高考全国1卷理科数学及答案.docx
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高考全国1卷理科数学及答案
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分，共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M{x4x2}，N{xx2x60，则MN=
A．{x4x3B．{x4x2
C．{x2x2D．{x2x3
2．设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则
A．（x+1）2y21
B．
（x1）2y21
22
C．x2（y1）21
D．
x2（y+1）21
3．已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则
A．abcB．acb
C．
cabD．bca
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长
度之比是51（51≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维22
纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长
度之比也是51．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105
2
cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A．165cmB．175cm
C．185cmD．190cm
5．函数f（x）
sinxx2在[,]的图像大致为
cosxx2
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由
从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，
3个
如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则
A．an2n5B．an3n10
212
C．Sn2n28nD．Snn22n
2
10．已知椭圆C的焦点为F1（1,0），F2（1,0），过F2的直线与C交于A，B两点．若
|AF2|2|F2B|，
|AB||BF1|，则C的方程为
2
22
22
22
x2
A．y21
xy
B．1C．
x2y21
xy
D．1
2
32
43
54
11．关于函数f（x）sin|x||sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数②f（x）在区间（,）单调递增
2
③f（x）在［,］有4个零点④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．86B．46C．26D．6
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
2x
13．曲线y3（x2x）ex在点（0，0）处的切线方程为．
1
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1，a42a6，则S5=．
315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1
获胜的概率是．
22xy
16．已知双曲线C：
221（a0,b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与Cab
的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1AAB，F1BF2B0，则C的离心率为．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
22
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sinBsinC）2sin2AsinBsinC．
（1）求A；
（2）若2ab2c，求sinC．
18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：
MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
19．（12分）
3
已知抛物线C：
y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交
2
点为P．
1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
20．（12分）
已知函数f（x）sinxln（1x），f（x）为f（x）的导数．证明：
（1）f（x）在区间（1,）存在唯一极大值点；
2
（2）f（x）有且仅有2个零点．
21．（12分）
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为
了方便描述问题，约定：
对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，
甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α
和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i0,1,,8）表示“甲药的累计得分为
i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1（i1,2,,7），其中aP（X1），bP（X0），cP（X1）．假设0.5，0.8．
（i）证明：
{pi1pi}（i0,1,2,,7）为等比数列；
（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．［选修4-4：
坐标系与参数方程］（10分）
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2cos3sin110．
1）求C和l的直角坐标方程；
2）求C上的点到l距离的最小值．
23．［选修4-5：
不等式选讲］（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
111222
（1）a2b2c2；abc
（2）（ab）3（bc）3（ca）324．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学?
参考答案
一、选择题
1．C2．C3．B4．B5．D6．A7．B8．A9．A10．B11．C12．D
二、填空题
121
13．y=3x14．15．0.1816．2
3
三、解答题
17．解：
（1）由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得
222
bcabc．
因为0A180，所以A60．
（2）由
（1）知B120C，由题设及正弦定理得2sinAsin120C2sinC，
即63cosC1sinC2sinC，可得cosC602
2222
sinCsinC6060
sinC60cos60cosC60sin60
62
4
18．解：
（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且
1
ME=B1C．
2
1
又因为N为A1D的中点，所以ND=2A1D．由题设知
A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形
MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则
（1,3,2），
A（2,0,0），A（12,0,4），M（1,3,2），N（1,0,2），A1A（0,0,4），A1M
设m（x,y,z）为平面A1MA的法向量，则
x3y2z0，所以可取m（3,1,0）．
4z0．
nMN0，设n（p,q,r）为平面A1MN的法向量，则
nA1N0．
所以3q0，可取n（2,0,1）．
p2r0．
所以二面角AMA1N的正弦值为10．
5
19．解：
设直线l
3
:
y2xt,Ax1,y1,Bx2,y2．
1）由题设得F43,0，
故|AF||BF|x1x23，由题设可得x1x25．
122122
3
yxt2由2，可得y22y2t0．
y23x
所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13．
代入C的方程得x13,x21．
123
唯一零点，
设为.
则当x（1,）时，g'（x）0；当x,时，g'（x）0.2
所以g（x）在（1,）单调递增，在,2单调递减，故g（x）在1,2存在唯
一极大值点，即f'（x）在1,2存在唯一极大值点
2）f（x）的定义域为（1,）.
（i）当x（1,0］时，由
（1）知，f'（x）在（1,0）单调递增，而f'（0）0，所以当x（1,0）时，f'（x）0，故f（x）在（1,0）单调递减，又f（0）=0，从而x0是f（x）在（1,0］的唯一零点.
（ii）当x0,时，由
（1）知，f'（x）在（0,）单调递增，在,单调递22
减，而f'（0）=0，f'0，所以存在,，使得f'（）0，且当
，22
x（0,）时，
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