大一下高数下册知识点Word格式.docx
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2
2）
abab0
abaxbx
aybyazbz
2、向量积：
c
a
b
大小：
a
bsin
，方向：
a,b,c符合右手规则
）
1a
2）a//b
i
j
k
ab
ax
ay
az
bx
by
bz
运算律：
反交换律baab
（三）曲面及其方程
1、曲面方程的概念：
S:
f（x,y,z）0
2、旋转曲面：
yoz面上曲线C:
f（y,z）
0，
绕y轴旋转一周：
f（y,
x2
z2）
绕z轴旋转一周：
f（
y2,z）
3、柱面：
F（x,y）0表示母线平行于z轴，准线为
F（x,y）0
的柱面
z0
4、二次曲面
x
y
1）椭圆锥面：
2z2
y2
1
2）椭球面：
a2
b2
c2
旋转椭球面：
a2
3）单叶双曲面：
4）双叶双曲面：
5）椭圆抛物面：
6）双曲抛物面（马鞍面）：
7）椭圆柱面：
8）双曲柱面：
9）抛物柱面：
x2
（四）空间曲线及其方程
F（x,y,z）0
1、一般方程：
G（x,y,z）0
x（t）
acos
t
2、参数方程：
y
y（t），如螺旋线：
asin
z（t）
bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
F（x,y,z）
H（x,y）0
G（x,y,z）
，消去z，得到曲线在面
xoy上的投影
（五）平面及其方程
1、点法式方程：
A（x
x0）B（y
y0）C（zz0）0
法向量：
n（A,B,C），过点（x0,y0,z0）
、一般式方程：
Ax
ByCzD
截距式方程：
c
3、两平面的夹角：
n1
（A1,B1,C1），n2
（A2,B2,C2），
cos
A1A2
B1B2C1C2
A2
B2
C2
B1B2
C1C2
1//
A1
B1
C1
C2
4、点P0（x0
y0,z0）到平面Ax
By
CzD0的距离：
d
Ax0By0Cz0D
A2B2C2
（六）空间直线及其方程
A1xB1yC1zD1
1、一般式方程：
A2xB2yC2zD2
2、对称式（点向式）方程：
xx0
yy0
zz0
m
n
p
方向向量：
s（m,n,p），过点（x0,y0,z0）
x0
mt
3、参数式方程：
y0
nt
z0
pt
4、两直线的夹角：
s1
（m1,n1,p1），s2
（m2,n2,p2），
m1m2
n1n2
p1p2
n2
p2
m2
L1
L2
n1n2p1p20
//L2
m1
n1
p1
5、直线与平面的夹角：
直线与它在平面上的投影的夹角，
AmBnCp
sin
A2B2C2m2n2p2
L//AmBnCp0
L
ABC
mnp
第九章多元函数微分法及其应用
（一）基本概念
1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，
闭区域，有界集，无界集。
2、多元函数：
（1）定义：
设n维空间内的点集D是R2的一个非空子集，称映
射f：
D→R为定义在D上的n元函数。
当n≥2时，称为多元函数。
记为U=f（x1，x2，，xn），（x1，x2，，xn）∈D。
3、二次函数的几何意义：
由点集D所形成的一张曲面。
如z=ax+by+c的图形
为一张平面，而z=x2+y2的图形是旋转抛物线。
4、极限：
（1）定义：
设二元函数f（p）=f（x,y）的定义域D,p0（x0,y0）是D的聚
点D,如果存在函数A对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点p（x,y）∈D∩∪（p0,δ）时,都有Ⅰf（p）-AⅠ=Ⅰf（x,y）-AⅠ﹤ε成立,那么就称常数A
为函数f（x,y）当（x,y）→（x0,y0）时的极限，记作
limf（x,y）A
（x,y）（x0,y0）
多元函数的连续性与不连续的定义
5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：
（1）在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；
（2）在有界区域
D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
6、偏导数：
设有二元函数z=f（x,y），点（x0,y0）是其定义域D内一点。
把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f（x,y）有增量（称为对x/y的偏增量）如果△z与△x/△y之比当△x→0/△y→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f（x,y）在（x0,y0）处对x/y的偏导数记作
fx（x0,y0）
lim
f（x0
x,y0）
f（x0,y0）
x0
fy（x0,y0）
f（x0,y0
y）
7、混合偏导数定理：
如果函数的两个二姐混合偏导数
fxy（x,y）
和fyx（x,y）在D
内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。
、方向导数：
f
其中,
为
l
的方向角。
8
9、全微分：
如果函数z=f（x,
在（x,
y）处的全增量△z=f（x
△x，y△y）-f（x,y）
