工程电磁场部分课后习题答案Word格式文档下载.docx
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r<
b）
I
Y
Ct（乔&
（XY8：
r=a
=⅞¾
’
r≡αι
L严翠
fP2
F=A
=拓
Il
r=A
—金
一e⅛r=⅛卄
L呦=有限值，P
-Irf8
-0
（2）选球坐标乘*球心与原点重介。
分析可知，电位审仅为『的函数，故有如下的静电场边值间题：
.-■
L
r2
（在介质€j中）
（在介质ε3中）
=O
非⅛+J-%警dS二Q
（在介质分界面上）
由于在a<
τ<
br有PL=φ2=φt所以以上边值问题可以简化为
£
护二O
（3）选圆柱坐标系山轴与圆柱导休面的轴线重合，因圆柱导体无限怏，故rtι对称性可知，屯位φ仅为P的函数*有如下的静电场边值问题：
1-7-4真空中一•点电荷v=10^6G放在距金属球壳f半径为R-5crn）的球心15cm⅛,求：
（1）球面上各点化E的表达式。
何处场强最大，数值如何？
〔2）若将球壳接地,则情况如何？
解应用镜像电荷法、镜像电荷的大小和位置为
6C=-,-1-XJo-6C
A-R2525
^^==IS=TCm
如题1-7-4图所示：
（1）球壳不接地t5此时,球心处还应放一点电荷
q=-vy=y×
IO-6C
球外和球表面上任一点的仞E由s/和/共同产生G
题】-7“4图
球面上的电位为
乡=⅛"
°
kV
球面上任一点的电场强度为
E二一^_-er+生一&
务十^^^"
r√j倉R
4κeorι14πεo^^22
不难判断,球面上ZL点的场强最大，数值均
=2.46XIO5V∕m
（2）若将球壳接地,这时,球外税球表面上任-点的P和E由甲和L共同产生。
球面上的电位为e=UV
球我面上任一点的电场强度为
JE_4庇（JY忆十4寵帥邑吃球表面上A点的电场强度最大，数值为
V/m
EmflX=3.7XItfS
^1-7-5图
1-7-5两根平行圜柱导休，半径均为2cm,相距12cm,设加以IoOOV电压.求两圆柱休表面上相距最近的点和最远的点的电荷面密度。
解用电轴法戒解，酋先确定电轴的位置
-L22=4⅛,2an
b二a2=J
如题1-7-5图所示*此时空间任意点的电位为
φ=^~∖τ∖—
2τUQrl
式中卩为-T至所求点的距离，门为十匸至所求点的距离，设+匸圆柱的电位为护「带—r圆柱的电位为跑，则
V-皿_朴=T小&
+（h_a）1b~{h-a）
C2tte°
h—（h~a）2xεt>
nf?
+（/?
—«
）
⅛×
21n
+（kF
-（h-a）所氐•圆柱单位长度上的电荷芒与两柱间的电压关系为
J^L—7
VO
加07ln⅛+（⅛-α）4√2+（6-2）2…
b-（h-a∖21n一P一δL
D5CL）4√2-（6-2）
点A处*场强和电荷面密度最大
=OnT75X1OfCZm2点B处,场强和电荷面密度最小
ε°
EmIIl"
2πeoxα+（A-6）^=0.0887×
10'
6CZm2
1-8-3两平行导线位于与地面垂直的平面内，如题1^8-3图所示’已知导体半径为2mm,求导线单位长度的部分电I容以及两学线间的等效电容°
解整亍寒统是由三个导体组成的静电独宣系统•共有3个部分电容，为计算部分电容*先计算电位垂数，有
σmin-
J^J=5tG÷
*12r2
［护2=2LrI+a-22rZ
令tl=τ,τ2^0.计算此情况下的φi.φ2-将地面的彫响用镜像电荷代替，并略去导线2上感应电荷的影响胡得
OO
E
所以，有
^⅛ln2⅛~⅛（SXlOa）
_Γ,2X8-5OX1O^2TI»
^2^⅛n^~5S<
'
1Q^--二⅛^ln31
=⅛LrI（SXI°
3）'
切=陌Zl
同理，令r1=Dtr2-rt计算此惜况下的φi9φ2o将地面的影响用镜像电荷代替■并略去导线I上感应电荷的影响・则得
