有理数单元复习及检测.docx

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有理数单元复习及检测

有理数单元复习与检测

一、知识网络

　　1、本章总体知识结构：

二、目标认知

学习目标：

　　理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类。

理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算。

通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算。

通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。

重点：

有理数的相关概念，如：

绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等；有理数的运算

难点：

有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。

三、知识要点梳理

知识点一有理数的概念

1.有理数：

　　1）整数与分数统称有理数

　　按定义分类：

　　按符号分类：

　注：

（1）正数和零统称为非负数；

（2）负数和零统称为非正数；（3）正整数和零统称为非负整数；（4）负整数和零统称为非正整数.

　　2）认识正数与负数：

（1）正数：

像1，1.1，，2008等大于0的数，叫做正数.

（2）负数：

像-1，-1.1，-，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫负数.注意：

正数都大于零，负数都小于零.“0”既不是正数，也不是负数.

　　3）用正数、负数表示相反意义的量：

　　如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其相反意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其相反意义的量.如：

若-5米表示向东走5米，则+3米表示向西走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示下降2米；+表示零上，-则表示零下.

　　4）有理数“0”的作用：

作用

举例

表示数的性质

0是自然数、是有理数

表示没有

3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示

表示某种状态

表示冰点

表示正数与负数的界点

0非正非负，是一个中性数

2.数轴

　　1）概念：

规定了原点、正方向和单位长度的直线.

　　2）注意：

（1）原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.

（2）单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.

　　（3）数轴的画法及常见错误分析

　　①画一条水平的直线；①在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：

　②确定向右的方向为正方向，用箭头表示；③选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.

　　数轴画法的常见错误举例：

错例

原因

无原点

没有正方向

单位长度不统一

没有单位长度

3）有理数与数轴的关系

　　一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.

　　注意：

数轴上的点不都是有理数，如.

3.相反数

　　1）相反数：

只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.

　　　表示法：

，则，反之亦然.

　　2）相反数的性质：

（1）代数意义：

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0．

　　相反数必须成对出现，不能单独存在．例如+5和－5互为相反数，或者说+5是－5的相反数，－5是+5的相反数，而单独的一个数不能说是相反数．另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3互为相反数，而+3与－2虽然符号不同，但它们不是相反数．

（2）几何意义：

一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．

　　（3）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“一”号即可．一般地，数a的相反数是－a；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意－a不一定是负数．

　　注意：

当a＞O时，－a＜0（正数的相反数是负数）；

　　　　　当a=O时，－a=O（0的相反数是0）；

　　　　　当a＜0时，－a＞O（负数的相反数是正数）．

　　（4）互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为相反数，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为相反数．

　　（5）多重符号的化简：

一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.

4.绝对值

1）绝对值的代数意义及几何意义

（1）绝对值的代数意义：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

（2）绝对值的几何意义：

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作.

　　注意：

①取绝对值也是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.③任何一个有理数都是由两部分组成：

符号和它的绝对值，如：

－5，符号是负号，绝对值是5.

2）字母a的绝对值的分类

　　或或

　3）利用绝对值比较两个负有理数的大小

　　规则：

两个负数，绝对值大的反而小.

　　步骤：

①计算两个负数的绝对值.②比较这两个绝对值的大小.③写出正确的判断结果.

　　　　　④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

　　例如：

若

知识点二有理数运算

1.有理数比较大小

　　1）数轴上的数，右边的数总大于左边的数．

　　2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数

　　3）两个负数，绝对值大的反而小

　　4）两数比较大小，可按符号情况分类：

2、有理数的加减法

　　1）有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.（3）一个数同0相加，仍得这个数.

　　2）有理数加法的运算步骤

　　法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：

（1）确定和的符号；

（2）求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.

　　3）有理数加法的运算律

（1）两个加数相加，交换加数的位置，和不变.

　　　　a+b=b+a（加法交换律）

（2）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

　　　　（a+b）+c=a+（b+c）（加法结合律）

　　4）有理数加法的运算技巧

（1）分数与小数均有时，应先化为统一形式.

（2）带分数可分为整数与分数两部分参与运算.

　　（3）多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.

　　（4）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.

　　（5）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.

　　（6）符号相同的数可以先结合在一起.

　　5）有理数减法法则

　　减去一个数，等于加这个数的相反数.a-b=a+（-b）

　　6）有理数减法的运算步骤

（1）把减号变为加号（改变运算符号）

（2）把减数变为它的相反数（改变性质符号）

　　（3）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.

　　7）有理数加减混合运算的步骤

（1）把算式中的减法转化为加法；

（2）省略加号与括号；

　　（3）利用运算律及技巧简便计算，求出结果.

　　注意：

　　根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，

　　例如：

（+3）+（-0.15）+（-9）+（+5）+（-11）=3-0.15-9+5-11，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。

3.有理数的乘除法

　　1）有理数乘法法则

　　　两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

　　　任何数同0相乘，都得0.

　　2）有理数乘法的运算律

（1）两个数相乘，交换因数的位置，积相等.

　　　　ab=ba（乘法交换律）

（2）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.

　　　　abc=a（bc）（乘法结合律）

　　（3）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.

　　　　a（b+c）=ab+ac（乘法分配律）

　　3）有理数乘法法则的推广

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.

（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.

　　在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.

　　4）有理数除法法则

　　除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，a÷b=a·（b≠0）

　　两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.

　　5）倒数及有理数除法

（1）乘积为1的两个数互为倒数。

　　倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定是正数；0没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母颠倒位置即可（正整数可以看作分母为1的分数）。

　　注意：

互为倒数，则；互为负倒数，则。

反之亦然.

（2）有理数除法的运算步骤：

　　　首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.

4.有理数的乘方

　　1）概念：

求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数.

　　2）含义：

中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有个连续相乘.

　　　例如：

表示3×3×3×3×3，（-3）表示（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.（-2）表示7个-2相乘，而-2则表示7个2相乘积的相反数.

　　当n为奇数时，（-a）=-a；而当n为偶数时，（-a）=.

　　注意：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数

　　正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0，任何不为0的数的0次幂都是“1”.

　　3）“奇负偶正”口诀的应用

　　口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：

－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3.

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：

（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36.

　　（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：

（－3）=9，（－3）=－27.

　　4）有理数混合运算的运算顺序

（1）先乘方，再乘除，最后加减；

（2）同级运算，从左到右进行；

　　（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.以上