成人高考高数二笔记定理及公式Word文档下载推荐.docx

1、在 D 内单调减少 （若 f（x 1） f（x2）,则称 f（x） 在 D内严格单调增加 （若 f（x 1） f（x 2）,则称 f（x） 在 D 内严格单调减少 （ ） 。2.函数的奇偶性： D（f） 关于原点对称偶函数： f（-x）=f（x）奇函数： f（-x）=-f（x）3.函数的周期性：周期函数： f（x+T）=f（x）, x （- ， + ）周期： T最小的正数4.函数的有界性： |f（x）| M , x （a,b）基本初等函数1.常数函数： y=c ， （c 为常数 ）2. 幂函数： y=x n , （n 为实数 ）3.指数函数： y= ax , （a 0、 a 1）4.对数函数：

2、 y=log a x ,（a 0、a 1）5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot xy=sec x , y=csc x6. 反三角函数： y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1. 复合函数： y=f（u） , u= （x）y=f （x） , x X2.初等函数 :由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数1.2极限极限的概念1. 数列的极限 : lim yn An称数列 yn 以常数 A 为极限 ;或称数列 yn 收敛于 A.

3、 若 yn 的极限存在 yn 必定有界 .2.函数的极限：当 x 时， f （x） 的极限：limAlim f （ x） A当 x x0 时， f （x） 的极限：x x0左极限： x x0右极限：函数极限存的充要条件：lim f （x） Alim f （x）定理：无穷大量和无穷小量1无穷大量： lim f （x）称在该变化过程中 f （x） 为无穷大量。X再某个变化过程是指：, x, x x0 , x x0 , x x02无穷小量： limf （x）称在该变化过程中f （x） 为无穷小量。3无穷大量与无穷小量的关系：,（ f （x） 0） f （x）4 无穷小量的比较： lim 0, lim

4、 0lim 0若 ,则称 是比 较高阶的无穷小量；lim c若 （ c 为常数），则称 与 同阶的无穷小量；lim 1若 ，则称 与 是等价的无穷小量，记作： ；若 ,则称 是比 较低阶的无穷小量。 若：则：1 1， 2 2；两面夹定理1 数列极限存在的判定准则：设： yn xn zn （ n=1 、2、 3 ）且：lim yn lim zn an nlim xn a2 函数极限存在的判定准则：对于点 x0 的某个邻域内的一切点（点 x0 除外）有：g （ x） f （ x） h（ x）lim g（ x） lim h（ x） A x x0 x x0极限的运算规则若： lim u（ x） A,

5、lim v（x） B limu（x） v（x）lim u（x）lim v（x） AB lim u（ x） v（ x） lim u（ x）lim v（ x） lim u（x）lim u（ x）（ l i mv（ x）0）v（x）lim v（x）推论： lim u1 （ x） u2 （ x） un （ x）lim u1 （ x） lim u2 （ x） lim un （ x） lim c u（ x）c lim u （ x） lim u （ x） nlim u （ x） n两个重要极限sin xsin（ x）1 x或 （ x ） 01 ） xlim （1el i m（1 x） x2 xx 0 1.3

6、 函数的连续性连续1. 函数在x0处连续：f （ x） 在x0 的邻域内有定义，1olim x 0lim f （ x0 x 0x） f （ x0 ）of （x0 ）x xf （ x0 ）左连续： x右连续：2. 函数在 x0 处连续的必要条件： f （ x） 在 x0 处连续 f （ x） 在 x0 处极限存在3.函数在 x0 处连续的充要条件：lim f （x） f （x0 ）lim f （ x） f （x0 ）4. 函数在a,b 上连续：f （ x） 在 a, b 上每一点都连续。在端点 a 和 b 连续是指：lim f （ x）x ali mf （ x）xba+ 05.函数的间断点：f

7、（a）左端点右连续；f （b）右端点左连续。b- x若 f （x） 在 x0 处不连续，则 x0 为 f （x） 的间断点。间断点有三种情况：1o ）x （ f 在 x0 处无定义；不存在；）x （ f 在 x0 处有定义，且3存在，但 x x。两类间断点的判断：1o 第一类间断点：lim f （x） lim f （x）特点： xx和 x x都存在。可去间断点 ：存在，但，或 ） x（ f在 x0 处无定义。2o 第二类间断点：lim f （x） lim和 x x0至少有一个为，或 x x0振荡不存在。无穷间断点 ： x x至少有一个为函数在 x0 处连续的性质1.连续函数的四则运算：f （x

8、0 ） lim g（x） g（x0 ）设 x x， x xlim f （ x）g（ x）g（ x0 ）lim g（ x） 02.复合函数的连续性：y f （u）,lim （ x）u（ x0（ x）,）,（ x0 ）f （x）f （u）f （ x0 ）lim f （ x）f lim （ x）f （ x0 ）3.反函数的连续性：y f （x）, x f 1（x）, y0 f （x0 ）l i mf （ x） f （ x0 ）l i mf 1（ y） f 1（ y0 ）y y0函数在 a, b 上连续的性质1.最大值与最小值定理：f （ x） 在 a, b上连续f （ x） 在 a,b上一定存在最大

