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y21（ab0）的两焦点为R（c,0）,F2（c,0），椭圆上存在
b
uujuvuuuuv
点M使FMF2M
0.求椭圆离心率e的取值范围；
X
例4、已知双曲线巧
y21（a0,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
题型五：
点、直线与圆锥的位置关系判断
1、点与椭圆的位置关系
AB
y2
1k2a
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:
4、圆锥曲线的中点弦问题:
1韦达定理：
2、点差法：
（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简
（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系
例1、双曲线x2—4y2=4的弦AB—被点M（3,-1）平分,求直线AB的方程.
例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l:
x+y=1交于A,B两点，C是AB
LJ5
的中点，若|AB|=2,2,O为坐标原点，0C的斜率为——，求椭圆的方程。
题型六：
动点轨迹方程：
1、求轨迹方程的步骤：
建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
2、求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：
直接利用条件建立匸卩之间的关系J'
-;
例1、如已知动点P到定点F（1,0）和直线二：
-的距离之和等于4，求P的轨迹方程.
（2）待定系数法：
已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m0）,端点A、B到x轴距离之积为2m
以x轴为对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程
为
（3）定义法：
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的
轨迹方程；
例3、由动点P向圆'
一•作两条切线PAPB,切点分别为AB,ZAPB=6d,则动点P的轨迹方程为
例4、点M与点F（4,0）的距离比它到直线hx+5=0的距离小于1,则点M的轨迹方程是
例5、一动圆与两圆OM/亠戸i和on：
疋+丁'
-航mO都外切，则动圆圆心的轨迹为
⑷代入转移法：
动点J，l：
--"
：
依赖于另一动点一--■1'
■-的变化而变化，并且」'
■-1'
--又在某已知曲线上，则可先用兀少的代数式表示，再将A■:
-■■■：
代入已知曲线得要求的轨
迹方程：
例6、如动点P是抛物线】」■上任一点，定点为J-：
，点M分所成的比为2,
则M的轨迹方程为
（5）参数法：
当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考
虑将化匸均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
例7、过抛物线「i］的焦点F作直线■交抛物线于AB两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是
题型七：
（直线与圆锥曲线常规解题方法）
一、设直线与方程；
（提醒：
①设直线时分斜率存在与不存在；
②设为y=kx+b与x=my+n的区别）
二、设交点坐标；
（提醒:
之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”）
三、联立方程组；
四、消元韦达定理；
抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
五、根据条件重转化；
常有以下类型：
1“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：
需讨论K是否存在）
OAOB
K1?
K2
uuuruuur
OA?
OB0
x1x2y1y20
2“点在圆内、圆上、圆外问题”
向量的数量积大于、等于、小于0问题”
斜率关系（K1K20或K1K2）；
“直角、锐角、钝角问题”
x1x2y1y2>
0；
3“等角、角平分、角互补问题”
4“共线问题”
如：
AQQB数的角度：
坐标表示法；
形的角度：
距离转化法）
（如：
A、0、B三点共线直线0A与0B斜率相等）；
5“点、线对称问题”坐标与斜率关系；
6“弦长、面积问题”
转化为坐标与弦长公式问题（提醒：
注意两个面积公式的合理选择）
六、化简与计算；
七、细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；
②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.
基本解题思想：
1、“常规求值”问题：
需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：
当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：
⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；
⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：
⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求
出定点；
⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明
5、求最值问题时：
将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；
6、转化思想：
有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；
7、思路问题：
大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而
然产生思路。
典型例题：
例1、已知点F0,1，直线l:
y1,P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足
uuuuuruuuuuu为Q,且QPgQFFPgFQ.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D0,2,圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B
两点，设DAl1,DB12，求--的最大值.
l2|1
例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODLABQ为
线段OD的中点，已知|AB=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上
运动且保持|PA+|PB的值不变•
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程;
⑵过D点的直线I与曲线C相交于不同的两点MN,且M在DN之间，设與=入，
DN
求入的取值范围
b21（ab0）的左右焦点。
x例3、设F,、F2分别是椭圆C:
仓
（1）设椭圆C上点（「3,仝）到两点R、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐
标；
（2）设K是
（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点，当直线
PM，PN的斜率都存在，并记为kpM，kpN，试探究kpMKpn的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为
3，最小值为1.
（I）求椭圆C的标准方程；
（n）若直线l:
ykxm与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB
为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：
直线l过定点，并求出该定点的坐标.
例5、已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为2.2，离心率为——,P是椭圆在第-
ujurULJLD
象限弧上一点，且PF1PF21，过P作关于直线F1P对称的两条直线PAPB分别交椭圆
于A、B两点。
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值;
典型例题:
例1、
（1）«
>
设尸（砒）,则仑（m
・*・（O.y+l）C（—益2）=（u-1）4兀-2）.
即2（尸+1）=F-2（p-1）,3P=4y?
所以动点戸的轨迹亡的芳程H二3.
（2）ff：
设圆MEfl圆心坐标次I施仏b）,则二46*①
圆M的半径为=J/+3-卯.
园M的方程背©
-a）2+（y-二出*@_肓.
令；
7=0,=«
<
+（!
