数学11《集合》导学案含答案新人教A版必修1Word下载.docx
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3、要表示一个集合共有几种方式?
4、试比拟自然语言、列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?
适用的对象是什么?
5、如何根据问题选择适当的集合表示法?
【课堂练习】
1．以下说法正确的选项是 （）
A.,是两个集合B.中有两个元素
Ｃ.是有限集 Ｄ.是空集
２.将集合用列举法表示正确的选项是 （）
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
３.给出以下４个关系式：
其中正确的个数是（）
Ａ.１个 Ｂ.２个 Ｃ.３个 Ｄ.４个
４.方程组的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
５.集合Ａ＝那么在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
６.（创新题）集合中的三个元素是的三边长,那么一定不是 （）
Ａ.锐角三角形 Ｂ.直角三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ.等腰三角形
【尝试总结】
1.本节课我们学习过哪些知识内容?
2.选择集合的表示法时应注意些什么?
【达标检测】
一、选择题
1.以下元素与集合的关系中正确的选项是（）
A.B.2∈{x∈R|x≥}C.|-3|∉N*D.-3.2∉Q
2.给出以下四个命题：
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{y|y=x2-1}与集合{（x,y）|y=x2-1}是同一个集合；
（3）1,,,,0.5这些数字组成的集合有5个元素；
（4）集合{（x,y）|xy≤0,x,y∈R}是指第二象限或第四象限内的点的集合.
以上命题中,正确命题的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
3.以下集合中表示同一集合的是（）
A.M={（3,2）},N={（2,3）}
B.M={3,2},N={（2,3）}
C.M={（x,y）|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={1,2},N={2,1}
4.x∈N,那么方程的解集为（）
A.{x|x=-2}B.{x|x=1或x=-2}C.{x|x=1}D.∅
5.集合M={m∈N|8-m∈N},那么集合M中元素个数是（）
A.6B.7C.8D.9
二、填空题
6.用符号“∈〞或“∉〞填空：
0_______N,______N,______N.
7.用列举法表示A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,x∈Z}为_______________.
8.用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0的解集〞为_____________.
9.集合{x|x>
3}与集合{t|t>
3}是否表示同一集合？
________
10.集合P={x|2<
x<
a,x∈N},集合P中恰有3个元素,那么整数a=_________.
三、解答题
11.集合A={0,1,2},集合B={x|x=ab,a∈A,b∈A}.
（1）用列举法写出集合B；
（2）判断集合B的元素和集合A的关系.
12.集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合,求实数a、b的值.
13.（探究题）下面三个集合：
①,②,③
（1）它们是不是相同的集合？
（2）试用文字语言表达各集合的含义.
附：
集合论的诞生
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：
微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速开展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和稳固它的理论根底.十九世纪初,许多迫切问题得到解决后,出现了一场重建数学根底的运动.正是在这场运动中,康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集,这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合〞的概念.他对集合所下的定义是：
把假设干确定的有区别的（不管是具体的或抽象的）事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.
康托尔的不朽功绩
前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：
“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进〞.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.
数学与无穷有着不解之缘,但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因,在数学开展的历程中,数学家们始终以一种疑心的眼光看待无穷,并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学,从而进入了一片未开垦的处女地,开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他翻开了“无限〞这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子翻开后他释放出的是什么.
“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集,用字母N来表示.〞学过集合那一章后,同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的,一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中,永远完成不了,是潜在的,而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说,就是“……我反对将无穷量作为一个实体,这在数学中是从来不允许的.所谓无穷,只是一种说话的方式……〞而当康托尔把全体自然数看作一个集合时,他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西,这样他就肯定了作为完成整体的无穷,这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的根底重建中已经获得了全面胜利,康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步,他以完全前所未有的方式,继续正面探讨无穷.他在实无限观念根底上进一步得出一系列结论,创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.
最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准那么来比拟无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同,用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势,即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于局部〞相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上,自然数集与正偶数集具有了相同的个数,他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势,因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时,一个很自然的想法是无穷集是清一色的,都是可数集.但出乎意料的是,他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数,而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟,如同有人描述的那样：
“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；
而沉沉的夜空那么由超越数构成.〞而当他得出这一结论时,人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！
然而,事情并未终结.魔盒一经翻开就无法再合上,盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差异,有着不同的数量级,可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功,并且根据无穷性有无穷种的学说,对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列,他称为“超限数〞.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫〞来表示超限数的精灵,最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系,它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论,描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲,康托尔的关于无穷的这些理论,引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病〞,有人嘲讽超限数是“雾中之雾〞,称“康托尔走进了超限数的地狱〞.作为对传统观念的一次大革新,由于他开创了一片全新的领域,提出又答复了前人不曾想到的问题,他的理论受到剧烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时,或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种表扬吧.