⑴（8-0.5j_TIP
归一加訥0,5-⅛^ln31
汽=⅛⅛⅛1=⅛1∏（7-5XIO3）
2πef>
2xIO3
所慎有
αι^⅛n31
^22=^—ln（7.5×
103）
根据各个系数之间的关系，可得
匚T2严呗"
Ml
◎L2
=C（IIa22-αliα21^2πe°
x0∙1314
β12=⅛ι==-2πεo×
0,O5O2
alia22-a12^2l
再根据部分电容与感应系数之间的关系，可得
FΛ∏
Cn=C2l--∕3u=2,7889×
10-12FAnClO=Ai+A2=4.4389XW-12
F/m
C20=Ai÷
⅛^4,511l×
W^l2
两导线间的等效电容为
G=Cj2÷
7^1-0,⅞α-5.0263×
10^12F/m
191两个电容器G和G各充以电荷（ZJ和g然后移去电源，再蒋两电容器并联，问总的能量是否减少？
减少了多少？
到哪里去了？
解两电容器并联后，它们的电压相等,且总电荷与联接前相同这是一个活电荷系统勺井联后，每个电容器的电压为
U=Λι±
JU
C1-C2
所以，两电容器中的总能量为
而并联之前,两电容器中的总能量为
W二£
2+丄空
ti22C2
因此，能量的变化为
=Wz-W=--[ClGlJ¾
iF
eet2（C1+C2）CiC2
可见,井联后总的能量诫少了O减少的这部分能量用于在电容器并联达到稳态的过渡过程中，电位移电流辐射到空间中去了a
1-9-3JminUn厚、听=5的电介质片隔开的两片金属盘，形成一电容为IPF的平行板电容器JFSIkV的电源t5如果不计摩擦，要把电介质片从两金属盘间移出来藏问在下列两种悄况下各需做多少功？
（1）移动前’电源已断开.
（2）移动中，电源一貢联着Q
S根据带电体系统屮的能量守恒关系：
与带电体相联接的各电源提供的能駅=电场能量的壤畐卡电场力所做的功
（1）对丁电源断幵的常电荷系统：
电场力做功二-（电场能量的增量〉
移动前,电容器中的电场能量为
Wel=~clU↑=-X1012XIO60.5μJ
移动后,电容器的电容为
d√ε15
质以，电容器中的储能为附卫注q?
=q\,为常电荷系统）
◎討吩扛阔当咄幼（豊）
諾CM（总卜叫
所以
外力做的功=-（电场力做的功）=-ItyH-2μj
（2）对于电源■直接着的常电位系统*屯场力所做的功在数值上等于电场能量的增最。
因为WrCI=-2^CJL7∣-0.5FJ
‰-⅛c2ul=∣χ∣c1uj=∣^tl所戊
外力做的功=-（Wi2-Wei）=^¼
<
tl-0.4μJ
1-9-6应用虚位移法,计算教材中例1-27平行板电容器中两种介质分界面上每单位面抿所受的力。
解
（（）先讨论题1-9-&
图（幻。
这种情况下，设介质“和可的厚度分别为右和，且dv+d2^d（d是平板电容器的两极板间的距离），则电容器的电容为
ει（<
Z-Jl）÷
ι⅛S
所以，电场能量为
讶=丄厂口2=丄严
e22ε↑（d-dj）+^zd∖
则介质分界面1〔所受的总力为
Q理二丄护_（句—巧〉釣勺S^d∖2[“扭+（印一G）∕∣F
由于介质1和2中的电场分别为
ε1√f+⅛
U
C討Egr）2扣汀疋S
单位面积上所受的力为
这里，f的参考方向由介质"
指向介质勺零
〔2）再看题I-9-6图（b）ti这种情况下，两种介质中的E是相等的。
设介喷£
i和叼填充极板的面积分别为S1-/,W和色才仇⑷，且人+D=Hd为极板的长度，甲为扱板的宽度），则电容器的电容为
ez-^z_[（εz-ej）Z1+ε√]W
W^^CUjU2
[（e2-ε∣）∕2+e1Z]W
~d
则介质分界面上所受的总力为
Lr
=yEz（e2-ει）W⅛
I-^L
S~Wd
=jE2（∈2-
单位面积匕所受的力为
这里棗厂的参持方向由介质S指向介质ειo
