近世代数教案Word格式文档下载.docx
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结构代数阶段
2.了解近世代数产生的三大基础：
高次方程求根问题与Galois群；
费马问题的Kummer方法与理想论；
Hamilton四元数；
了解近世代数在现代数学中的地位
3.代数运算的一般定义
4.群、环、域的定义与初步实例
教学时数：
共3节，每节2学时，共6学时
思考问题：
1.利用乘法公式解释我国古代筹算开方法的原理。
2.素数的复整数分解。
5=（1+2i）（1-2i），问通常素数的复整数中存在非平凡分解的充分必要条件如何。
3.证明汤璪真（Z，*）群定理，并推广这个定理：
设n是任一固定整数，在整数集上构造一个群，使其单位元是n。
1.1方法与对象
内容要点：
概要了解代数学发展的历史；
了解形成近世代数三大基础，Galois群，Kummer理想论，Hamilton四元数；
了解近世代数在现代数学中的地位。
讲授内容：
代数学经历了漫长的发展过程，抽象代数是19世纪最后20年直到20世纪前30年才发展起来的现代数学分支。
为了对代数学的发展过程有一个梗概的了解，下面我们考察代数学发展的四个不同阶段。
1）文字叙述阶段
2）简化文字阶段
3）符号代数阶段
4）结构代数阶段
古希腊之前直到丢番图（Diophantus，公元250年）时代，代数学处于最初的文字叙述阶段，这一阶段除古希腊数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学。
这一阶段算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法，代数运算法则都是采用通常的语言叙述方式来表达，因而代数推理也都采用直观的方法。
在古代中国则有著名的筹算法。
算筹记数法：
123456789
10
筹算开方法
以下摘自李俨著《中国算学史》：
筹算开方法见于九章算术，其开方布算列为商、实、法、借算四级。
例求55225之平方根
1）先置积为实，与单位下借算1
商
55225实
法
1借算
2）因实有5位，移借算于百位则商（根）有十位数；
移借算于万位则商（根）有百位数。
是谓借一算步之，超一等。
今移借算1于万位5之下，则根百位数为2（22=4，5-4余1）
2商
4法
3）去5留1，并于借算1上置根之百位数2，称之为法。
15225实
2法
4）倍法为定法（2×
法=定法：
2×
2=4）
4法
5）4一退，借算1二退于百位，则商在十位。
15÷
4=3余3，约得根之十位为3，置3于商之十位及法之个位。
23商
43法
6）152-43×
3=23，去152留23为实。
（与第3步相同）
2325实
7）法位43+3=46为定法。
（与第4步相同）
46法
8）定法一退，借算1二退，商在单位。
232÷
46=5余2，商之个位约为5。
置5于商之个位及法之个位。
（与第5步相同）
235商
465法
9）2325-465×
5=0，开方完成，得55225之平方根为235。
思考问题1利用乘法公式解释筹算开方法的原理。
参考答案以万位数开方为例，由平方和公式
M=（100a+10b+c）2=104a2+10（20a+2b）c+c2
第一次试商a（根的百位数）;
第一次定法位,倍法为定法20a=2a×
10;
第一次求余数M-104a2;
第二次试商b（根的十位数）;
第二次定法位,20a+2b;
第三次试商c;
最后求余数M-104a2-10[（20a+2b）c+c2]=0;
开方完成。
而在古希腊则借助于几何图形的变换方法。
最典型的代表是毕达哥拉斯（Pythagoras公元前585—497）几何数论方法。
例如通过图1的几何图形的组合得1+3+5+7+……+（2n-1）=n2。
（图1）
不要认为简单的几何图形变换只能产生简单的代数结论，恰当地利用几何图形的变换有时也会产生重要的代数结论（参阅后面6.1节）。
缺乏符号运算的代数当然是相当原始的代数学。
直到古希腊数学后期，数学家丢番图才开始把通常的语言叙述作简化，利用简化的文字符号代替一些相对固定的代数表达式。
例如：
一个数的平方表为△Y。
这是因为希腊文“幂”字为dumamis（△YNMIS），立方表为KY，因为立方的希腊文为kubos（KYBOS），等等。
这一时期称为代数的简化文字阶段，这一时期大致延续到欧洲文艺复兴时代。
丢番图对代数学的发展作出了突出的贡献，《算术》一书是丢番图留下的重要著作，该著作研究了一系列不定方程的求解问题。
例如把一个平方数表为两个平方数之和的问题。
后来欧拉发现了正整数能够表为两个整数平方和的充分必要条件。
把一个给定的整数表为四个数的和再加上这四个数的平方和（即求x、y、z、w使x2+y2+z2+w2+x+y+z+w=n）。
