数学建模试题Word文档格式.docx

数学建模试题Word文档格式.docx

《数学建模试题Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模试题Word文档格式.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。

水库A，B的其他有关数据如表。

（单位：

104m3）。

请你为该电力公司制订本月和下月的生产经营计划。

（千度是非国际单位制单位，1千度=103KWh）

6考虑阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。

给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。

7对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型：

（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的。

（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低。

 （3）在

（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用。

8一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。

根据估计，下一年的需求是：

春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。

公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。

保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。

春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后。

将有15%的保姆自动离职。

（1）如果公司不允许解聘保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。

哪些季度需求的增加不影响招聘计划？

可以增加多少？

（2）如果公司在每个季度结束后允许解聘保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。

9动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。

10遭受巨大损失：

考虑由于预计全球温度会上升而导致的北极冰盖的融化对陆地的影响。

特别要对由于冰盖融化在今后50年中每10年对佛罗里达州沿岸，尤其是大城市地区的影响进行建模。

试提出适当的应对措施来处理这个问题。

对所用数据的仔细讨论是回答本问题的重要组成部分。

11一家集生产、销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上，如果销售量可以预测，公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的策略。

（1）以在一定时间T内生产率和贮存量与设定值误差的（加权）平方和最小为目标，给出泛函极值问题。

（2）设销售量为常数，求出最优解，并在T很大的情况下给出生产率和贮存量之间的关系。

12在基因遗传过程中，考虑三种基因类型：

优种D（dd），混种H（dr）和劣种R（rr）。

对于任意的个体，每次用一混种与之交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去。

构造马氏链模型，说明它是正则链，求稳态概率及由优种和混种出发的首次返回平均转移次数。

如果改为每次用优种交配，再构造马氏链模型，说明它是吸收链，求由混种和劣种出发变为优种的平均转移次数。

13同类型的商家经常会出现“扎堆”现象，形成各式各样的商品城，如“书城”、“灯具城”等。

人们有时不得不跑很远的路去这类商品城，于是会抱怨：

如果他们大致均匀的分布到城市的不同地点，难道不是对商家更为有利可图，也更方便顾客？

请你以下面的问题为例，作出适当的假设，进行建模分析：

某海滨浴场准备设立两个售货亭，以供海滩上游泳和休闲的人购买饮用水和小食品等。

那么，这两个售货亭的店主将会分别将售货亭设立在哪里？

14我们经常见到报道：

一些不文明现象或违法行为发生在众目睽睽之下，却无人出面阻止或干预。

如果不考虑这类事件的复杂社会、道德等因素，你能否完全从数学的角度通过建立博弈模型来定量分析一下这种“人多未必势众”的现象？

具体来说，希望你的模型回答下面的问题：

假设有多个人正在目睹某个不文明现象或违法行为，那么当目睹人数增加时，有人出面阻止或干预的可能性是增加了还是减少了？

15“田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：

战国时期，齐国将军田忌经常与齐王赛马，设重金赌注。

孙膑发现田忌与齐王的马脚力都差不多，可分为上、中、下三等。

于是孙膑对田忌说：

“您只管下大赌注，我能让您取胜。

”田忌相信并答应了他，与齐王用千金来赌胜。

比赛即将开始，孙膑对田忌说：

“现在用您的下等马对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下等马。

”三场比赛完后，田忌只有一场不胜而另两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。

（1）分析这个故事中还隐含了哪些信息，并思考合适可以建模为一个博弈问题。

何时只是一个简单的单人决策问题。

（2）如果齐王和田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变，这个博弈是否存在纯战略纳什均衡？

如果不存在，求出该博弈模型的混合战略纳什均衡。

16在一项调查降价折扣券对顾客的消费行为影响的研究中，商家对1000个顾客发放了商品折扣券和宣传资料，折扣券的折扣比例分别为5%，10%，15%，20%，30%，每种比例的折扣券均发放了200人，现记录他们在一个月内使用折扣券购物的人数和比例数据如表：

（1）对使用折扣券人数比例先做logit变换，再对使用折扣券人数比例与折扣比例，建立普通的一元线性回归模型。

（2）直接利用MATLAB统计工具箱中的glmfit命令，建立使用折扣券人数比例与折扣比例的logit模型。

与

（1）作比较，并估计若想要使用折扣券人数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为多大？

17下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入X1（千元），风险偏好度X2和人寿保险额y（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。

研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。

研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。

 请你通过表中的数据建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。

18大陆上物种数目可以看做常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。

岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数量有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。

在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。

19速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是ρ。

用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v，s，ρ的关系。

20建立耐用消费品市场销售量的模型。

如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数？

21某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A，B）。

按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产A，B。

已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别为3%，1%，2%，1%，进货价格分别为6，16，10，15（千元/t）；