）-2）\
整理得.F-2符十4右-仁〔〕・②
由①、②解得，xa2.
不妨设Aa2,0,Ba2,0,
11l2ljl222a216
12
|i|i|2.：
'
a464
当且仅当a22时，等号成立.
当a0时，由③得，上d2.
l2l1
故当a22时，h匕的最大值为2门.
l2ll
例2、解：
（1）以AB0D所在直线分别为x轴、y轴，0为原点，建立平面直角坐标系,•••|PA+IPB=|QA+IQB=2__2亦>
|AB=4.
•••曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2.5,•a=.5,c=2,b=1.
•曲线C的方程为—+y2=1.
5
⑵设直线l的方程为y=kx+2,
代入L+y2=1,得（1+5k2）x2+20kx+15=0.
A=（20k）2-4X15（1+5k2）>
0,得k2>
3.由图可知DM乞=入
5DNx2
X1
由韦达定理得
当a0时，由③得,
11l2
12ll
22•
\22
）X2
400k2
（15k2）2
X2
15
15k2
20k
将X1=XX2代入得
两式相除得
（1
）2
4OOk2
8O
15（15k）
1
3（5门）
k2
3
15
2O刚
16
k
o
5
，即4
5’
k23
k25
S5）
DM小
4
o,
解得-
x-i
DM
-,M在DN中间，•••
入v1
又•.•当
k不存在时，显然
入=DM1
（此时直线
l与y轴重合）
DN3
综合得：
1/3w入v1.
例3、解：
（1）由于点（.3,-
在椭圆上,
（G）2
.32
（牙）
221得2a=4,…2分
b2
椭圆C的方程为xy
（2）设KF1的中点为B
，焦点坐标分别为（1,0）,（1,0）
（x,y）
则点
K（2x1,2y）
把K的坐标代入椭圆—
（2y）1
线段KF1的中点B的轨迹方程为
（x
i）2
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，
设M（x°
y°
）N（Xo,yo）,p（x,y）,
牙1
N关于坐标原点对称
M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程,
kPMKpn=ji
xxoxxo
y
x
yo
Xo
~2
y。
，~2
10分
13分
故：
kPMKpn的值与点P的位置无关，同时与直线
L无关,
14分
（5分）
例4、解：
（I）椭圆的标准方程为一
（n）设a（X1,y1）,B（x2,y2）,
ykxm,
联立x2y2得（34k2）x28mkx4（m23）0,
1.
43
x1x2
XigX2
64mk16（34k）（m3）
8mk
34k2，
4（m23）
34k2.
0,即34k2
0,则
又y〃2
（kx1m）（kx2m）kx1x2
mkgx2）
m2
3（m24k2）
2，
4k2
因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点
D（2,0）,
1,
kADkBD1，即
yiy2榔22（xiX2）40,
34k2
4（m2
3）
16mk
3~m?
4
9m216mk4k2
0.
解得：
2k,m22k,
且均满足
4k2m20,
7
1、当
2k时，
l的方程为
yk（x
2）,
直线过定点（2,0），与已知矛盾;
2、当
2k亠
时，
ykx
，直线过定点,0.
所以，
直线
l过定点，
定点坐标为
-,•
（14分）
例5、
（1）匕
x-1
2。
Fi（0,、、2）,F2（0,
2），设P（X0,y°
）（x。
0,
0）
unr
则PF1
（x°
八2
uum
y0）,PF2
x0,2
）.
uuruum22
PF1PF2x：
（2yo）
2x°
Q点P（x°
）在曲线上，则2
X0
42
从而于（2y2）1，得y0
则点p的坐标为（1八2）
则PB的直线方程为:
.2k（x1）
2得
（2）由
（1）知PFJ/X轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k（k0）,
y、.2k（x1）由x2
（2k2）x22k（、、2
k）xC、2k）240
设B（Xb，Yb），则Xb
2k（k.2）
2k2
k22.2k
k1
同理可得
Xa
Ya
Yb
k（xA
1）
k（x
所以:
ab
的斜率
kAB
解:
（1）
由23
1
|0F||
例6、
FP|sin
得tan
Xb
43t
4/31tan
（2）设P（Xo，yo）,则FP（Xo
uuu
of
Sofp
iOpi,X2
•••当且仅当
8k
2为定值
4.2k
得|OF||FP|
42,由cos
sin
OFFP
|0F||FP|
tsin
[0,
•夹角的取值范围是（一，一）
c,Yo）,OF
（c,0）.
uur
FP（xoc,y°
）（c,0）（xo
1LULT
|OF||y°
|2.3
c）c
4」3
c
t（.31）c2
xo■.3c
（3c）2（4c3）2
2.6
3c
4-2即c2时,|0P|取最小值26,此时，0P（2.3,2.3）c
3__
0M（23,23）（0,1）（2,3）
3——
或0M（23,23）（0,1）（2,1）
12分
椭圆长轴
2a.（22）2（30）2,（22）2（30）28a4,b212
或2a（22）2
（10）
（22）2
（10）21..17
1■1721.17
a,b
故所求椭圆方程为
xy
1.或
x2
y1……
14分
1612
9
17
1.17
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