求两个有理数使它们的和等于它们的立方和，例如
等等。
正是在丢番图关于整数诸如此类表法研究的基础上，17世纪伟大的法国数学家费马（PierredeFermat1601—1665）提出了不定方程
在n3时不可解问题。
19世纪费马问题的研究也是导致近世代数理想论产生的重要契机。
代数学的第三个重要发展阶段是符号代数阶段，这一阶段经过欧洲文艺复兴之后的好几位数学家的努力而达到，它大致在17世纪完成。
它的标志是用字母表示数，这一过程使代数学达到了现在我们看到的这种符号演算形式。
较早的代表著作是德国数学家M.Stifel（1486—1567）1553年的著述《综合算术》。
Stifel利用10进制小数表示实数。
对代数学的符号体系作出了重要贡献的另一位代表人物是法国数学家韦达（F.Viete1540—1603）。
韦达是第一个系统使用字母表示数的人，韦达在代数方程、三角学等许多方面都作了杰出的贡献。
韦达求出了2/的无穷积表达式。
代数学的第四个阶段是结构代数阶段。
这一阶段代数学的研究对象不再是个别的数字运算，而是抽象的运算系统（如群、环、域等）的代数结构。
它起因于年青的法国数学家EvaristeGalois（1811—1832）对代数方程根式解的研究。
近世代数的产生是结构代数的重要标志，近世代数的三大基础：
1）Galois利用群论方法研究高次方程的求根问题
2）Kummer利用理想论方法研究Fermat问题
3）Hamilton四元数的发现
Galois引入了群与扩域的工具，解决了高次方程的求根问题。
这个问题是在16世纪中叶，两位意大利数学家G.Cardano（1506年）与L.Ferrari（1545年）发现了三、四次方程的求根公式之后一直困扰数学家达三百年之久的代数学难题。
Galois摆脱了前人关于根的计算方法的研究途径，发现根的对称性群的结构能够决定根的可解性。
Galois的研究不但确立了群论在数学中的重要地位，同时也开创了结构代数这个新型的代数学研究方向。
在数学家们致力于解决高次方程的求解问题的同时，高斯（CarlGauss1777—1855）为了解决费马（P.deFermat，1601—1605）问题，开始一般性地研究代数数域。
他的学生库默尔（E.Kummer，1810—1893）在Gauss方法的基础上引入了理想数，使Fermat问题的研究推进了一大步。
直到19世纪末已建立了群、环、域的系统理论。
1834年爱尔兰数学家WilliamR.Hamilton（1805—1865）在高斯把复数解释为二元数这一思想的启发下创建了一种奇特的不交换的数系，后来人们称之为Hamilton四元数。
以上三大进展奠定了近世代数学的重要基础。
1931年荷兰数学家B.L.vanderWaerden出版了两卷本《近世代数学》，1955年该书第四版更名为《代数学》。
这一著作标志着群、环、域等抽象结构理论已经成为现代代数学的主要研究对象，该著作同时也成为现代结构主义数学的起点。
1951年美国数学家N.Jacobson又出版了新的代数学著作，书名为《抽象代数学讲义》（共三卷）。
因此近世代数也被称为抽象代数。
抽象代数是以具有一定代数运算系统的整体结构作为研究对象的。
整数系统有加法和乘法运算，两种运算满足一定的运算法则。
而全体有理系数多项式也具有加、乘两种运算，满足同样的运算法则，因此从这个意义上说这两个系统具有相同的代数结构，我们把这种代数结构抽象地称为环。
因此有整数环、数域上的多项式环。
这两种环还有其它许多相类似的性质，例如都有带余除法，这种带余除法在研究因子分解过程中起着十分重要的作用。
我们在后面（第二章、第六章）将看到整数环虽然与域上的多项式环形式不一样，但它们在因子分解性质上是相同的，这两个环都称为欧氏环（欧几里德环）。
数域上的矩阵也组成一个环，称为矩阵环。
矩阵环与整数环及多项式环的区别在于乘法不交换，另一个区别是矩阵环中一般没有上述的带余除法，因此矩阵环在因子分解方面没有欧氏环中那么简单的规律，例如因子分解唯一性。
可见抽象代数就其研究方法而言，是从运算法则的抽象角度去研究一个数学系统的整体结构。
但是这些抽象结构系统并不是凭空想象出来的，每一个抽象结构系统都是为了解决某个重大疑难问题而引入的。
本书的一个重要的特点是从问题解决的途径来讨论各种代数系统的结构和性质，每一章所选择的重要疑难问题大多数都曾经在近世代数产生和发展过程中发挥过关键的作用。
思考问题2
在下面的问题中，我们可以初步了解到一个抽象的运算系统可能具有与我们所熟悉的整数等运算系统很不相同的性质。
将Z（i）=｛a+bi︱a，b是整数｝称为高斯整数环，或者比较通俗地称之为复整数系统。
