Mathematica在大学物理中的应用.docx

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Mathematica在大学物理中的应用

1、绪论

本文主要是介绍Mathematica在大学物理方面的应用，主要的目的是让学生能够运用这个软件去解决大学学习中的一些复杂问题，在这方面国内外已经有很多学者把这个计算软件与各门学科联系起来，并且取得了不少的成就，它很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。

很多功能在相应领域内处于世界领先地位。

本人在学习这个软件是发现它的计算功能确实很强大，用来计算我们大学物理中遇到的一些难题时会让我们的解题变的很轻松。

所以我想能不能把物理学习和Mathaematica结合起来，这样能使我们在学习大学物理时省下更多的时间去思考而不是计算。

同时Mathematica有很多其他强大的功能，我们同学如果有什么自己的想法可以通过Mathematica来进行实验，验证我们的结论是否正确。

这是我的一点浅薄的想法。

本文主要采用了文献资料法和理论分析法，以及实验法。

以下是关于Mathematica的一些常用的用法。

1.1微分方程的解析解

Mathematica提供了一个求解微分方程的函数dsolve，方程求解可以通

过调用dsolve来实现，其调用格式：

Dsolve[f,y[x],x]，其中f为求解微分方程的表达式；x为初始条件（若省略则为求通解）；x为描述微分方程

的自变量；对于f的描述如：

Dy表示y'，D2y表示y"，依次类推；初始条

件的描述如：

y’[0]=1表示y'（0）=1

1.1.1：

求解微分方程的通解

例1：

用两种方式解非齐次一阶线性微分方程

例2：

解非齐次二阶线性常系数常微分方程

1.1.2：

求微分方程的特解

例1.求解二阶线性方程y”+4y=3x的处置条件y（0）=0和y’（0）=1的特解

例2.求解齐次微分方程y’=（-2x+y）/（x+2y）在定解条件y

（1）=1下的隐式特解

1.2利用Mathematica作图

1.2.1利用Mathematica作一维图像

绘制函数y=（e^x）*sin（20x）在区间【0，π】上的图形，函数y=tanx在区间【-2π，2π】的图形，函数y=sinx/x在区间【-2π，2π】的图形。

图1.1y=（e^x）*sin（20x）的图像

图1.2y=tanx的图像

图1.3y=sinx/x的图像

1.2.2利用Mathematica作二维图像

作函数z=1/（（x-1）^2+（y-2）^2）在区域[-1.5，2]x[-2,4]上的图形，规定z的范围在[0,1.5]中，且样本点增加到50点，添加上坐标轴的标签。

然后，改造这个图形，不画范围盒，改变视点位置，取消缺省的光线而代之以用与z坐标有关的色调来着色，孔洞不再覆盖平面，不画网格线盒坐标轴。

将这两个图形列阵显示，来观察他们间的差异。

图1.4曲面图形选用不同选项的差异

1.3Mathematica的动画效果

例：

用函数Animate作曲面动画，动画曲面是变化范围[0,π]是参数t的函数z=e^[-（x^2+y^2）/80]*sin（√x^2+y^2+t（π-t）在矩形区域[-3π,3π]x[-3π,3π]上的图形。

图1.5三维动态图像

2、运用Mathematic解决数学物理方法里的几个典型的方程

2.1三维波动方的求解

这个物理问题会在以后所要学习的电动力学以及量子力学上都会有具体的应用，这里我们通过运用Mathematica来解决这个问题，为后面学习打下基础。

同时使我们学生学会知识的结合应用。

-au=0（2-1）

令u（x,y,z,t）=T（t）v（x,y,z）,带人

（1）式分离变量得

T+aT=0（2-2）

v+kv=0（2-3）

我们运用Mathematica来解这种常微分方程比较容易。

我们令m=C[2],n=C[1];

由于上面方程中的a,k,C[2],C[1],的值都是待定的我们可以给他们赋值

K[-5,5];a[0,50];m[0,100];n[0,100]

图2.1三维波动方程时间函数的图像

2.2三维输运方程的解

物体内部的温度分部不均匀，热量就要从温度高的放向温度低的地方，这种现象叫做热传导。

这里我们考虑时间和空间的变化。

三维热传导方程分有热源和无热源的，这里我们主要讨论无热源的三维热传导方程

-a^2u=0（2-4）

我们分离时间与空间变量得到

T+kaT=0（2-5）

v+kv=0（2-6）

运用Mathematica对于上面方程中的时间变量进行求解，空间变量得求解我们放到后面一起求解。

K[0,5];a[0,5],M[0,10]

k=1;a=1;M=2;

图2.3三维热传导方程时间函数的图像

2.3亥姆霍兹在球坐标系下方程的解

这里我们把上面分离出来的空间变量也就是亥姆霍兹方程拿来分析一下，在平面坐标系下我们不易求的简易的解，故我们把平面坐标系转换成球坐标系下，得到下面的亥姆霍兹方程在球坐标系下的方程，

