中考二次函数专题复习.docx
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中考二次函数专题复习
中考二次函数专题复习
教师寄语：
二次函数这一章在初中数学中占有重要地位，同时也是高中数学学习的基础.
作为初高中衔接的内容，二次函数在中考命题中一直是“重头戏”，根据对近几年中考试卷
的分析，预计今年中考中对二次函数的考查题型有低档的填空题、选择题，中高档的解答题，
分值一般为9～15分，除考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外，还会出现与二次函
数有关的贴近生活实际的应用题，阅读理解题和探究题，二次函数与其他函数方程、不等式、
几何知识的综合在压轴题中出现的可能性很大.
学习要求：
中考中主要考查二次函数的基础知识、二次函数解析式求法、二次函数的实
际应用.考查的题型常以填空题、选择题和解答题的形式出现.在复习二次函数的基础知识时,
要注重待定系数法、函数思想、数形结合等等思想方法的应用。
教师应对策略：
从学生对基础知识基本技能的掌握入手，从图像入手，紧紧抓住二次
函数的性质设计基础题，中等题与中考综合题，分三层次进行有效训练会比较好。
通过具体
题目的师生共同分析，引导学生梳理整章知识点，在题目分析中注重让学生自己开动脑筋去
发现问题，进而找出解决问题的方法，教会学生如何去应对较复杂的二次函数的综合题。
知识点归纳：
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：
一般地，形如
2
yaxbxc（a，b，c是常数，a0）的函数，
叫做二次函数。
这里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c
可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数
2
yaxbxc的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：
2
yax的性质：
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x0时，y随x的增大而增大；x0时，
a向上0，0y轴
0
y随x的增大而减小；x0时，y有最小值
0．
x0时，y随x的增大而减小；x0时，
a向下0，0y轴
0
y随x的增大而增大；x0时，y有最大值
0．
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.
2
yaxc的性质：
上加下减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x0时，y随x的增大而增大；x0时，
a向上0，cy轴
0y随x的增大而减小；x0时，y有最小值
c．
x0时，y随x的增大而减小；x0时，
a0向下0，cy轴
y随x的增大而增大；x0时，y有最大值
c．
3.
2
yaxh的性质：
左加右减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
xh时，y随x的增大而增大；xh时，
a向上h，0X=h
0y随x的增大而减小；xh时，y有最小值
0．
xh时，y随x的增大而减小；xh时，
a向下h，0X=h
0y随x的增大而增大；xh时，y有最大值
0．
4.
2
yaxhk的性质：
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
a向上h，k
0
h
X=
xh时，y随x的增大而增大；xh时，
y随x的增大而减小；xh时，y有最小值
k．
a向下h，k
0
h
X=
xh时，y随x的增大而减小；xh时，
y随x的增大而增大；xh时，y有最大值
k．
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式
2
yaxhk，确定其顶点坐标h，k；
⑵保持抛物线
2
yax的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：
向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位
y=ax2y=ax2+k
向右（h>0）【或左（h<0）】
平移|k|个单位
向右（h>0）【或左（h<0）】
平移|k|个单位
向右（h>0）【或左（h<0）】
平移|k|个单位
向上（k>0）【或下（k<0）】
平移|k|个单位
y=a（x-h）2
向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位
y=a（x-h）2+k
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
2
⑴yaxbxc
2
沿y轴平移:
向上（下）平移m个单位，yaxbxc
变成
y
2
ax
bx
c
m
2
（或yaxbxcm
）
2
⑵yaxbxc
2
沿轴平移：
向左（右）平移m个单位，yaxbxc
变成
2
ya（xm）b（xm）
c
2
（或ya（xm）b（xm）c
）
四、二次函数
2
yaxhk与
2
yaxbxc的比较
从解析式上看，
2
yaxhk与
2
yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配
方可以得到前者，即
yax
242
bacb
2a4a
，其中
2
b4acb
h，k．
2a4a
五、二次函数
2
yaxbxc图象的画法
五点绘图法：
利用配方法将二次函数
2
yaxbxc化为顶点式
2
ya（xh）k，确定
其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取
的五点为：
顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴
的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
六、二次函数
2
yaxbxc的性质
1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b
2a
，顶点坐标为
2
b4acb
，．
2a4a
当
x
b
2a
时，y随x的增大而减小；当
x
b
2a
时，y随x的增大而增大；当
x
b
2a
时，y有最小值
2
4acb
4a
．
2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为
x
b
2a
，顶点坐标为
2
b4acb
，．当
2a4a
x
b
2a
时，y随x的增大而增大；当
x
b
2a
时，y随x的增大而减小；当
x
b
2a
时，y
有最大值
2
4acb
4a
．
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：
2
yaxbxc（a，b，c为常数，a0）；
2.顶点式：
2
ya（xh）k（a，h，k为常数，a0）；
3.两根式：
ya（xx）（xx）（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
12
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可
以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即
2
b4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点
式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数
2
yaxbxc中，a作为二次项系数，显然a0．
⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开
口越大；
⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开
口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定
开口的大小．
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴在a0的前提下，
b
当b0时，0
2a
，即抛物线的对称轴在y轴左侧；
b
当b0时，0
2a
，即抛物线的对称轴就是y轴；
b
当b0时，0
2a
，即抛物线对称轴在y轴的右侧．
⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当b0时，0
2a
，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
b
当b0时，0
2a
，即抛物线的对称轴就是y轴；
b
当b0时，0
2a
，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：
对称轴x
b
2a
在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，
概括的说就是“左同右异”
总结：
3.常数项c
⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
总结起来
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