一个通常的整数，例如4，在整数中因子分解与在复整数中因子分解可能产生完全不同的结果。
在复整数中4有两种完全不同的分解：
4=22=（1+3i）（1-3i）。
甚至一个通常的素数p在复整数中存在非平凡的因子分解2=（1+i）（1-i），5=（1+2i）（1-2i），等等。
但是3在复整数中没有非平凡的因子分解。
问题：
通常素数在复整数中有非平凡的因子分解的充分必要条件。
提示：
1与i是复整数分解中的平凡因子，而其它因子都是非平凡因子。
注本题的答案：
通常素数p在复整数中有非平凡的因子分解的充分必要条件是p=a2+b2，a、b∈Z。
虽然解答并不复杂，但本题有两个重要意义：
1.同一个元素在不同的数环中因子分解的结果可能不同；
2.由本题产生的另一个重要的数论问题是，素数p能够表为两个整数的平方和的充要条件是什么？
这一问题为2.4节与2.6节的欧拉2平方和定理与Lagrange4平方和定理提供了自然的问题背景。
本题可以作为课堂练习，由学生回答。
不必作为书面作业，因为学习后面几章之后，这一问题不难解答。
1.2映射与运算
复习引入：
1.简述近世代数产生的三大基础
2.近世代数的标志性著作
1.抽象代数是建立在一系列抽象概念的基础上，这是现代数学的一个重要特点。
把代数运算看成2元映射，这是本课程所遇到的第一个抽象的、形式化的概念。
2.集合分类与商集是重要的基本概念，要让学生通过实例加以理解。
3.交换图是研究映射的重要工具，本节练习题2可以使学生从实例中了解交换图的概念与用法。
定义1两个非空集合A与B之间存在对应法则φ:
A→B使每a∈A存在b∈B使φ（a）=b，则φ称为A到B的映射，这时b称为a的象，a称为b的原象。
如果映射φ使B的每个元都是A中某个元素的象，则φ称为满映射（满射）；
如果映射φ使A中每个元素a映到B的一个元b，且只有a才能映到b，则φ称为单映射（单射）；
一个既单又满的映射称为一一映射。
如果象集合B=A，则φ称为A上的映射。
定义2假定非空集合A上存在这样的对应φ使每a，b∈A均存在一个元c∈A使φ（a，b）=c，称这样的对应为A上的二元映射，也称为A上的二元运算。
对于A上的二元运算，我们常常采用更为方便的符号a·
b表示，甚至连运算符号也完全省去，直接写成ab。
定义3非空集A上若存在二元关系a〜b满足下列条件：
（1）自反性a〜a
（2）对称性若a〜b则b〜a
（3）传递性若a〜b，b〜c则a〜c
则称〜为等价关系。
如果A上有等价关系〜，我们可以利用等价关系作一个新的集合
，
的每个元素A（a）=｛x∈A︱x〜a｝。
新的集合
称为A在等价关系〜之下的等价类集合，
的每个元A（a）称为a所在的等价类，
也称为A在等价关系〜之下的商集。
等价类有以下两个性质：
（1）每a∈A必在某个等价类中a∈A（a）
（2）若A（a）≠A（b），则A（a）∩A（b）=φ
因为，反过来要是A（a）∩A（b）≠φ，c∈A（a）∩A（b），则每x∈A（b）有x〜b，但c∈A（b）故c〜b，于是x〜c。
但另一方面c∈A（a），故c〜a，于是x〜a，x∈A（a）。
说明A（b）A（a）。
同样的道理A（a）A（b），故A（a）=A（b），与假定矛盾。
由上面这两个性质，A的等价分类恰好把A的元素划分为互不相交的子集的并。
例设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：
a〜b当且仅当m︱a–b。
容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合
记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；
m︱x–a｝或者也可记为
，称之为模m剩余类。
若m︱a–b也记为a≡b（m）。
当m=2时，Z2仅含2个元：
[0]与[1]。
练习作业
1.假定集合A上有一个二元运算a·
b，或简单地记为ab。
当有多个元素进行运算时，我们加括号来表示运算的顺序，例如：
（ab）（c（de））等。
如果对A的每3个元a、b、c都有（ab）c=a（bc），则称A上的这个运算满足结合律。
结合律意味着3个元的运算，其运算结果与运算先后顺序无关。
证明：
如果A上的二元运算满足结合律，则任意有限个元素的运算，用各种不同的方法加括号，其运算结果不变。
2.已知φ:
A→B是满映射，定义A上的二元关系x〜y当且仅当
（x）=（y），证明这是一个等价关系。
商集记为
中的元A（a）记为
。
定义:
A→
使（a）=
，证明也是满射，并且:
→（a）是
到B的一一映射。
同时映射等式=成立，这一等式可用下面的交换图表示。
注本题使学生初步感受交换图是研究若干代数对象之间的映射关系的一种重要工具。
1.3群、环、域的定义
等价关系与等价类的定义；