9、值与最小值。+MMf（x）0 a b xm-Mab2. 有界定理：f （x） 在 a, b上一定有界。3.介值定理：在 a, b在 （a, b）内至少存在一点，使得：f （c，其中：C0 a b0 a 1 2 b xf（x） 在 a,b 上连续，且 f （a） 与 f （b） 异号在 （a, b） 内至少存在一点 ，使得： f （ ） 0 。4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念1导数：f （ x） 在 x0 的某个邻域内有定义，f （ x0x） f （ x0 ）l i m0 xf （ x） f （ x0 ）y

10、x x0dydxf（ x0 ） lim2左导数：右导数：f （ x） 在 x0 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；（或：lim f （ x） ）3.函数可导的必要条件： f （ x） 在 x0 处可导 f （ x） 在 x0 处连续4. 函数可导的充要条件： yx x 0f （ x0 ） 存在f （ x0 ） ，且存在。5.导函数：（a,b）f （ x） 在 （a, b） 内处处可导。6.导数的几何性质：是曲线y f （ x） 上点x0 , y0处切线的斜率。求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：v）v1（ uu v2（u（v3o3.复合函数的导数：（ x）dudx ，或

11、f （ x）（ x） （ x）注意 f （ x） 与（ x） 的区别： f 表示复合函数对自变量x求导；（ x） 表示复合函数对中间变量（ x） 求导。4.高阶导数：f （ x）,或 f （ 3） （ x）f （n） （ x） f （ n1） （ x） ,（n 2,3,4 ）函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。微分的概念1.微分： f （ x） 在 x 的某个邻域内有定义，y A（ x） x o（ x） A（ x） 与 x 无关， o（ x） 是比 x 较高lim o（ x） 0阶的无穷小量，即： x 0 x则称x 处可微，记作：A（ x）dy A（ x）dx（ x 0）2.导数与微

12、分的等价关系： f （ x） 在 x 处可微 f （ x） 在 x 处可导， f （ x） A（ x）3.微分形式不变性：dy f （u）du不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的微分 dy都具有相同的形式。 2.2 中值定理及导数的应用中值定理1.罗尔定理 : f （ x） 满足条件 :10 在 a , b上 连 续 ； .3 0. f （ a ） f （ b ）.在 （ a , b ）内 至 少存在一点,使 得 f （ ） 0 .y f （ ） f （ ） f （ x）a o b x a o b x2.拉格朗日定理：10在a,b上 连 续 ，在（a, b）内 至 少 存在一点，使得：20

13、在（a,b）内 可 导 ；f （ ）罗必塔法则： （ 0 ,型未定式）f （x） 和 g（x） 满足条件：（或 ）lim g（ x）2o 在点 a 的某个邻域内可导，且g （x）0；A,（或）x a（） g （ x）A,x a（ ） g（x）x a（ ） g （ x）注意： 1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2o 若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是 0 型或 型时，不可求导。3o 应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4o 若 f （ x） 和 g （ x） 还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：A （或x a（ ） g（ x）x a （

14、） g （ x）5o 若函数是 0,型可采用代数变型；若是 1形，化成 0 或,0 ,型可采用对数或指数变形，化成0 或型。导数的应用1 切线方程和法线方程： y f （ x）, M （ x0 , y0 ）切线方程：法线方程：y y0 f （ x0 ）（ x x0 ）（ x x0 ）, （ f （ x0 ） 0）2 曲线的单调性： f （ x） 0 x （a, b） f （ x）在（a,b）内单调增加；f （ x） 0 x （a, b） f （ x）在（a,b）内 单 调 减 少f （ x） 0 x （a, b） 在（a,b）内严格单调增加；f （ x） 0 x （a, b） 在（a, b）内

15、 严 格 单 调 减 少3.函数的极值：极值的定义：设 f （ x） 在 （a, b） 内有定义， x0 是 （a, b） 内的一点；若对于 x0 的某个邻域内的任意点 x x0 ，都有：f （ x0 ） f （ x）或f （ x0 ） f （ x）则称 f （x0 ） 是 f （ x） 的一个极大值（或极小值） ，称 x0 为 f （x） 的极大值点（或极小值点） 。极值存在的必要条件：10. f （ x）存在极值 f （ x0 ） 20. f （ x0 ）存在。 f （x0 ） 0x0 称为 f （x） 的驻点极值存在的充分条件：定理一：10. f （ x）在x0处连续；20. f （ x

16、0 ） 0或 f （ x0 ）不存在； f （ x0 ）是极值；x0是极值点。30. f （ x）过x0时变号。当 x 渐增通过 x0 时， f （x） 由（ +）变（ -）；则 f （x0 ） 为极大值；当 x 渐增通过 x0 时， f （x） 由（ -）变（ +）；则 f （x0 ） 为极小值。10. f （ x0 ） 0； f （x0 ）是极值；定理二： 20. f （x0 ）存在。 x0是极值点。若0 ，则 f （ x0 ）（x0 ），则为极大值；为极小值。驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点：若 f （x） 0, x a,b ；则 f （x） 在 （a,b） 内是上凹的（或凹的），（）；若 f （x） 0, x a,b ；则f （x） 在 （a, b） 内是下凹的（或