平。
因此，要进一步作交互作用分析。
A与B交互作用的直观分析方法是：
将A、B相同水平所对应的R7数值相加，除以相加次数，即是A×
B某水平交互作用的K值。
结果为：
A1A2。
表4交互作用的结果
BA
（169+178）/2=173.5
（146+169）/2=157.5
（273+272）/2=272.5
（194+215）/2=204.5
从表4看出，A1B2组合可得到较高的7天抗压强度，与上面的工艺条件A1B2C2一致。
因此考虑交互之后，其较优组合条件仍为A1B2C2，此即第4试验号的试验条件。
⑷由于A×
C对R7的影响均较小，可与第7列合并，共同估计试验误差。
一般来讲，分析工作到直观分析结束时即可终止。
因为由直观分析得出的最优工艺条件是A1B2C2，这正是第4号试验，其7天抗压强度也是8次试验较高的，说明分析是正确的。
但是3号试验和4号试验的强度相同，同时，3号试验比4号试验的养护时间还缩短了1小时，3号试验的条件是否好，需要进一步方差分析了解。
（4）最佳方案选取过程中应注意的问题：
1）一般情况下，各因素最好的水平组合就是最佳方案；
2）实际工作中，有时要考虑因素的主次；
主要因素：
按照有利于指标的水平选取。
次要因素：
还应考虑其它条件，如生产率、成本、劳动条件等，来选取适当的水平，其目的是得到符合生产实际的最优或较优方案。
依据上例，可以归纳出正交实验的步骤：
第一步：
明确试验目的，确定考查指标；
第二步：
确定因素、选取水平、制定因素水平表；
第三步：
选用合适的正交表进行表头设计；
第四步：
确定试验方案，做正交试验，记录试验结果；
第五步：
计算分析试验结果，选取优化方案；
第六步：
验证试验，确定最佳方案。
4.2.2方差分析
按照平方和计算：
SA=（1692+1782+2732+2722）/4-16162/8=3528
对于二水平的因素，平方和的计算有一个更简单的公式Si=（K1-K2）2/n其中n为试验次数
由简化公式计算为SA＝（892－724）2/8＝3528这个方法对于任何二水平因素都是适用的。
同理SB=（662-954）2/8=10658SA×
SB＝（756-860）2/8=1352SC=（782-835）2/8=338
SA×
SC=（826-790）2/8SB×
SC=（802-814）2/8=18S空=（804-812）2/8=8
其它各列的计算方法同第1列。
方差分析结果列于表5。
分析结果表明，A和B对7天强度有特别显著的影响，A×
B有显著影响，而看不出C对强度有影响。
所以对A和B一定要取K值大的A1和B2，而对C的水平可以任意取，即最优条件可取A1B2C2或A1B2C1。
因此，3号试
验与4号试验均可作为最优工艺条件，这与试验结果是完全一致的。
表5方差分析结果
方差来源
平方和
自由度
临界值
SA=3528
3528
56.3
F0.01（1,3）=34.1
SB=10658
10658
170.0
F0.05（1,3）=10.1
SB=1352
1352
21.6
F0.10（1,3）=5.5
SC=338
SC=162
SB×
SC=18
空列
S空=8
注：
标有**记号的项为显著因素，在确定配方时对该项要注意选择其水平用量。
对无记号的因素则可选择任一水平。
5结论
通过上述分析,针对多因素多水平的问题,我们可以运用正交试验表的方法来解决考察指标,这样不但降低了试验次数,而且得出了最佳效果。
当然在选择正交表的时候,也不是随意的,因此,我们在设计正交表时,常常仿照常见的正交表,并利用常见的计算方法进行处理,时间短,效率高,节省了大量的人力物力、财力。
此外,正交试验表还可以处理多个试验指标,各种指标同时分析,综合考虑,相得益彰。
有时多个正交试验指标一起计算,多而不烦,甚至还可以通过回归的方法对试验多组数据指标之间进行回归分析,建立回归方程。
这样,正交试验表的优点很明显表现出来。
正交试验设计表应用领域很广,它可以应用于制药、化工、桥梁、道路、无机非金属材料及新材料、新工艺等多个领域,相信有了它,在研究材料配合比或新工艺的方案时正交试验为我们提供了或多或少的理论依据正交设计不仅可以分析误差，而且还能分析交互作用，这是正交设计的重要优点之一。
同时，在正交试验的方差分析中，不仅将每一个因素的平方和计算统一起来，而且将交互作用平方和的计算也统一起来。
正交试验法是应用数学中的搭配均衡、正交可比的原理,以最少的试验次数求得良好经济效益的一种极为有效的方法。
参考文献：
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