计数原理、排列与组合、二项式定理.doc

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计数原理、排列与组合、二项式定理

知识要点

一、计数原理

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m+n种不同的方法。

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的办法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法。

3．两个原理的关系

两个原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。

区别在于分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事。

二、排列、组合

1．公式和性质

三、二项式定理

1.二项式定理

（a+b）=

+

2.二项式系数的性质

（1）在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

（2）若二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大，若是奇数则中间的两项系数最大；

（3）二项式系数的和等于，即

3.注意：

二项式系数和展开式的系数的区别

规律方法指津

1.排列、组合应用题大致可分为三类:

（1）不带限制条件的简单排列或组合题,可直接根据题意利用公式求得最后结果.

（2）带有限制条件的排列或组合题,常有两种计算方法,一是把符合要求的排列或组合数直接计算出来;二是先算出不含限制条件的所有排列和组合的总数,然后再从中减去所有不符合要求的排列和组合数.

（3）排列、组合混合综合题,一般采取先组合后排列的方法,要分类清楚准确、独立,分步有条不紊、连续.

2.排列组合应用题,常用的基本类型有以下几种:

从n个不同元素中

（1）选出m个（mn）个元素，排成一列，所有不同的排法共有种.

（2）选出m个元素,且有k（个元素必须入选，把这m个元素排成一列，排法共有

（3）将n个元素排成一列，且其中某k个元素排在相邻位置上，排法共有种（捆绑法）

（4）将n个元素排成一列，且其中某k个元素不能排在相邻位置上，排法共有种（插空法）

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（5）将n个元素排成一列，且其中某k个元素不全相邻，排法共有种（间接法）

（6）将n个元素排成一列，且其中某k个元素保持一定的顺序，排放法共有种（消序法）

3.在解排列组合综合题时,常见的解题策略有以下几种:

（1）特殊元素优先安排的策略.

（2）合理分类与准确分步的策略.

（3）排列、组合混合问题先选后排的策略

（4）正难则反、等价转化的策略.

（5）相邻问题捆绑处理的策略.

（6）不相邻问题插空处理的策略.

（7）定序问题除法处理的策略.

（8）分排问题直排处理的策略

（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略

（10）构造模型的策略

4.在解决排列组合应用题时,经常运用的数学思想:

分类讨论的思想;转化的思想;对称思想

典型例题分析

1）对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排，在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”有时“位置优先”。

[例1]由0，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数中，其中偶数共有几个？

2）对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不少于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。

[例2]4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？

3）对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作1个元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。

[例3]5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几排法？

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4）对于某些元素要求间隔的排列，用插入法。

[例4]5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？

思考4男4女排成一列，要求男女间隔，有几种排法？

（）

[例5]10垄地选2垄种A，B两种作物，且A，B至少间隔6垄，有几种方法？

5）对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中先出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。

[例6]5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？

6）若n个元素要分m排列，可把每排首尾相连成一列，对于每排的特殊要求，只要分段考虑特殊元素，然后对其余元素作统一排列。

[例7]2个老师、4个女生、12个男生，排成三排照相，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，且老师在第一排，女生在第二排，共有几种不同的排法？

7）对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素与其他元素排列。

[例8]4名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的顺序要求2名女歌手之间恰有2名男歌手，则出场方案有几种？

8）住店法

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：

一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解的方法称为“住店法”。

[例9]七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能的和数有……

9）两类元素的排列问题

[例10]10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同的跨法？

思考1:

3面红旗2面黄旗，全都升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？

（种）

B

思考2:

沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？

（条）

A

[说明]怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是关键

10）排列、组合与解析、立几的综合

[例11]（2003年春季高考题·北京卷）

在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB内部和边上整点（即坐标均为整数的点）的总数是（）

A.95B.91C.88D.75

11）试验（树枝法）

题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律有时也是行之有效的方法。

[例12]将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有……

12）对应

[例13]在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即每一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？

13）特征分析

研究有约束条件的排数问题，须紧扣题目所提供的数字特征、结构特征，进行推理、分析求解

[例14]由1、2、3、4、5、6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数。

14）分组问题与分配问题

（1）分组问题的常见形式及处理方法

a）非均匀无序分组n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序.

例如：

10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为种。

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b）均匀无序分组将n个不同元素分成不编号的m组，假定m组元素个数相等，不管是否分尽.

例如：

若6人分成三组每组2人则其分法种数为;10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为种.（部分均匀）

c）非均匀有序分组n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序.

例如：

10人分成三组，去参加不同的劳动，各组人数分别为2、3、5，其安排方法有种。

d）均匀有序分组n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序.

例如9人分成三组，参加三种不同的劳动，各组人数分别为3、3、3，分法种数为种。

（2）分配问题的处理途径

将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题，分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的；而后者即使两个元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的。

对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则。

[例15]六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？

（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；

（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；

（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；

（4）平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；

（5）平均分成三堆，每堆两本。

15）“隔板法”常用于指标问题和不定方程整数解的个数问题

[例16]从5个班中选10人组成校入篮球队，每班至少1人，有几种选法？

16）涂色问题

[例17]一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种。

（以数字作答）

B

C

E

A

D

二项式定理

一.二项式定理常有以下几种类型题

1求指定项或指定项的项数；2.求指定项的系数或二项式系数；3.近似计算；4.整除或求余数的问题5.求有理项或最大值;6.求各项系数和.

二.典型例题

的展开式中x的系数为19，求f（x）展开式中x4页

例9求

例10求证：

对一切n