可以表示为△z=A△x+B△y+o（ρ），其中A、B不依赖于△x,
△y，仅与x,y有关，
当Ρ→0，此时称函数z=f（x,y）
在点（x，y）处可微分，A△x+B△y称为函数
z=f（x,y）
在点（x,y）
处的全微分，记为
dz
zdx
zdy
（二）性质
1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
偏导数连续
函数可微
偏导数存在
充分条件
必要条件
4
定义
3
函数连续
微分法
1）定义：
2）复合函数求导：
链式法则
ux
若zf（u,v）,uu（x,y）,vv（x,y），则
zzuzvzzuzv
xuxvx，yuyvy
3）隐函数求导：
两边求偏导，然后解方程（组）
（三）应用
1、极值
1）无条件极值：
求函数zf（x,y）的极值
vy
fx
解方程组
fy
求出所有驻点，对于每一个驻点
（x0,y0），令
Afxx（x0,y0），B
fxy（x0,y0），Cfyy（x0,y0），
①若AC
B2
，A
0，函数有极小值，
若AC
0，A
0，函数有极大值；
②若AC
，函数没有极值；
③若AC
，不定。
2）条件极值：
求函数zf（x,y）在条件（x,y）
0下的极值
令：
L（x,y）
f（x,y）
（x,y）
———Lagrange函数
Lx
Ly
（x,y）0
2、几何应用
1）曲线的切线与法平面
曲线
:
y（t），则
上一点M（x0,y0,z0）（对应参数为t0）处的
z（t）
切线方程为：
x（t0）
y（t0）
z（t0）
法平面方程为：
x（t0）（x
x0）
y（t0）（y
y0）z（t0）（zz0）0
2）曲面的切平面与法线
曲面:
F（x,y,z）
，则
上一点M（x0,y0,z0）处的切平面方程为：
Fx（x0,y0,z0）（xx0）Fy（x0,y0,z0）（yy0）Fz（x0,y0,z0）（zz0）0
法线方程为：
Fx（x0,y0,z0）Fy（x0,y0,z0）Fz（x0,y0,z0）
第十章
重积分
（一）二重积分
1、定义：
f（x,y）d
limf（
D
k1
2、性质：
（6条）
3、几何意义：
曲顶柱体的体积。
4、计算：
1）直角坐标
（x,y）1（x）
2（x）
，
f（x,y）dxdy
dx
f（x,y）dy
1（x）
1（y）
2（y）
d2（y）
f（x,y）dxdydyf（x,y）dx
c1（y）
2）极坐标
D（,）
1（）
2（）
2（）
f（x,y）dxdydf（cos,sin）d
1（）
（二）三重积分
f（x,y,z）dv
limf（k,
k,k）vk
3、计算：
f（x,y,z）dv
dxdy
z2（x,y）
f（x,y,z）dz
z1（x,y）
-------------
“先一后二”
dz
f（x,y,z）dxdy
“先二后
DZ
一”
2）柱面坐标
f（x,y,z）dv
f（cos,sin
z）dddz
3）球面坐标
xrsincos
yrsinsin
zrcos
f（x,y,z）dvf（rsincos,rsinsin,rcos）r2sindrdd
曲面S:
z
f（x,y）,（x,y）D的面积：
A
1（
z）2
（
z）2dxdy
第十二章无穷级数
（一）常数项级数
1）无穷级数：
un
u1
u2
u3
部分和：
Sn
uk
un，
正项级数：
un，un
n1
交错级数：
1）nun，un0
2）级数收敛：
若limSn
S存在，则称级数
un收敛，否则称级数
un发散
3）绝对收敛：
收敛，则
绝对收敛；
条件收敛：
un收敛，而un发散，则un条件收敛。
n1n1n1
定理：
若级数un绝对收敛，则un必定收敛。
n1n1
1）级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性；
2）级数
an与
bn分别收敛于和s与σ，，则
（anbn）收敛且，其和为
s+σ
3）在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛；
4）级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。
5）必要条件：
级数
un收敛即limun0.
3、审敛法
un，un0
limSn
S存在；
un收敛
Sn有界；
）比较审敛法：
vn为正项级数，且u
v
（n1,2,3,）
若vn收敛，则un收敛；
若un发散，则vn发散.
n1n1n1n1
4）比较法的推论：
un，vn为正项级数，若存在正整数m，当nm时，
unkvn，而vn收敛，则un收敛；
若存在正整数m，当nm时，
kvn，而
vn发散，则
un发散.
做题步骤：
①找比较级数（等比数列，调和数列，
p级数1/np）；
②比较大小；
③是否收敛。
5）比较法的极限形式：
设
vn为正项级数，
（1）若limun
（0
），而
vn
un收敛；
（2）若limun
或limun
，而
6）比值法：
为正项级数，设
limun
l，则当l1时，级数
un收
敛；
则当l
1时，级数
un发散；
当l
可能收敛也可能发散.
7）根值法：
un为正项级数，设limnun
l，则当l
则当l1时，级数
un可能收敛也可能发散.
8）极限审敛法：
un为正项级数，若
limnun
0或limnun
，则级
数
若存在p
1，使得limnp
），则级数
un收敛.
莱布尼茨审敛法：
（1）n
升级会员 