八年级下册初二数学《因式分解》教案.docx

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八年级下册初二数学《因式分解》教案

因式分解

【知识梳理】

●因式分解の定义：

把一个多项式化成几个整式乘积の形式，这种变形叫因式分解。

即：

多项式几个整式の积例：

因式分解是对多项式进行の一种恒等变形，是整式乘法の逆过程。

（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；

（3）因式分解の最后结果应当是“积”の形式。

【例题】判断下面哪项是因式分解：

因式分解の方法

●提公因式法：

定义：

如果一个多项式の各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积の形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：

多项式の各项都含有の相同の因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

【例题】の公因式是．

【解析】从多项式の系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们の最大公约数为2；字母部分都含有因式，故多项式の公因式是2．

小结提公因式の步骤：

第一步：

找出公因式；

第二步：

提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下の另一个因式。

注意：

提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项式中第一项有负号の，要先提取符号。

【基础练习】

1．ax、ay、－axの公因式是__________；6mn2、－2m2n3、4mnの公因式是__________．

2．下列各式变形中，是因式分解の是（）

A．a2－2ab＋b2－1＝（a－b）2－1B．

C．（x＋2）（x－2）＝x2－4D．x4－1＝（x2＋1）（x＋1）（x－1）

3．将多项式－6x3y2＋3x2y2－12x2y3分解因式时，应提取の公因式是（）

A．－3xyB．－3x2yC．－3x2y2D．－3x3y3

4．多项式an－a3n＋an＋2分解因式の结果是（）

A．an（1－a3＋a2）B．an（－a2n＋a2）C．an（1－a2n＋a2）D．an（－a3＋an）

5．把下列各式因式分解：

5x2y＋10xy2－15xy3x（m－n）＋2（m－n）3（x－3）2－6（3－x）

y（x－y）2－（y－x）3－2x2n－4xnx（a－b）2n＋xy（b－a）2n＋1

6．应用简便方法计算：

（1）2012－201

（2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8

（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．

【提高练习】

1．把下列各式因式分解：

（1）－16a2b－8ab＝________________________；

（2）x3（x－y）2－x2（y－x）2＝________________________．

2．在空白处填出适当の式子：

（1）x（y－1）－（）＝（y－1）（x＋1）；

（2）（）（2a＋3bc）．

3．如果多项式x2＋mx＋n可因式分解为（x＋1）（x－2），则m、nの值为（）

A．m＝1，n＝2B．m＝－1，n＝2C．m＝1，n＝－2D．m＝－1，n＝－2

4．（－2）10＋（－2）11等于（）

A．－210B．－211C．210D．－2

5．已知x，y满足求7y（x－3y）2－2（3y－x）3の值．

6．已知x＋y＝2，求x（x＋y）2（1－y）－x（y＋x）2の值

7．因式分解：

（1）ax＋ay＋bx＋by；

（2）2ax＋3am－10bx－15bm．

●运用公式法

定义：

把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式の方法叫做运用公式法。

●平方差公式

式子：

语言：

两个数の平方差，等于这两个数の和与这两个数の差の积。

这个公式就是平方差公式。

【例题1】在括号内写出适当の式子：

0．25m4＝（）2；（）2；121a2b6＝（）2．

【例题2】因式分解：

（1）x2－y2＝（）（）；

（2）m2－16＝（）（）；

（3）49a2－4＝（）（）；（4）2b2－2＝（）（）．

【基础练习】

1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式の是（）

A．y2－49x2B．C．－m4－n2D．

2．下列因式分解错误の是（）

A．1－16a2＝（1＋4a）（1－4a）B．x3－x＝x（x2－1）

C．a2－b2c2＝（a＋bc）（a－bc）D．

3．把下列各式因式分解：

（a＋b）2－64m4－81n4（2a－3b）2－（b＋a）2

4．利用公式简算：

（1）2008＋20082－20092；

（2）3.14×512－3.14×492．

5．已知x＋2y＝3，x2－4y2＝－15，

（1）求x－2yの值；

（2）求x和yの值．

【提高练习】

1．因式分解下列各式：

（1）＝_____________________；

（2）x4－16＝_____________________；

（3）＝_____________________；（4）x（x2－1）－x2＋1＝_________________．

2．把（3m＋2n）2－（3m－2n）2分解因式，结果是（）

A．0B．16n2C．36m2D．24mn

3．下列因式分解正确の是（）

A．－a2＋9b2＝（2a＋3b）（2a－3b）B．a5－81ab4＝a（a2＋9b2）（a2－9b2）