11试回答下列各问题：
（1）等位面上的电位处处一样，因此面上各处的电场强度的数值也一样CJ这句话对吗？
试举例说明口
（2）某处电位=0.因此那里的电场E--Vφ=-VO=OO对吗？
（3）甲处电位是IOOOOVfl乙处电位是IOV故甲处的电场强度大于乙处的电场强度Q对吗？
菩此三问的内容基本一致，均是不正确的“静电场中电场强度是电位函数的梯厦，即电场强度E是电位函数卩沿最大减小率方向的空间变化率。
护的数值大小与E的大小无关，因此甲处电位虽是10000V,大于乙处的电位，但并不等于甲处的电场强度大于乙处的电场强度。
在等位面上的电位均相等，只能说明沿等位面切线方向，电位的变化率等于零,因此等位面上任一点的电场强度沿该面切线方向的分量等于零，即EI=Oo而电位函数沿等位面法线方向的变化率并不一定等于零，即Erl不一定为零，且数值也不一定相等（J即使等位面上P=O）该面上任一点沿等位面法线方向电位函数的变化率也不一定等于零。
例如：
静电场中导体表面为等｛⅛面,但导体表面上电场强度E垂直于导体表面，大小与导体表面各点的曲率半径有关，曲率半轻越小的地方电荷面密度越大▼电场强度的数值崔越大。
15师条电力线能否相切？
同一条电尢线上枉意两点的电｛⅛能否相等7为什么？
答电力线的疏密表示电场强度的弱或强—电力线槪密,说明该处的场强越大。
因此*若购条电力线相切，在切点处两条电力线无限靠近，即表示切点处的场强垣于无限大,这是不符合实际的，所以电力线不能相切。
因为φ=JEdZ,说明同一条电力线上任意两点的电位不能和等，沿电力线方向电位在减小。
1-8在一不带电的导体球内，挖出■偏心的球形空腔口
（1）若在空腔中心放一点电荷,试问腔表面和球外表面上的电荷及腔内，腔外各处的场强分别如何？
（2）若9不在空腔的中心，则腔表面和球外表面的电荷怎样分布？
球外的场强怎样分布？
（3）若点电荷g放在空腔中心,但在球外也放一点电荷,则腔表面和球表面上电荷怎样分布？
答（D空腔表面均匀分布与点电荷电量相等但异号的面电荷。
导体球的外表面均匀分布与点电荷电量相等且同号的面电荷。
腔内空间的电场强度为
Tr↑r'
式中口为空腔中心（即点电荷所在处）到腔内空间中任一点的淫离。
导体球内各处电场强度均为零F导体球外电场是均匀带电导体球在空间产生的电场
4τUDrL式中r为导体中心到球外空问任一点的距离。
（2〉点电荷q不在空腔中心时，则空腔表面分布着与点电荷q电量相等且异号的非均匀的面电荷,在靠近点电荷附近的表而上,电荷分布的面密度大。
此时导体球外表面上的电荷分布及球外空间中场的分布与
（1）问中此问题相同巾
（3）若点电荷g仍放在空腔中心,球外也放"
点电荷，则空腔表面上的电荷分布与
（1）问中此问题相同。
此时导体球外表面上电荷分布不均匀,靠近球外点电荷处,分布着非均匀的与球外点电荷异号的面电荷；
远离球外点电荷处，分布着非均匀的与球外点电荷同号的面电荷。
但导体球外表面上分布的面电荷总量仍与空腔内点电荷（I的电量相等且同号。
I-W两绝缘导体A和H带等量异号电荷，现把第三个不带电的导体C插人A、W之间（不与它们接触人试问电位差φA-φB是增大还是减小？
（从能量观点分析人
答导体C的外表面将感应分布不均匀的面电荷。
靠近A导体的表面带负电•靠近B导休的表面带疋电。
插人的过稗中，电场力作功,A、B与外界无联系（绝缘导体）*所以电场能量要减小住故JA阳之问的电位差＜pA-^要减小。
1-14在一午中性导体球壳的中心放电荷址为q的点电荷，这时球壳内外表面各带多少电荷量？
若耙点电荷从球壳中心移到壳内其它点，球壳内外表面上的电衙分布变不变？
球壳内外的场强分布变不变？