公理化集合论的建立
集合论提出伊始,曾遭到许多数学家的剧烈反对,康托尔本人一度成为这一剧烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中,他得了精神分裂症,几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年,最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论根底上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发,借助集合论的概念,便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上,著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天,我们可以说绝对的严格已经到达了.〞然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久,集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？
如果R属于R,那么R满足R的定义,因此R不应属于自身,即R不属于R；
另一方面,如果R不属于R,那么R不满足R的定义,因此R应属于自身,即R属于R.这样,不管何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最根本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩白的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后,众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年,策梅罗提出公理化集合论,后经改良形成无矛盾的集合论公理系统,简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理根底之上,从而防止了悖论的出现.这就是集合论开展的第二个阶段：
公理化集合论.与此相对应,在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保存了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论,因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立,标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利,他大声疾呼：
没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今,时间已经过去了一百多年,在这一段时间里,数学又发生了极其巨大的变化,包括对上述经典集合论作出进一步开展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的奉献时,我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.
它是对无限最深刻的洞察,它是数学天才的最优秀作品,是人类纯智力活动的最高成就之一.
超限算术是数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.
这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.
康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性奉献之一.
注：
整系数一元n次方程的根,叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下,超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.
1.1.2集合间的根本关系
1.理解集合之间的包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；
2.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
1.集合间有几种根本关系？
2.集合的根本关系分别用哪些符号表示？
怎样用Ｖenn图来表示？
3.什么叫空集？
它有什么特殊规定？
4.集合之间关系的性质有哪些？
【自主尝试】
1.判断以下集合的关系
①
②
2.判断正误
①是空集
②的子集的个数为１
一、问题1
我们知道实数有大、小或相等的关系,哪么集合间是不是也有类似的关系呢？
１.
２.设集合Ａ为新乐一中高一（２）班全体女生组成的集合,集合Ｂ为这个班全体学生组成的集合.
３.设.
４..
观察上面的例子,指出给定两个集合中的元素有什么关系？
问题２
你还能举出有以上关系的例子吗？
问题３
③
④
上面的各对集合中，有没有包含关系？
〔归纳出集合相等的概念〕
问题4
观察上面给定的两个集合,归纳出空集的概念
②总结以上规律,归纳集合间的根本关系：
ⅰ任何集合是它本身的子集：
ＡＡ
ⅱ对于集合Ａ,Ｂ,Ｃ,如果ＡＢ,且ＢＣ,都有ＡＣ（传递性）
【典型例题】：
1.写出以下各集合的子集及其个数
2.设集合,,假设MN,求的取值范围.
3.含有３个元素的集合,,假设Ａ＝Ｂ，求的值.
4.集合,,且，求实数m的取值范围.
【课堂练习】：
１.以下各式中错误的个数为（）
①②③④
A1B2C3D4
２.集合假设AB,那么的取值范围是＿＿＿.
３.集合,假设BA那么实数所构成 的集合Ｍ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
４.假设集合为空集,那么实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.
１.,给定以下关系：
①,②M③④ 其中正确的选项是（）
Ａ①② Ｂ④ Ｃ③ Ｄ①②④
２.假设,集合,那么Ａ,Ｂ的关系为（）
ＡＡ＝Ｂ ＢＡＢ Ｃ ＡＢ Ｄ ＢＡ
３.假设C,且Ａ中含有两个元素,那么满足上述条件的集合Ａ可能为（）.
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
４.满足的集合Ｍ共有（）
Ａ６个 Ｂ７个 Ｃ８个 Ｄ９个
５.,那么集合Ａ,Ｂ,Ｃ之间的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
６.集合假设BA,那么实数的值为＿＿.
７.集合,那么实数的取值集合为＿＿＿＿＿＿＿.
８.集合,集合,那么Ａ与Ｂ的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
９.Ａ＝,,集合Ａ与集合Ｂ的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
三.解答题
10.写出满足的所有集合Ａ.
11.集合,求的值.
12.,,求实数的取值范围.
1.1.3集合的根本运算（第一课时）
1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
3.能使用Ｖenn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
阅读教材并思考以下问题：
1.集合有哪些根本运算？
2.各种运算如何用符号和Ｖenn图来表示.
3.集合运算与实数的运算有何区别与联系.
1.设全集,集合,求,,.
2.设全集,求,,.
3.设全集,求,,.
【典型例题】
1.全集,A,B是U的两个子集,且满足,,求集合A,B.
２.设集合,假设,求实数的取值集合.
３.
1假设,求实数的取值范围；
2假设,求实数的取值范围；
3假设,求实数的取值范围.
4.全集假设,求实数的值.
１.全集,那么（）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
２.集合,那么满足条件的实数的值为 （）
Ａ １或０ Ｂ １,０,或２ Ｃ ０,２或－２ Ｄ １或２
3.假设＝ （）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
4.设集合（）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
你能对本节课的内容做个总结吗？
2.集合的运算应注意些什么?