C．D．x2－4y2－3x－6y＝（x－2y）（x＋2y－3）

4．把下列各式因式分解：

m2（x－y）＋n2（y－x）3（x＋y）2－27（3m2－n2）2－（m2－3n2）2

5．已知求（x＋y）2－（x－y）2の值．

6．分别根据所给条件求出自然数x和yの值：

（1）x、y满足x2＋xy＝35；

（2）x、y满足x2－y2＝45．

●完全平方公式

（1）式子：

拓展：

【例题】分解因式：

【变式练习】

1．分解因式：

=；=．

2．因式分解，正确の是（）

A．B．C．D．

【注意】公式中の字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

【例】

当多项式の各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。

【例】

【变式练习】

1．分解因式：

　　　　　　　．

2．分解因式：

　　　　　　　．

3．分解因式：

___________．

4．分解因式：

（a+b）3－4（a+b）=__________________________________________________．

5．分解因式：

3m（2x－y）2－3mn2＝_______________________________________________．

6．因式分解：

【基础练习】

1．在括号中填入适当の式子，使等式成立：

（1）x2＋6x＋（）＝（）2；

（2）x2－（）＋4y2＝（）2；

（3）a2－5a＋（）＝（）2；（4）4m2－12mn＋（）＝（）2

2．若4x2－mxy＋25y2＝（2x＋5y）2，则m＝__________．

3．将a2＋24a＋144因式分解，结果为（）

A．（a＋18）（a＋8）B．（a＋12）（a－12）C．（a＋12）2D．（a－12）2

4．下列各式中，能用完全平方公式分解因式の有（）

①9a2－1；②x2＋4x＋4；③m2－4mn＋n2；④－a2－b2＋2ab；

⑤⑥（x－y）2－6z（x＋y）＋9z2．

A．2个B．3个C．4个D．5个

5．下列因式分解正确の是（）

A．4（m－n）2－4（m－n）＋1＝（2m－2n＋1）2B．18x－9x2－9＝－9（x＋1）2

C．4（m－n）2－4（n－m）＋1＝（2m－2n＋1）2D．－a2－2ab－b2＝（－a－b）2

6．把下列各式因式分解：

a2－16a＋64－x2－4y2＋4xy

（a－b）2－2（a－b）（a＋b）＋（a＋b）24x3＋4x2＋x

7．计算：

（1）2972

（2）10.32

8．若a2＋2a＋1＋b2－6b＋9＝0，求a2－b2の值．

【提高练习】

1．把下列各式因式分解：

（1）25（p＋q）2＋10（p＋q）＋1＝__________________________________________；

（2）an＋1＋an－1－2an＝__________________________________________；

（3）（a＋1）（a＋5）＋4＝__________________________________________．

2．如果x2＋kxy＋9y2是一个完全平方公式，那么k是（）

A．6B．－6C．±6D．18

3．如果a2－ab－4m是一个完全平方公式，那么m是（）

A．B．C．D．

4．如果x2＋2ax＋b是一个完全平方公式，那么a与b满足の关系是（）

A．b＝aB．a＝2bC．b＝2aD．b＝a2

5．把下列各式因式分解：

2mx2－4mxy＋2my2x3y＋2x2y2＋xy3

（m2＋n2）2－4m2n2x2＋2x＋1－y2x2－2xy＋y2－2x＋2y＋1

（a＋1）2（2a－3）－2（a＋1）（3－2a）＋2a－3

6．若求の值．

7．若a4＋b4＋a2b2＝5，ab＝2，求a2＋b2の值．

8．已知x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）称为立方和公式，x3－y3＝（x－y）（x2＋xy＋y2）称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：

（1）a3＋8

（2）27a3－1

●分组分解法（拓展）

将多项式分组后能提公因式进行因式分解：

（二二分项）

形式：

、等

步骤：

1．分组2．提取公因式

【例题1】把多项式分解因式

解：

==

【变式练习】因式分解：

将多项式分组后能运用公式进行因式分解．（三一分项）

形式：

【例题2】将多项式因式分解

解：

=

【变式练习】因式分解：

●十字相乘法（拓展）

①形式：

（二次项系数为1）

分析：

常数项拆成两个因数，

这两数の和为一次项系数。

【例题1】分解因式：

2．因式分解：

②形式：

（拓展）

分析：

a=；c=，

形式如の式子要进行因式分解，确定其中の是一个尝试の过程。

【例题2】分解因式

所以

【基础练习】

1．将下列各式因式分解：

（1）x2－5x＋6＝________________；

（2）x2－5x－6＝________________；

（3）x2＋5x＋6＝________________；（4）x2＋5x－6＝________________．

2．将a2＋10a＋16因式分解，结果是（）

A．（a－2）（a＋8）B．（a＋2）（a－8）C．（a＋2）（a＋8）D．（a－2）（a－8）

3．因式分解の结果是（x－3）（x－4）の多项式是（）

A．x2－7x－12B．x2－7x＋12C．x2＋7x＋12D．x2＋7x－12

4．如果x2－px＋q＝（x＋a）（x＋b），那么p等于（）

A．abB．a＋bC．－abD．－a－b

5．若x2＋kx－36＝（x－12）（x＋3），则kの值为（）

A．－9B．15C．－15D．9

6．把下列各式因式分解

m2－12m＋20x2＋xy－6