产品A，B的含硫量分别不能超过2.5，1.5（%），售价分别为9，15（千元/t）。

根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50t；

产品A，B的市场需求量分别为100t，200t。

问应如何安排生产？

更多内容请访问《睦霖题库》微信公众号

22某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表所示。

按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。

此外还有以下限制：

 1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

 2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

 3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

问：

（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？

 （3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？

若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

23雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。

24某商店要订购一批商品零售，设购进价C1，售出C2，订购费C0（与数量无关），随机需求量r的概率密度为p（r），每件商品的贮存费为C3（与时间无关）。

问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。

为使这个平均利润为正值，需要对订购费C0加什么限制？

25在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q=q0+βt，β为增长率。

又设单位时间的销售量为X=a-bp（p为价格）。

今将销售期分为0<

t<

T两段，每段的价格固定，记为p1，p2。

求p1，p2的最优值，使销售期内的总利润最大。

如果要求销售期T内的总销售量为Q0，再求p1，p2的最优值。

26在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。

比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：

1.试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。

27报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。

设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。

这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。

报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；

如果购进太多，卖不完，将要赔钱。

请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。

28在冷却过程中，物体的温度在任何时刻变化的速率大致正比于它的温度与周围介质温度之差，这一结论称为牛顿冷却定律，该定律同样用于加热过程。

一个煮硬了的鸡蛋有98℃，将它放在18℃的水池里，5分钟后，鸡蛋的温度为38℃，假定没有感到水变热，问鸡蛋达到20℃，还需多长时间？

29一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。

根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。

（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。

（2）33元可买到1桶牛奶，买吗？

（3）若买，每天最多买多少？

（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元？

 （5）A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？

30一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤。

目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。

31学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。

32把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

33用预估校正Euler法，求解定解问题：

求出步长为1的所有点的值，并绘制图形。

34轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积，首先测得横向最大相间8.534米，然后等距离的测得纵向高度，自左向右分别为0.914，5.060，7.772，8.717，9.083，9.144，9.083，8.992，8.687，7.376，2.073米，计算甲板的面积。

35由函数y=sinx在三点0，π/4，π/2处的函数值，构造二次插值多项式P2（x），计算sin（π/8）的近似值，并估计截断误差。

36建立数学模型的一般步骤是什么？

建模的具体步骤大致如下：

1、实际问题通过抽象、简化、假设，确定变量、参数；

2、建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数；

3、用实际问题的实测数据等来检验该数学模型。

37建立数学模型一般都有什么方法？

建模的一般方法：

机理分析：

根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。

测试分析方法：

将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。

测试分析方法也叫做系统辩识。

将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。

在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定建立数。

38建立数学模型一般应遵循什么原则？

模型假设是整个建模的起点，是模型建立的基础，不同的人对同一事物的认识因其角度及深度不一致而产生不同的假设条件，从而导致不同的模型建立恰当进行模型假设是极为重要的。

同时模型假设和模型建立是一个不易分离的整体过程。

在进行模型假设和模型建立的过程中，我们应遵从以下两个基本原则，并按两个基本原则的顺序进行反复的操作。

（1）分割原则

分割成若干个独立的研究对象并说明对象间应有联系可用图来表示对象间联系。

（2）联系原则

构造出对象之间的联系的具体方式或细节

分割的复杂性在于不存在绝对的客观分割的标准因为任何一个分割方式都带有一定的主观性，

分割问题不单纯是数学问题，还需要有其他学科的观点，这就构成模型假设的复杂性。

对其复杂性我们有必要作深入探讨和研究。

39数学模型是如何分类的？

用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。

它是真实系统的一种抽象。

数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。

40什么是数学模型？

所谓数学模型，是指针对或参照现实世界中某类事物系统的主要特征、主要关系，经过简化与抽象，用形式化的数学语言概括或近似地加以表述的一种数学结构.一般表现为数理逻辑的逻辑表达式、各种数学方程（如代数方程、微分方程、积分方程等）及反映量与量之间相互关系的图形、表格等形式.它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策与控制好的数学模型应具备可靠性和可解性（也叫适用性）两方面的特性：

可靠性指在允许的误差范围内，能反映出该系统有关特性的内在联系；

可解性指易于数学处理与计算数学。

模型方法将复杂的研究对象简单化、抽象化，撇开对象的一些具体特征，减少其参数，只抽取其主要量、量的变化及量与量之间的相互关系，在“纯粹”的形态上进行研究，突出主要矛盾，忽略次要矛盾，用数学语言刻画出客观对象量的规律性，简洁明了地描述现实原形，揭示出其本质的规律，并在对模型修正、求解的基础上使原问题得以解决。

可以说，数学模型是对现实原形的一种理想化处理是一个科学的抽象过程，因而具有高度的抽象性与形式化特征.这一特征使其成为一种经典的数学方法，并随着科学技术的数学化趋势，超越数学范畴，广泛地应用于自然科学、工程技术和社会科学的一切领域。