新人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线构造三角形.docx
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新人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线构造三角形
5.辅助线之构造特殊三角形
1.如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球，是地面上相距米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角，仰角，求汽球的高度为多少.（精确到米，=1.732）
答案：
32.9
解析：
过点作于点，设米.
在中，，
∴（米）
在中，
∴（米）
又∵
∴
∴（米）
∴（米）
2.如图，在中，已知，求中多少度；多少度；多少度.
答案：
30；30；120
解析：
作于点，则，
由，得
3．如图所示，天空中有一静止的广告气球，从地面点测得的仰角为45°，从地面点测得的仰角为60°．已知米，点和直线在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．
答案：
解析：
作，垂足为，设气球离地面的高度为米．
在中，，∴．
在中，，∴．
∵，∴，∴．
答：
气球离地面的高度为米
4.已知：
如图，中，，是上一点，，求的度数及的长？
答案：
见解析
解析：
过点作于，则．
在中，，
∴
在中，，∴，
∴，，
在中，，∴
5.某旅游区有一个景观奇异的望天洞，点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道返回山脚下的处．在同一平面内，若测得斜坡的长为米，坡角，在处测得的仰角，在处测得的仰角，过点作地面的垂线，垂足为．
（1）求的度数；
（2）求索道的长．（结果保留根号）
答案：
见解析
解析：
⑴∵，∴．
又∵，∴，
∵，
∴．
⑵过点作于点．
在中，，
∴，
又∵，
∴，
．
在中，，
∴，
∴（米）
答：
索道长米．
6.如图,点是的角平分线上一点，过点作交于点.若,求点到的距离.
答案：
6
解析：
过点作，并交于点.
∵是的角平分线，
∴.
又∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
7.某片绿地的形状如图所示，其中，，，，，求的长为_、的长为___.（精确到，）.
答案：
227；146
解析：
延长、交于点，
在中，，则，
由，得，
从而.
在中，∵，，
∴，
从而，
∴，
.
8.已知：
如图，在四边形中，，，，，．求这个四边形的面积．
答案：
解析：
连结，过点作于，是直角三角形，面积为，且，在和中，设，，解得，
∴，，
∴四边形的面积为．
9.如图,已知梯形中,,,,,,则下底的长为___．
答案：
10
解析：
过作，把梯形分成平行四边形和直角三角形，利用平行四边形的对边相等得到，所以可以求出，在直角三角形中，根据，利用勾股定理求出的长也就可以求出了．
解：
如图，过作交于点，
，四边形是平行四边形，
，
，
，
（直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半），
在中，，
即
，
解得，
．
故答案为：
10．
10.如图，在鱼塘两侧有两棵树、，小华要测量此两树之间的距离．他在距树的处测得，又在处测得．求、两树之间的距离？
（结果精确到）（参考数据：
，）
答案：
17.3
解析：
作，垂足为点.
∵，，∴，∴，
∴.
在中，∵，∴.
答：
、两树之间的距离约为.
11.如图，在中，，则的值为多少.
答案：
4
解析：
作的中线，过作于，求出，求出，根据勾股定理求出，代入求出即可．
解
：
作的中线，过作于，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：
，
，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
.
12.如图，在梯形中，，垂足为点．若，求的长为__．
答案：
2
解析：
过点作于，利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长，再根据含角的直角三角形的性质即可得出的长．
解：
过点作于，则，
在中，，
，
即，
，
，
．
13.如图，四边形中，，且，求四边形的面积为__．
答案：
1.5
解析：
解：
如图延长交延长线于点，
又
四边形的面积
14.如图，在平行四边形中，分别在和的延长线上，．求的长
解析：
首先证明四边形是平行四边形，可得，即为中点，然后再得，再利用三角函数可求出和的长即可．
解：
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，即为中点，
，
，
，
，
过作于点，
，
，
，
，
．
15．如图，在四边形中，，且，，则四边形的面积为____.
答案：
12
解析：
根据题意推知和是等腰直角三角形，则．
解：
如图，延长交于点．
，
．
，
．
，
又，
，
，
．
故答案是：
12．
16.某校在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米元，则购买这种草皮至少要 元．
答案：
150a
解析：
先做的高，求出，再得出，再根据求出三角形的面积，最后根据这种草皮每平方米元，即可得出答案．
解：
做的高，
，
，
，
，
这种草皮每平方米元，
购买这种草皮至少要元，
故答案为：
150a．
17.如图，四边形中，，则的长
解析：
延长交于，求出，求出长，在中，求出，在中，根据勾股定理求出即可．
解：
延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
．
18.如图，在中，交边于点
（1）求的度数为__；
（2）求的度数为___．
答案：
45；45
解析：
（1）根据已知可求得的度数，再根据三角形外角的性质即可求得的度数．
（2）过作于，连接，根据直角三角形中度所对的边是斜边的一半及已知可推出，从而可得到，从而可求得，根据等角对等边可得，再利用等边对等角的性质即可证得结论．
（1）解：
，
，
；
（2）证明：
过作于，连接．
，
，
，
，
，
，
．
19.如图，在五边形中，则五边形的周长是（ ）
解析：
可延长和交于一点，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出和的值，进而求出答案．
解：
可延长和交于一点，
根据五边形的内角和定理和已知条件，可得是等腰直角三角形，四边形是正方形.
则，∴
所以五边形的周长是．
20.如图，四边形中，，则的长为
解析：
延长，两延长线相交于点，根据是等腰直角三角形，得，从而求出的长．
解：
如图，延长，两延长线相交于点，
，
是等腰直角三角形
，又
是等腰直角三角形
设，则
解得：
21.如图，线段的长为，为上一个动点，分别以为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形和，那么长的最小值是____.
答案：
1
解析：
根据垂线段最短这个知识点来构造辅助线解题.
解：
延长和交于一点，连接
∵和均为等腰直角三角形
∴
∴
∴四边形为矩形
∴
∵当时，有最小值。
且为等腰直角三角形
∴的最小值
∴的最小值为1
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