答点电荷q放在球心时T球壳内表面带有均匀分布的（-g）的电量，外表面带有均匀分和的q电量G若把点电荷移至壳内苴它点，球壳外表Sf电荷分布不变，球売内表面分布的电荷仍是（-g）的电量，但分布不均匀，靠近点电荷的内表面上的电荷面密度大于远离点电荷的内表面上的申.荷面密度α球壳外的场强分布不变，仍为e=4^^o球壳内空间的电场分布改变了，町由镜像法求
1-価说明E.D.P三个矢量的物理意文t,E与介质有关，D与介质无关的说法对吗？
答E是⅞∙场强度，其物理意义在于是从力的角度描述静电场特性的物理埴。
其定文为静电场中任一点单位正电荷所受到的电场力。
D是电位移矢量,是一个辅助物理量，其本身并没有明确的物理意文，然而引人它可以方便地表达出静电场中任一点的场量与场源之间的关系，即电位移矢量的散度等于该点分布的自由电荷体密度（J
P是电极化强度，其物理逡义是描述牡介质中任一点电极化强弱的物理⅛0
E与介质有关+D与介质无关的说法是不对的＜jE和D的分布均与介质有关^但是穿过闭合曲面的D通逮仅与该闭合面所包围的自由电荷有关，爾与介质中的束缚电荷无关CJ
1-17若电场中放人电介质后，a由电荷分布未变，电介處中的场强大小是否一定比真空中的场强小？
答不一定。
只能说电介质中的场强比原来没放屯介质时同一处真空中的场强小J
118有人说,均匀介质扱化后不会产生体分布的极化电荷，只是在介质的表面上才出现面分布的扱化电荷，若均匀介质是无限大的，那么它的表面在无限远处，那里的极化电荷对考塞点的场无影响，因此均匀的无限大的电介质与真空完全相同。
你是否同意这种看法。
答这种看法是错误的七举一反例说明Q假设均匀介质是无限大的命题成立'
要使介质极化■必妾有外加电场，而外加电场是由空间分布的自由电荷产生的■这些自由电荷会分布在均匀介质中，使均匀介质内部存在极化电荷体密度，故与真空的情况不能相同心
1-22有带电为g的球体，附近有一块介电常数为
E・<
1S-f不成立個为没有考虑介εo
E"
誥成立山二瓷討和0厦的影响H
的介质,如思考题1-22图所示。
请问下列公式成立否？
十工
1-29电缆为什么要制成多层绝缘的结构（即在内、外导体间用介电常数各不相同的多层介质各层介质的介电常数的选取遵循什么原则？
为什么？
答在电缆内、外导体之间施加同样电压的情况下，对于多层绝缘结构，其电介质中电场强度的最大值比单层绝缘情况下的电场强度的舅大值小，这样多层绝缘的电缆可以承受更大的电压P如果各层介质的介电常数选择为ε1∕,1二SS=Em=…（件为，层介质的最小半径X则在各层电介质中，场强的最大值均相等•且均小于单层绝缘情况下的电场强度的最大值。
若各层电介质的击穿场强不同,这时既要考虑介质的介电常数的大小，还要考虑介质排列的顺序及厚度的选取。
l-3θ确定镜像电荷的分布主要有哪两点？
已学过的有哪几种典型的镜像问题？
并总结之。
说明镜像电荷是代替∣8E些实际存在的电荷分布。
答首先镜像电荷必须位于待求解的场域（简称有效区域）之外级保证有效区内的电荷分布不变*也就是电位方程不变。
另一点是镜像电荷的个数、位置,电荷疑的大小和符号的选取要能等效替代有效区以外区域的电荷和有效区场域边界上复杂分布的电荷的作用，以保证边界条件不变，已学过的典型的镜像问题有:
（1）如点电荷对无跟大导体平面的镜像江2）球形导体边界问题,如点电荷对导依球的镜像；
（3）風柱形导体边界间题（也称电轴法）；
（4）无限大平面介质边界问题。
在上述问题屮，镜像电荷主要用以替代有效区场域边界上实际存在的感应电荷或束缚社荷的分布或作用。
1-31以下各小题（见思考题1-31图）能否用镜像法求解？
如陡，画岀其镜像电荷的位置并标明数值；
如不能’说明理由。
思琴題1-31图
答分界面均按无穷大导体平面对待心对于图（a）jα=60∖故兀=皿=
个镜像口其位置与平面镜成像的方法相同”数值均为厂诂号每成-次像加个负号（图略人对于图（bh不能用镜像法求解CJ因为像电荷不能出现在有效区内，而图（b）中不能避免这点，故不能釆用镜像法。
