知识讲解《空间向量与立体几何》全章复习与巩固基础.docx

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知识讲解《空间向量与立体几何》全章复习与巩固基础

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固

【学习目标】

1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；

2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；

3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；

4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：

空间向量的有关概念

空间向量：

空间中，既有大小又有方向的量；

空间向量的表示：

一种是用有向线段表示，叫作起点，叫作终点；

一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．

向量的长度（模）：

表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．

向量的夹角：

过空间任意一点作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作，规定．如图：

零向量：

长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：

0与任意向量平行．

单位向量：

长度为1的空间向量，即．

相等向量：

方向相同且模相等的向量．

相反向量：

方向相反但模相等的向量．

共线向量（平行向量）：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．

平行于记作，此时．=0或=．

共面向量：

平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

要点诠释：

（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关．只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；

（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作．与同向．

（4）当=0或时，向量平行于，记作；当=时，向量垂直，记作．

要点二：

空间向量的基本运算

空间向量的基本运算：

运算类型

几何方法

运算性质

向

量

的

加

法

1平行四边形法则：

加法交换率：

加法结合率：

2三角形法则：

向

量

的

减

法

三角形法则：

向

量

的

乘

法

是一个向量，满足：

>0时，与同向；

<0时，与异向；

=0时，=0

∥

向

量

的

数

量

积

1．是一个数：

；

2．，或

=0．

要点三：

空间向量基本定理

共线定理：

两个空间向量、（≠），//的充要条件是存在唯一的实数，使．

共面向量定理：

如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使．

要点诠释：

（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．

（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．

空间向量分解定理：

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.

要点诠释：

（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；

（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．

要点四：

空间向量的直角坐标运算

空间两点的距离公式

若，，则

①；

②；

③的中点坐标为．

空间向量运算的的坐标运算

设，，则

①；

②；

③；

④；

⑤，；

⑥．

空间向量平行和垂直的条件

若，，则

①，，；

②．

要点诠释：

（1）空间任一点的坐标的确定：

过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则．如图：

（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：

，其中θ的范围是．

（３）与任意空间向量平行或垂直．

要点五：

用向量方法讨论垂直与平行

图示

向量证明方法

线线平行

（//）

//

（分别为直线的方向向量）

线线垂直

（）

（分别为直线的方向向量）

线面平行

（//）

，即

（是直线的方向向量，是平面的法向量）．

线面垂直

（）

//

（是直线的方向向量，是平面的法向量）

面面平行

（//）

（分别是平面，的法向量）

面面垂直

（）

，即

（，分别是平面，的法向量）

要点诠释：

（１）直线的方向向量：

若、是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．

（２）平面的法向量：

已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量．一个平面的法向量不是唯一的．

要点六：

用向量方法求角

图示

向量证明方法

异面直线所成的角

（，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点）

直线和平面的夹角

（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）

二面角

（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）

要点诠释：

①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。

②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。

要点七：

用向量方法求距离

图示

向量证明方法

点到平面的距离

（为平面的法向量）

与平面平行的直线到平面的距离

（是平面的公共法向量）

两平行平面间的距离

（是平面，的一个公共法向量）

要点诠释：

（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择．

（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．

（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．

要点八：

立体几何中的向量方法

用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）

3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题）

用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤

1．建立适当的空间直角坐标系；

2．写出相关点的坐标及向量的坐标；

3．进行相关的计算；

4．写出几何意义下的结论．

【典型例题】

类型一：

空间向量的概念及运算

例1．在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则＝________（用，，表示）．

【思路点拨】将，，看作已知条件，不断的应用向量加法的三角形法则和平行四边形法则、减法的三角形法则、向量的数乘法则，层层推进，最终得到的向量表示．

【答案】

【解析】

【总结升华】1.类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．2.由于四点共线，故最后的结果可以用共面向量定理检查，即若=，则.

举一反三：

【变式1】如图，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】

（1）；

（2）；

（3）．

【变式2】如图，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】

法一：

．

法二：

；

；

；

．

故选A．

类型二：

空间向量的直角坐标运算

例2.设＝（1，5，-1），＝（-2，3，5）．

（1）当（）∥（）时，求的值；

（2）当（-3）⊥（+）时，求的值．

【思路点拨】根据空间向量平行与垂直条件及直角坐标的相关公式进行运算．

【解析】

（1）∵（1，5，-1），（-2，3，5），

∴（1，5，-1）-3（-2，3，5）＝（1，5，-1）-（-6，9，15）＝（7，-4，-16）．

（1，5，-1）+（-2，3，5）＝（，，）+（-2，3，5）＝（，，）．

∵∥（），

∴，解得．

（2）由（）⊥（）（7，-4，-16）·（，，）＝0

，

解得．

举一反三：

【变式1】已知，设在线段上的一点M满足，则向量的坐标为________．

【答案】

【变式2】（2015秋齐齐哈尔校级期中）已知，则向量与夹角的余弦值为________.

【答案】

【变式3】空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，则等于（）

A．B．C．D．0

【答案】D

设，，，则，

所以．

所以OA⊥BC．所以．

类型三：

共线和共面向量定理的应用

例3．已知平行四边形，从平面外一点引向量，，，．求证：

（1）四点共面；

（2）平面//平面．

【思路点拨】

（1）利用共面向量定理证明四点共面；

（2）由向量共线得到线线平行，利用平面平行的判定定理证明．

【解析】

（1），

∵，

由共线向量定理可知，点共面．

（2），

∴//

又∵平面，平面，

∴∥平面．

同理∥平面，

∵，

∴平面//平面．

【总结升华】在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判断两直线所在的向量是否满足线性关系即可．在本题第

（1）题的解析中运用了共面向量定理的推论，其实利用共面向量定理也可以给予证明，同学们试一试．

举一反三：

【变式1】与向量平行的单位向量的坐标为（）

　A.（1,1,0）B.（0,1,0）C.（1,1,1）D.或．

【答案】D

【变式2】已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么　　　　

【答案】

类型四：

空间向量在立体几何中的应用

例4．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD、PB的中点．

（1）求证：

EF⊥平面PAB；

（2）设AB＝BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．

【思路点拨】证明线面垂直，求线面所成角的问题，题设中的垂直关系易考虑建立空间直角坐标系，

（1）转化为求；

（2）先求平面AEF的法向量，再利用公式求解.

【解析】

（1）建立空间直角坐标系（如图）．

设AD＝PD＝1，AB＝2a（a＞0），

则E（a，0，0），C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），．

∴，，．

∵，

∴，即EF⊥AB．

同理EF⊥PB，又AB∩PB＝B，∴EF⊥平面PAB．

（2）由AB＝BC，得，即，得，，，

有，，．

设平面AEF的法向量为＝（x，y，1），

由得

解得

于是．

设AC与平面AEF所成的角为，与的夹角为，

则．

【总结升华】在空间图形中，如果线段较多，关系较为复杂（如平行、垂直、角和距离等均有涉及），常常需要多种方法灵活使用，合理结合，才能达到较为理想的效果，在建立坐标后，应根据条件确定相应点的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题．

举一反三：

【变式1】（2015上海）如图，在长方体中，，，、分别是棱、的中点，证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.

【答案】

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

可得有关点的坐标为，，，，，．

因为，，

所以，因此直线与直线共面，即，，，四点共面．

设平面