量子力学期中考试试题.doc

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量子力学期中考试试题

物理常数：

光速：

；普朗克常数：

；玻尔兹曼常数：

；电子质量：

；碳原子质量：

；电子电荷：

一、填空题：

1、量子力学的基本特征是。

2、波函数的性质是。

3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量的自由粒子，满足德布洛意关系：

；假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：

（保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。

计算1时，团簇（由60个原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：

_______________（保留2位有效数字）。

4.一粒子用波函数描写,则在某个区域内找到粒子的几率为。

5、线性谐振子的零点能为。

6、厄密算符的本征值必为。

7、氢原子能级的简并度为。

8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是。

9、测不准关系反映了微观粒子的。

10.等人的实验验证了德布罗意波的存在。

11.通常把称为束缚态。

12.波函数满足的三个基本条件是：

。

13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为：

14．两力学量对易的说明：

。

15.坐标与动量的不确定关系是：

。

16.氢原子的本征函数一般可以写为：

。

17.何谓定态：

。

1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

2.简并、简并度。

3.用球坐标表示，粒子波函数表为，写出粒子在立体角中被测到的几率。

4.用球坐标表示，粒子波函数表为，写出粒子在球壳中被测到的几率。

5.一粒子的波函数为，写出粒子位于间的几率。

6.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。

7.写出三维无限深势阱

中粒子的能级和波函数。

8.一质量为的粒子在一维无限深方势阱

中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

9.何谓几率流密度？

写出几率流密度的表达式。

10.写出在表象中的泡利矩阵。

11.电子自旋假设的两个要点。

12.的共同本征函数是什么？

相应的本征值又分别是什么？

13.写出电子自旋的二本征态和本征值。

14.给出如下对易关系：

16.完全描述电子运动的旋量波函数为，

准确叙述及分别表示什么样的物理意义。

18.何谓正常塞曼效应？

何谓反常塞曼效应？

何谓斯塔克效应？

21.使用定态微扰论时，对哈密顿量有什么样的要求？

22.写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。

23.量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开：

，

写出展开式系数的表达式。

24.一维运动中，哈密顿量，求

25.什么是德布罗意波？

并写出德布罗意波的表达式。

26.什么样的状态是定态，其性质是什么？

27.简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。

28.厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？

29.全同玻色子的波函数有什么特点？

并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。

二、计算题：

1、利用玻尔—索末菲量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场，玻尔磁子，求动能的量子化间隔，并与及的热运动能量相比较。

2..证明在定态中，几率流与时间无关。

3.一粒子在一维势场中运动，

（1）求粒子的能级和对应的波函数。

（2）若已知时，该粒子状态为：

，求时刻该粒子的波函数；

（3）求时刻测量到粒子的能量分别为和的几率是多少？

（4）求时刻粒子的平均能量和平均位置。

4.一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：

（1）转子绕一固定轴转动：

（2）转子绕一固定点转动：

5.设t=0时，粒子的状态为

求此时粒子的平均动量和平均动能。

6.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数

描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

7.设氢原子处于状态

求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

（一）.已知厄密算符，满足，且，求

1、在A表象中算符、的矩阵表示；

2、在B表象中算符的本征值和本征函数；

3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

（二）.设氢原子在时处于状态

，求

1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；

2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。

（六）、当为一小量时，利用微扰论求矩阵的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。

（十）、在表象中，求自旋算符在方向投影算符的本征值和相应的本征态。

（十四）、

有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.

（十五）、

试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能]

（十八）、在表象中，求的本征态