（C）可选择无穷个镜像，但镜像电荷距有效区的距离越来越远’当问题的精确度耍求一定时，可舍去远处不足以影响精度的像电荷，达到满足冋题要求的近似解。
1-34静电场中储存的能量町从哪几个方面来计算,它们各适用于什么情况？
是否因为故当电容器中介电常数E增加后，电场能星也增加？
答适用于计算电容器的储能。
e^^2J^^dVr+-^-J^CrφdS
适用于空间中有有限体电荷和面电荷分布情况下的计算,其中积分域v,s是电荷分布的区域。
叭=刁知咧
适用于点电荷系统或导体系统储能的计算。
1"
Wt/二寺E÷
DdV
Z-V
说明静电能是储存在电场之中，适用于计算区域W内E,D分布已知的情况匕静电能量密度4€E2中川增人时，由于F的分布也会发生变化，因此电场能量并非一定会增加。
1-2两半径为U和⅛（d<
Λ）的冋心导体球面间电位差为VMIHb若右固定”要使半径为α的球面上场强暈小皿与方的比值应是多少？
解由高斯定律*容易求得同心球IE间任一r处的电场強度E为
Q_VrQMb4πεb—a
从中解得
半径为a的球面上的场强为
当Q和竹一定时.E（a）随"
不同而变匕但不是α的单调函数，它存在极值。
为了求出α取什么数值时,E（λ）⅛小'
则令
由此可得
2α-6=0
即“与的比值应为0*5。
1-3具有两层同轴介质的圆柱形电容器，内导休的直径为2cm”内层介质的相对介电常数Erl=3,外层介质的相炖介电常数εrl=2,要便两星介质中的最大场强相等，并且内层介质所承受的电压和外层介质的相等#问两层介质的厚度各为多少？
解设两层介质的交界面半轻为◎外导体内半径为力，且内、外导体表面单位长度上的电荷分别为+疔和-“则由高斯定律可求得介质S和介质先中
的电场分别为
6πrεθ×
1×
10-2*^ZrlMDt4πε0α
故解之，得
α=1.5×
10^2m=1.5Cm内、外层介质分别承受的电压为
匸］=亠］&
ι.5xio24丸巴op%一4^eOnl+5XIO-
根据题意，要使两层介质承受的电压相等，即Ul=U2J故
6πeolnk5fc-⅛e0ln|5×
10"
≈
解之得
最后，得
介质1的厚度g—1.0=1.5-1.0=0.5CTn
介质2的厚度:
6-（1=1.96-L5-0+46Cnl
1-4用双层电介质制成的同轴电缆如题1-4图所示；
介电常数勺=2咼；
内、外导体单位长度上所带电荷分别为T和-G
（1）
S1-4图
求两种电介质中以及PeRl和p>
K3处的电场强度与电通密度；
（2）求两种电介质中的电极化强度；
（3）问何处有扱牝电荷，并求其密度Ci
解
（1）应用高斯定律,,不难求得电通密度为
（p<
R↑）
（R1<
p<
R3）
3>
R∕
电场强度E芈故
IE
：
o（p<
R］）
0{p>
（2）⅛DFE+P,得两种电介质中的电扱化强度为
話即CRl<
fi<
R2）
為即（R2<
【3）内、外导体圆⅛⅛ffi±
和两种电介质交界面上有极化电荷”它们分别是
-Tr
16
在P=R3处：
升=/-（»
）=爲
在处上CrF-P↑'
ep+P2i（-efi）
3rT芒
-r"
»
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8xi?
24πJ?
!
8πRj
16有一平行板电容器，两极板距議为AB=d,中间平行地放人两块薄金属片C,DtΠAC=CD=JDB=J/3（Ja题1-6图），如将如巧两板充电到电压UD后,拆去电源，问：
⑴AC，CDtBC间电压各为多少？
CQ片上有无电荷？
ACTCTJlDB间电场强度各为多少？
（2）若将（?
，D两片用导线联结，再断开，重答
（1）问；
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