成人高考高数二笔记定理及公式Word文档下载推荐.docx
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在D内单调减少（
若f（x1）＜f（x
2）,
则称f（x）在D内严格单调增加（
若f（x1）＞f（x2）,
则称f（x）在D内严格单调减少（）。
2.函数的奇偶性：
D（f）关于原点对称
偶函数：
f（-x）=f（x）
奇函数：
f（-x）=-f（x）
3.函数的周期性：
周期函数：
f（x+T）=f（x）,x∈（-∞，+∞）
周期：
T——最小的正数
4.函数的有界性：
|f（x）|≤M,x∈（a,b）
㈢基本初等函数
1.常数函数：
y=c，（c为常数）
2.幂函数：
y=xn,（n为实数）
3.指数函数：
y=ax,（a＞0、a≠1）
4.对数函数：
y=logax,（a＞0、a≠1）
5.三角函数：
y=sinx,y=conx
y=tanx,y=cotx
y=secx,y=cscx
6.反三角函数：
y=arcsinx,y=arcconx
y=arctanx,y=arccotx
㈣复合函数和初等函数
1.复合函数：
y=f（u）,u=φ（x）
y=f[φ（x）],x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函
数
1.2极限
㈠极限的概念
1.数列的极限:
limynA
n
称数列yn以常数A为极限;
或称数列yn收敛于A.
若yn的极限存在yn必定有界.
2.函数的极限：
⑴当x时，f（x）的极限：
lim
A
limf（x）A
⑵当xx0时，f（x）的极限：
xx0
左极限：
xx0
右极限：
⑶函数极限存的充要条件：
limf（x）A
limf（x）
定理：
㈡无穷大量和无穷小量
1．无穷大量：
limf（x）
称在该变化过程中f（x）为无穷大量。
X再某个变化过程是指：
x
xx0,xx0,xx0
2．
无穷小量：
lim
f（x）
称在该变化过程中
f（x）为无穷小量。
3．
无穷大量与无穷小量的关系：
（f（x）0）
f（x）
4．无穷小量的比较：
lim0,lim0
lim0
⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量；
limc
⑵若（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；
lim1
⑶若，则称β与α是等价的无穷小量，记作：
β～α；
⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。
若：
则：
1~1，2~2；
㈢两面夹定理
1．数列极限存在的判定准则：
设：
ynxnzn（n=1、2、3）
且：
limynlimzna
nn
limxna
2．函数极限存在的判定准则：
对于点x0的某个邻域内的一切点
（点x0除外）有：
g（x）f（x）h（x）
limg（x）limh（x）A
xx0xx0
㈣极限的运算规则
若：
limu（x）A,limv（x）B
①lim[u（x）v（x）]
limu（x）
limv（x）A
B
②lim[u（x）v（x）]limu（x）
limv（x）
③limu（x）
limu（x）
（limv（x）
0）
v（x）
limv（x）
推论：
①lim[u1（x）u2（x）un（x）]
limu1（x）limu2（x）limun（x）
②lim[cu（x）]
climu（x）
③lim[u（x）]n
[limu（x）]n
㈤两个重要极限
sinx
sin
（x）
1．x
或（x）0
1）x
lim（1
e
lim（1x）x
2．x
x0
1.3
㈠函数的连续性
连续
1.函数在
x0
处连续：
f（x）在
x0的邻域内有定义，
1o
limx0
lim[f（x0x0
x）f（x0）]
o
f（x0）
xx
f（x0）
左连续：
x
右连续：
2.函数在x0处连续的必要条件：
f（x）在x0处连续f（x）在x0处极限存在
3.函数在x0处连续的充要条件：
limf（x）f（x0）
limf（x）f（x0）
4.函数在
a,b上连续：
f（x）在a,b上每一点都连续。
在端点a和b连续是指：
limf（x）
xa
limf（x）
xb
a+0
5.函数的间断点：
f（a）
左端点右连续；
f（b）
右端点左连续。
b-x
若f（x）在x0处不连续，则x0为f（x）的间断点。
间断点有三种情况：
1o）x（f在x0处无定义；
不存在；
）x（f在x0处有定义，且
3
存在，
但xx
。
两类间断点的判断：
1o第一类间断点：
limf（x）limf（x）
特点：
xx
和xx
都存在。
可去间断点：
存在，但
，或）x（f
在x0处无定义。
2o第二类间断点：
limf（x）lim
和xx0
至少有一个为∞，
或xx0
振荡不存在。
无穷间断点：
xx
至少有一个为∞
㈡函数在x0处连续的性质
1.连续函数的四则运算：
f（x0）limg（x）g（x0）
设xx
，xx
lim[f（x）
g（x）]
g（x0）
limg（x）0
2.复合函数的连续性：
yf（u）,
lim（x）
u
（x0
（x）,
）,
（x0）
f[（x）]
f（u）
f[
（x0）]
limf[（x）]
f[lim（x）]
f[（x0）]
3.反函数的连续性：
yf（x）,xf1（x）,y0f（x0）
limf（x）f（x0）
limf1（y）f1（y0）
yy0
㈢函数在[a,b]上连续的性质
1.最大值与最小值定理：
f（x）在[a,b]
上连续
f（x）在[a,b]
上一定存在最大值与最小值。