等价类的性质
本科近世代数课程主要学习三个代数系统，即群、环、域。
本节集中讲述群、环、域的定义与一些常见的例。
集中讲述群、环、域的定义有一个重要的好处，在以后各章可以灵活应用这些定义，而不受章节先后顺序的限制。
不一定要求学生一开始就熟记这些定义，在后面有关章节还可以通过复习进一步加强对这些概念的理解。
整数加群观察整数集Z上的加法运算，满足以下法则
（1）加法封闭：
每a，b∈Z有a+b∈Z
（2）加法交换：
a+b=b+a
（3）加法满足结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）
（4）有零元0，使a+0=a
（5）加法可逆，对每a∈Z存在-a∈Z使a+（-a）=0，这时我们称整数集Z成为一个加法群。
整数加群可以记为（Z,+）。
同样地我们有有理数加群，多项式加群等。
1.3.1群的定义非空集G，若存在一种代数运算·
（称为乘法），满足下列条件：
（1）封闭律每a，b∈G,a·
b∈G
（2）结合律（a·
b）·
c=a·
（b·
c）
（3）有单位元e使对每a∈G有a·
e=e·
a=a
（4）有逆元每a∈G存在逆元a-1使a-1·
a=a·
a-1=e，这时称G是一个群。
1.3.2子群定义群G的非空子集H若在G的乘法运算之下也成为一个群，则H称为的子群。
注1.群的乘法运算符号·
常常省去不写ab=a·
b。
注2.容易证明，群的单位元是唯一的，每个元素的逆元素也是唯一的。
注3.群的乘法不必交换。
如果交换，则称G为交换群。
加群总是指加法交换群。
交换群也称Abel群。
例1.全体非零有理数对于有理数的乘法成为一个群，记为Q*。
例2.全体有理数对于有理数的加法成为一个群，称为有理数加群。
整数加群是有理数加群的子群。
例3.全体n次单位根（方程xn–1=0的解）在复数的乘之下成为一个群，称之为n次单位根群。
例4.设F是一个数域，F上全体n阶可逆矩阵成为一个乘法群，记为GL（n,F），称为F上的n次完全线性群。
n≥2时GL（n,F）是一个不交换的群。
整数环整数集Z在加法与乘法之与满足下列条件：
（1）Z是一个加群
（2）Z中乘法满足封闭律、交换律、结合律
（3）Z满足乘法对加法的分配律a（b+c）=ab+ac
这时我们称Z是一个整数环。
1.3.3环的定义非空集R若存在两种运算，加法与乘法，并满足下列条件：
（1）R是加群
（2）R上乘法封闭、结合
（3）R满足左、右分配律a（b+c）=ab+ac；
（a+b）c=ac+bc
这时，称R为环。
注1.环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。
2.若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元，R的单位元常常被记为e，为方便起见甚至将单位元记为1。
在一个有单位元e的环中,并不是每个非零元a都有逆元a-1使aa-1=a-1a=e,如果a有逆元存在,我们简单地称a为环中的可逆元。
1.3.4子环的定义环R的一个非空子集S,如果在R的加法与乘法运算之下S也成为一个环,则称S为R的子环。
例5偶数环是整数环的子环。
例6闭区间[0，1]上全体连续函数成为一个环，称之为区间[0，1]上的连续函数环。
例7设R是一个有单位元的交换环，将形如
的代数式称为R上关于的多项式，定义两个多项式的加法与乘法运算为（
）+（
）
=
（
）（
这样R上关于的全体多项式成为一个环，这个环记为R[]，称为R上关于的多项式环。
1.3.5域的定义非空集合F若是一个交换环，并且F中的全体非零元组成一个乘法群，则称F为域。
1.3.6子域的定义域F的一个非空子集K，如果对于域F的运算也成一个域，则K称为F的子域，F称为K的扩域。
例8有理数域Q、实数域R、复数域C、数域Q（i）、Q（
）等都是域。
有理数域是实数域的子域，实数域是复数域的子域。
1.列举一些熟悉的群、环、域的例子；
其中哪些是交换的，哪些不交换。
2.（汤璪真，1942）对整数集合定义新的运算*使a*b=a+b–1，证明（Z，*）是一个群。
补充习题1证明含n个元素的集合A（称为文字集）上的全体一一映射,把复合映射作为映射的乘法,组成一个群,记这个群为Sn,称为n次对称群.
补充习题2证明整数模5的同余类（剩余类）对于同余类的加法和乘法运算成为一个环.问这个环含几个元素?
这个环是不是域?
思考问题3问汤璪真的结果是否可以进一步推广？
设n是一个整数，在整数集上构造一个群使n是单位元。
参考答案在整数集合定义新的运算⊙使a⊙b=a+b–n，则（Z，⊙）是一个交换群，n是单位元。
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