八年级TI杯全国初中数学竞赛试题及答案.docx

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八年级TI杯全国初中数学竞赛试题及答案

2020年TI杯全国初中数学竞赛试题

一、选择题（30分）

1.化简，得（）。

（A）（B）（C）（D）

答案：

C

2.如果是三个任意整数，那么（）。

（A）都不是整数（B）至少有两个整数

（C）至少有一个整数（D）都是整数

答案：

C

3.如果是质数，且那么的值为（）。

（A）（B）（C）（D）

答案：

B

4.如图，若将正方形分成个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则的值为（）……

（A）6（B）8（C）10（D）12

答案：

B

5.如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D,且PB=4，PD=3，则ADDC等于（）。

（A）6（B）7（C）12（D）16

答案：

B

6.若是正数，且满足，则之间的大小关系是（）。

（A）（B）（C）（D）不能确定

答案：

A

二、填空题（30分）

7.已知：

。

那么____________。

答案：

970

8.若则的值为____________。

答案：

6或-7

9.用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于____________。

答案：

或10

10.销售某种商品，如果单价上涨％，则售出的数量就将减少。

为了使该商品的销售总金额最大，那么的值应该确定为____________。

答案：

25

11.在直角坐标系中，轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标____________。

答案：

12.已知实数满足，那么t的取值范围是____________。

答案：

三、解答题（60分）

13.某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。

在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。

他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。

如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。

那么他在第10次射击中至少要得多少环？

（每次射击所得环数都精确到0.1环）

14.如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A,B两点，并交ST于点C。

求证：

.

答案：

P，A，C，B四点成调和点列（德站解答）

15.如图，已知圆O的两条半径OA与OB互相垂直，C为弧AmB上的一点，且，求的度数。

16.对非负整数n，满足方程的非负整数的组数记为

（1）求的值；

（2）求的值；

答案：

1．列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：

弄清题意．

（2）找出等量关系：

找出能够表示本题含义的相等关系．

（3）设出未知数，列出方程：

设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．

（4）解方程：

解所列的方程，求出未知数的值．

（5）检验，写答案：

检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．

2.和差倍分问题：

增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量

3.等积变形问题：

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝r2h

②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc

4．数字问题

一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．

5．市场经济问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．

6．行程问题：

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（1）相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：

快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

7．工程问题：

工作量＝工作效率×工作时间

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

8．储蓄问题

利润＝×100%利息＝本金×利率×期数

实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）

类型一：

列二元一次方程组解决——行程问题

　　【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

　　解：

设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：

（2.5+2）x+2.5y=36

3x+（3+2）y=36

解得：

x=6，y=3.6

答：

甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

　解：

设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：

20（x-y）=280

14（x+y）=280

解得：

x=17，y=3

答：

这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，

类型二：

列二元一次方程组解决——工程问题

　【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？

请你说明理由.

解：

类型三：

列二元一次方程组解决——商品销售利润问题

【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

　解：

设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：

x=6，y=4

答：

李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩

【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

A

B

进价（元/件）

1200

1000

售价（元/件）

1380

1200

（注：

获利=售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；

解：

设购进A的数量为x件、购进B的数量为y件，依据题意列方程组

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200，y=120

答：

略

类型四：

列二元一次方程组解决——银行储蓄问题

【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？

　　解：

设x为第一种存款的方式，Y第二种方式存款，则

X+Y=4000

X*2.25％*3+Y*2.7％*3=303.75

解得：

X=1500，Y=2500。

答：

略。

类型五：

列二元一次方程组解决——生产中的配套问题

　　　【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

解：

设x张做盒身，y张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110，y=80

即110张做盒身，80张做盒底

　【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

　解：

设生产螺栓的工人为x人，生产螺母的工人为y人

x+y=60

28x=20y

解得x=25，y=35

答：

略

【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。

现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？

能配多少张方桌？

　解：

设用X立方米做桌面，用Y立方米做桌腿

X+Y=5.........................

（1）

50X：

300Y=1：

4......................

（2）

解得：

Y=2，X=5-2=3

答：

用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

类型六：

列二元一次方程组解决——增长率问题

　　【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。

　解：

设该城市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人。

x＋y＝42

0.8%×X＋1.1%×Y＝42×1%

解这个方程组，得：

x=14，y=28

答：

该市现在的城镇人口有14万人，农村人口有28万人。

类型七：

列二元一次方程组解决——和差倍分问题

　　【变式1】略

　【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。

如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？

　　解：

设：

男有X人，女有Y人，则

X-1=Y

2（Y-1）=X

解得：

x=4，y=3

答：

略

类型八：

列二元一次方程组解决——数字问题

　　【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？

解：

设这个两位数十位数是x，个位数是y，则这个数是（10x+y）

10x+y-3（x+y）=23

（1）

10x+y=5（x+y）+1

（2）

由

（1），

（2）得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：

x=5

y=6

答：

这个两位数是56

【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？

解：

设个位X，十位Y，有

X-Y=5

（10X+Y）+（10+X）=143

即

X-Y=5

X+Y=13

解得：

X=9，Y=4

这个数就是49

【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。

　解：

设原数百位是x，个位是y那么

x+y=9

x-y=1

两式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原数是504

类型九：

列二元一次方程组解决——浓度问题

　　【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？

解：

设10%的X克，85%的Y克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即：

X+Y=12