20.（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝[ax2－（2a＋1）x＋2a＋1]ex.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x>0，2a∈[3，m＋1]，f（x）≥b2a－1恒成立，求正数b的范围．
数学附加题每小题10分，共40分．考试用时30分钟．
【选做题】21.在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.选修4—1：
几何证明选讲
在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P.求证：
AP·AN＋BP·BM＝AB2.
B.选修4—2：
矩阵与变换
求矩阵的特征值及对应的特征向量．
C.选修4—4：
坐标系与参数方程
已知直线l的极坐标方程为ρsin＝3，曲线C的参数方程为（θ为参数），设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
D.选修4—5：
不等式选讲
设x，y均为正数，且x>y，求证：
x＋≥y＋3.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）
如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.
（1）求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；
（2）求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．
23.（本小题满分10分）
证明：
对一切正整数n，5n＋2·3n－1＋1能被8整除．
参考答案
一、填空题（每小题5分）
1.[0，1] 2.－i 3. 4.1 5.240
6. 7.（－2，0）∪（2，＋∞） 8.④ 9.－＝1
10.3π 11.2 12. 13.[－，1）∪（1，＋∞） 14.－
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．
15.证明：
（1）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点，
由AB∥CM，且AB＝CM，
所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形（3分）
⇒故AM∥平面PBC，（7分）
（2）连接PM，因为PD＝PC，点M是CD的中点，所以CD⊥PM，（8分）
又因为四边形ABCM是矩形，CD⊥AM，（9分）
⇒CD⊥平面PAM.（12分）
又因为AP⊆平面PAM，（13分）
所以CD⊥PA.（14分）
16.解：
（1）因为m∥n，所以a2＋c2－b2＝ac，（2分）
因为cosB＝＝＝，（4分）
B∈（0，π）（5分）
故B＝.（6分）
（2）因为A＋∈，（7分）
cos＝，所以sin＝，（9分）
所以sinA＝sin＝，（11分）
在△ABC中，由正弦定理可得：
＝，（13分）
解得a＝1.（14分）
17.解：
（1）如图，作OH⊥AB，设垂足为H，记OH＝d，α＝2∠AOH，
因为cos∠AOH＝，（1分）
要使α有最小值，只需要d有最大值，结合图像可得，
d≤OP＝5km，（3分）
当且仅当AB⊥OP时，dmin＝5km.
此时αmin＝2∠AOH＝2＝.（4分）
设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S，
根据题意可得：
S＝f（α）＝S扇形－S△AOB＝50（α－sinα），（6分）
f′（α）＝50（1－cosα）≥0恒成立，f（α）为增函数，（7分）
所以Smin＝f＝50km2.（8分）
答：
视角的最小值为，较小区域面积的最小值是50km2.（9分）
（2）如图，分别过O分别作OH⊥AB，OH1⊥CD垂足分别是H，
H1，
记OH＝d，OH1＝d2，由
（1）可知d1∈[0，5]
所以d＋d＝OP2＝25，且d＝25－d（10分）
因为AB＝2，CD＝2，
所以AB＋CD＝2（＋）＝2（＋），（11分）
记L（d1）＝AB＋CD＝2（＋），
可得L2（d1）＝4[175＋2]，
（12分）
由d∈[0，25]，可知d＝0，或d＝25时，L2（d1）的最小值是100（7＋4），
从而AB＋CD的最小值是20＋10km.（13分）
答：
两条公路长度和的最小值是20＋10km.（14分）
18.解：
（1）由题意可知＝，a＝3，得：
c＝，（2分）
因为a2＝b2＋c2，所以b2＝，（3分）
故椭圆的标准方程是：
＋＝1.（4分）
（2）设直线AE的方程：
y＝k（x＋3），点E（x1，y1），
由可得（4k2＋1）x2＋24k2x＋36k2－9＝0.（5分）
因为－3＋x1＝－，得x1＝，代入直线y＝k（x＋3），得y1＝，
所以E，（7分）
同理可得F，（9分）
根据条件可知圆心O到直线AE的距离等于圆心O到直线EF的距离．
可得＝||＝r，解之得k2＝，（10分）
从而r2＝1，所以圆O的方程为：
x2＋y2＝1.（11分）
（3）设直线BM的方程为y＝kx±，因为直线BM与圆O相切，
所以d＝r，解得k＝±，
（14分）
当k＝，lBM：
y＝x＋，
由，解得x2＋x＝0.（11分）
所以M（－，－1），（12分）
同理可得N（，－1）．（13分）
可得直线MN方程是：
y＝－1，（15分）
直线MN与圆O的位置关系是相切．（16分）
19.解：
（1）（法一）：
因为Sn＝（1＋λ）an－λ， ①
所以Sn＋1＝（1＋λ）an＋1－λ， ②
②－①得：
λan＋1＝（1＋λ）an， ③（2分）
当λ＝0时，an＝0，数列{an}是等差数列．（4分）
当λ≠0时，a1＝（1＋λ）a1－λ，a1＝1，且an＋1－an＝an， ④
要使数列{an}是等差数列，则④式右边an为常数，即an＋1＝an为常数，
④式左边an＋1－an＝0，an＝0，又因为a1＝1，矛盾（6分）
综上可得：
λ＝0时，数列{an}为等差数列，且an＝0.（7分）
（法二）：
若数列{an}是等差数列，必有2a2＝a1＋a3，
当λ＝0时，a1＝a2＝a3＝0，满足2a2＝a1＋a3，（1分）
此时Sn＝an，从而Sn＋1＝an＋1，（3分）
故an＝0，（4分）
当λ≠0时，a1＝1，a2＝1＋，a3＝，（5分）
由2a2＝a1＋a3，得2＝1＋，该方程无解，（6分）
综上可得：
λ＝0时，数列{an}为等差数列，其中an＝0.（7分）
（2）当
（1）可得：
当λ＝0时，不是等比数列，（8分）
当λ＝－1时，由①得Sn＝1，则a1＝S1＝1，
an＝Sn－Sn－1＝0（n≥2），不是等比数列．（9分）
当λ≠0，且λ≠－1时，得＝1＋，{an}为公比是q＝1＋等比数列，（10分）
又对任意n，an∈N，则q＝1＋∈N，
故仅有λ＝1，q＝2时，满足题意，又由
（1）得a1＝1，故an＝2n－1.（11分）
因为ai＝＝2016，
所以2k－1（2j－k＋1－1）＝2016＝25327，（13分）
j－k＋1≥2，2j－k＋1－1为大于1的奇数，2k－1＝25，k＝6，（15分）
则2j－5－1＝327，2j－5＝64，j＝11，故仅存在k＝6时，j＝11，ai＝2016.（16分）
20.解：
（1）f′（x）＝（ax2－x）ex＝x（ax－1）ex.（1分）
若a＝0，则f′（x）＝－xex，令f′（x）>0，则x<0；令f′（x）<0，则x>0；
若a<0，由f′（x）>0，得x或0若a>0，由f′（x）<0，得00，得x>或x<0；
综上可得：
当a＝0时，函数f（x）的增区间是（－∞，0），减区间是（0，＋∞）；（3分）
当a<0时，函数f（x）的增区间是，减区间是（0，＋∞），；（5分）
当a>0时，函数f（x）的增区间是（－∞，0）
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