（2-7）

利用球坐标将方程分离变量得到v（r,,）=R（r）Y（,）,带入上式得到

（2-8）

以/RY乘遍上式并分离变量，得到两个方程，

（2-9）

（2-10）

将上式（10）中的Y分离变量得到Y（，）=（）（）

带入（10）式得到

=（2-11）

（2-12）

（2-13）

（2-14）

（2-15）

对于式14中的=,m=0,1,2,3

运用Mathematica进行运算

图2.3亥姆霍兹方程球坐标系下经度角函数的方程

=带入方程（14）

（2-16）

令,则

（2-17）

从而（16）式成为

（2-18）

即

（2-19）

此方程为阶缔合勒让德方程（也称斯-刘型）

如果函数是关于球坐标系的极轴对称，即与无关，这时

=0是特例，此时方程变为阶勒让德方程

（2-20）

我们对上面的方程进行求解

而对于方程（9）即为阶球贝塞尔方程，因为>0。

可把自变量函数变为y[x],x

x=kr,R（r）=

方程变为（2-21）

令A=C[1],B=C[2]

l[0.1,7];k[0.1,10];A[0.1,0.1];B[10,10]

A=0.1;B=10;l=5;k=5;

运用Mathematica进行作图

图2.4l阶球贝塞尔方程的图像

上面是对数理方法中的几个典型的问题运用Mathematica进行的求解，我们发现运用那个Mathematica进行求解比课本上的用达朗贝尔公式以及本征值等方法要简便，而且辅助以图形，使我们对其有了形象的认识。

不只是抽象的空想。

3、Mathematica在电动力学中的应用

3.1谐振腔

在高频电磁波的传播中，我们一般用谐振腔来产生一定频率的电磁振荡。

谐振腔是中空的金属腔，电磁波在腔内以某个特定的频率振荡。

若取x,y轴在切面上，z轴在法线面上，由于该处，因此方程

在靠近边界上为即：

在谐振腔内，取金属内壁表面分别为X=0和L1，y=0和L2，z=0和L3,电场和磁场任一直角分量都满足亥姆霍兹方程。

设为E或H的任一直角分量，有：

，令=（3-1）

则上式分解为

（3-2）

把上面的函数用Mathematica进行处理。

根据边界条件：

（3-3）

其中考虑到边界条件有：

其中

（m,n,p=0,1,2……）m,n,p分别为矩形三边所含的半波数目。

由于E=0，所以（3-4）

图3.1电磁波在谐振腔中传播的图像

3.2波导

波导适用于微波段得电磁波传播，当频率变高时，内导线的焦耳热会变大，这时我们需要用波导来代替同轴传输线，波导是一根空心的金属管，截面为矩形或圆形。

这里我们取内壁面为x=0和a，y=0和b；z轴沿传播方向，在一定频率下，

（3-5）

（3-6）

其方程与谐振腔相同

可得：

考虑边界条件有：

又因为所以（3-7）

图3.2电磁波在波导内传播的图像

4、结论

Mathematica系统是目前世界上应用最广泛的符号计算系统，能够完成符号和数值运算、数学图形绘制甚至动画制作等多种功能。

Mathematica被广泛地应用于数学、物理、化学、生物、航空航天等许多领域。

无论您属于什么领域，Mathematica都能与您的课程和研究结合。

无论计算、编程、学习、文档制作、或是开发，Mathematica都能给到最大的帮助。

本文主要讲述了在大学物理方面的一点应用，我们在大学物理的学习过程中会遇到各种不太了解的问题，仅凭自己主观的抽象思维有时不能把问题真正的搞懂，这时我们可以借助Mathematica这个计算工具是我们能够形象的理解一些物理现象。

大学中一些复杂的物理计算过程通过Mathematica来运算就会变得非常的简洁。

省下了很多的时间，让我们同学有更充分的时间在研究物理问题上，而不是单纯的解数学公式。

对于本科生进行探究性学习也很有好处，有些同学在自己学有余力的时候可以自己研究大学中的一些复杂的物理现象，借助Mathematica使我们本科生能够自己提高自己的专业水平，这是我的一点浅薄的认识。

致谢

毕业论文大体部分已经完成，现在回头看看，才知道当初的自己有多么狂妄。

论文认真写起来岂是一件容易的事情，可我第一次见李老师时就说要选计算物理方面的题目。

李老师不仅没有责怪我，反而很支持我的想法，还帮我借资料，从各个方面给我帮助。

我能按照自己的意愿将论文做到现在，这都有赖于老师宽广的胸怀和不拘一格思想，能选择李老师当我的指导老师是我的荣幸，在此感谢老师这一学期来对我的支持和照顾。

大学生活即将结束，这是我人生最美好的一段时光，我非常感谢学校能给我这样一个时间和空间。

最后，我要感谢我的“家人”，谢谢他们给我的人生带来莫大的安慰。

参考文献

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2002.12.P99

[2]桂子鹏．朱小平.方敏.MATHEMATICA实用手册．2002.10.P112

[3]周明儒．数学物理方法.高等教育出版社,2008.1.P153

[4]郭硕鸿.高等教育出版社.2008.6.P.129

[5]董键,,Mathematica与大学物理计算.清华大学出版社2010.2.P177

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