+M
M
f（x）
0abx
m
-M
a
b
2.有界定理：
f（x）在[a,b]
上一定有界。
3.介值定理：
在[a,b]
在（a,b）
内至少存在一点
，使得：
f（
c
，
其中：
C
0aξb
0aξ1ξ2bx
f（x）在[a,b]上连续，且f（a）与f（b）异号
在（a,b）内至少存在一点，使得：
f（）0。
4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章一元函数微分学
2.1导数与微分
一、主要内容
㈠导数的概念
1．导数：
f（x）在x0的某个邻域内有定义，
f（x0
x）f（x0）
lim
0x
f（x）f（x0）
yxx0
dy
dx
f
（x0）lim
2．左导数：
右导数：
f（x）在x0的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
（或：
limf（x））
3.函数可导的必要条件：
f（x）在x0处可导f（x）在x0处连续
4.函数可导的充要条件：
y
xx0
f（x0）存在
f（x0），
且存在。
5.导函数：
（a,b）
f（x）在（a,b）内处处可导。
6.导数的几何性质：
是曲线
yf（x）上点
x0,y0
处切线的斜率。
㈡求导法则
1.基本求导公式：
2.导数的四则运算：
v）
v
1（u
uv
2（u
（v
3o
3.复合函数的导数：
（x）]
du
dx，或{f[
（x）]}
（x）]（x）
☆注意{f[（x）]}与
（x）]的区别：
{f[
表示复合函数对自变量
x求导；
（x）]表示复合函数对中间变量
（x）求导。
4.高阶导数：
f（x）,
或f（3）（x）
f（n）（x）
[f（n
1）（x）],
（n2,3,4）
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。
㈢微分的概念
1.微分：
f（x）在x的某个邻域内有定义，
yA（x）xo（x）
A（x）与x无关，o（x）是比x较高
limo（x）0
阶的无穷小量，即：
x0x
则称
x处可微，记作：
A（x）
dyA（x）dx
（x0）
2.导数与微分的等价关系：
f（x）在x处可微f（x）在x处可导，
f（x）A（x）
3.微分形式不变性：
dyf（u）du
不论u是自变量，还是中间变量，函数的
微分dy都具有相同的形式。
2.2中值定理及导数的应用
㈠中值定理
1.罗尔定理:
f（x）满足条件:
10在[a,b]上连续；
.
30.f（a）f（b）.
在（a,b）内至少存在一点,
使得f（）0.
yf（）f（）f（x）
aoξbxaoξbx
2.拉格朗日定理：
10
在[a,b]上连续，
在（a,b）内至少存
在一点，使得：
20
在（a,b）内可导；
f（）
㈡罗必塔法则：
（0,
型未定式）
f（x）和g（x）满足条件：
（或）
limg（x）
2o在点a的某个邻域内可导，且g（x）
0；
A,（或）
xa（
）g（x）
A,
xa（）g（x）
xa（）g（x）
☆注意：
1o法则的意义：
把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2o若不满足法则的条件，不能使用法则。
即不是0型或型时，不可求导。
3o应用法则时，要分别对分子、分母
求导，而不是对整个分式求导。
4o若f（x）和g（x）还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
A（或
xa（）g（x）
xa（）g（x）
5o若函数是0
型可采用代数变
型；
若是1
形，化成0或
0,
型可
采用对数或指数变形，化成
0或
型。
㈢导数的应用
1．切线方程和法线方程：
yf（x）,M（x0,y0）
切线方程：
法线方程：
yy0f（x0）（xx0）
（xx0）,（f（x0）0）
2．曲线的单调性：
⑴f（x）0x（a,b）f（x）在（a,b）内单调增加；
f（x）0x（a,b）f（x）在（a,b）内单调减少
⑵
f（x）0x（a,b）在（a,b）内严格单调增加；
f（x）0x（a,b）在（a,b）内严格单调减少
3.函数的极值：
⑴极值的定义：
设f（x）在（a,b）内有定义，x0是（a,b）内的一点；
若对于x0的某个邻域内的任意点xx0，都有：
f（x0）f（x）[或f（x0）f（x）]
则称f（x0）是f（x）的一个极大值（或极小值），
称x0为f（x）的极大值点（或极小值点）。
⑵极值存在的必要条件：
10.f（x）存在极值f（x0）
20.f（x0）存在。
f（x0）0
x0称为f（x）的驻点
⑶极值存在的充分条件：
定理一：
10.f（x）在x0处连续；
20.f（x0）0或f（x0）不存在；
f（x0）是极值；
x0是极值点。
30.f（x）过x0时变号。
当x渐增通过x0时，f（x）由（+）变（-）；
则f（x0）为极大值；
当x渐增通过x0时，f（x）由（-）变（+）；
则f（x0）为极小值。
10.f（x0）0；
f（x0）是极值；
定理二：
20.f（x0）存在。
x0是极值点。
若
0，则f（x0）
（x0）
，则
为极大值；
为极小值。
驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4．曲线的凹向及拐点：
⑴若f（x）0,xa,b；
则f（x）在（a,b）内是上凹的（或凹的），（∪）；
⑵若f（x）0,xa,b；
则
f（x）在（a,b）内是下凹的（或
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