1.设集合那么是（）
ABMCZD
２.以下关系中完全正确的选项是 （）
Ａ Ｂ
ＣＤ
３.集合,那么是 （）
Ａ M Ｂ Ｃ Ｄ
４.假设集合Ａ,Ｂ,Ｃ满足,那么Ａ与Ｃ之间的关系一定是（）
Ａ AC Ｂ CA Ｃ Ｄ
５.设全集,假设,那么这样的集合Ｐ共有（）
Ａ ５个 Ｂ ６个 Ｃ ７个 Ｄ８个
６.满足条件的所有集合Ａ的个数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
７.假设集合,满足那么实数＝＿＿＿＿＿＿＿.
８.集合,那么集合Ｂ＝＿＿＿＿＿.
９.,那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
10.对于集合Ａ,Ｂ,定义,Ａ⊙Ｂ=,设集合,那么Ｍ⊙Ｎ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
11.全集,集合
（1）求,
（2）写出集合的所有子集.
12.全集Ｕ＝Ｒ,集合,且,求实数的取值范围
13.设集合,且求.
1.1.3集合的根本运算（第二课时）
1.进一步稳固集合的三种运算.
2.灵活运用集合的运算,解决一些实际问题.
1.集合,假设,求的值.
2.集合,假设,求的取值范围.
3.集合假设,求的取值集合.
4.有５４名学生,其中会打篮球的有３６人,会打排球的人数比会打篮球的多４人,另外这两种球都不会的人数是都会的人数的四分之一还少１,问两种球都会打的有多少人.
１.设集合,那么（）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
２.设Ｕ为全集,集合那么 （）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
３.集合,那么集合是 （）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
4.设,那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
5.全集＿＿＿＿＿＿＿.
1.满足的所有集合Ａ的个数 （）
Ａ ３ Ｂ ４ Ｃ ５ Ｄ ６
2.集合,那么（）
ABCD
3.设集合,那么的取值范围是（）
4.第二十届奥运会于２００８年８月８日在北京举行,假设集合,,那么以下关系正确的选项是 （）
5.对于非空集合Ｍ和Ｎ,定义Ｍ与Ｎ的差,那么
Ｍ－（Ｍ－Ｎ）总等于 （）
Ａ Ｎ Ｂ Ｍ Ｃ Ｄ
二.填空题
6.设集合,那么＿＿＿＿＿＿＿.
7.设,那么＿＿＿＿.
8.全集Ｕ＝Ｒ,集合,那么的包含关系是＿＿.
9.设全集,,那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
10.集合,那么＝＿＿＿.
11.,
①.假设,求的值.
②.假设,求的值.
12.设U=R,M={},N={},求.
13.设集合,求,.
第一章集合与函数的概念
集合的含义与表示
1．D2.C3.B4.5.6.D
选择题1－5BADCC
填空题6.∈∉∈7.8.9.是10.6
解答题
11.集合A中的元素都在集合B中。
12.〔1〕假设
〔2〕假设〔不合题意，舍去〕综上
13.〔1〕不是
〔2〕集合①是指自变量的取值范围，是全体实数;
集合②是指函数值的取值范围，与集合相等
集合③是抛物线上的点所构成的集合。
集合间的根本关系
A=BAB
典型例题：
1.，1个;
，2个;
，4个;
，8个
2.
3.∵∴得，＝1③
4.①假设，
②假设，解得
综上的范围为。
1.A2.3.4.
一选择题ADDB
二．填空题
5.BAC6.0,1或7.8.A=B9.
三．解答题
10.
11.
12.①假设,
②假设，，
综上
１．１．３集合的根本运算〔第一课时〕
1.
3.
【典型例】
由Venn图可得，
提示：
∵∴
3.①;
②;
③
，或，
【课堂练习】1-4:
ACAA
选择题1-5:
ACACD
填空题
6.87.28.9.10.
三．解答题∵
11.
（1）∵∴
（2）∵∴
∴的所有子集是：
12.①当时，,∴不合题意;
②当时，，∴不合题意;
③当时，符合题意
所以实数取值范围是
13.∵，∴是方程和的解，
代入可得，∴
，
１．１．３集合的根本运算〔第二课时〕
假设，，不合题意
，，或
2.①假设，
②假设，
综上：
或
3.提示:
因为所以,
4.设54名同学组成的集合为U,会打篮球的同学组成的集合为A，会打排球的同学组成的集合为B，这两种球都会打的同学的集合为X，设X中元素个数为，，由图得：
，解得，所以两种球都会打的有28人。
1-3：
BDD4.，5.
一、选择题1－5：
BDADC
6.7.8.9.10.R
11.〔1〕因为所以A=B=所以得
〔2〕因为,所以,又因为，无解
所以不存在实数使。
12.，
13.
当时,,
当时,,,
当时,,,;
当时，，，
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