中考数学几何图形折叠试题典题Word下载.docx
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二、填空题
7.(成都市)如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在C′,D′的位置上,EC′交AD于点G.已知∠EFG=58°
,那么∠BEG °
.
8.(苏州市)如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°
,则∠A的大小等于____________度.
三、解答题
9.(荆门市)如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;
再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.
(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;
(3)在
(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?
若不存在,说明理由;
若存在,求出点Q的坐标.
10.(济宁市)如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.
(1)求证:
△PBE∽△QAB;
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗?
如果相似给出证明,如不相似请说明理由;
(3)如果沿直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上?
为什么?
11.(威海市)如图,四边形ABCD为一梯形纸片,AB∥CD,AD=BC.翻折纸片ABCD,使点A与点C重合,
折痕为EF.已知CE⊥AB.
EF∥BD;
(2)若AB=7,CD=3,求线段EF的长.
12.(烟台市)生活中,有人喜欢把传送的便条折成形状
,折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面):
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为26cm,宽为xcm,分别回答下列问题:
(1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P),试求x的取值范围.
(2)如果不但要折成图④的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点P的长度相等,即最终图形是轴对
称图形,试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示).
13.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF.
△ABE≌△AD′F;
(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?
证明你的结论.
14.(孝感市)在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是:
第一步:
对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);
第二步:
再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).
请解答以下问题:
(1)如图2,若延长MN交BC于P,△BMP是什么三角形?
请证明你的结论.
(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合
(1)中结论的三角形纸片BMP?
(3)设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM′为y=kx,当∠M′BC=60°
时,求k的值.此时,将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上(E、F分别为AB、CD中点)?
15.(邵阳市)如图①,△ABC中,∠ACB=90°
,将△ABC沿着一条直线折叠后,使点A与点C重合(图②).
(1)在图①中画出折痕所在的直线l.设直线l与AB,AC分别相交于点D,E,连结CD.(画图工具不限,
不要求写画法)
(2)请你找出完成问题
(1)后所得到的图形中的等腰三角形.(不要求证明)
16.(济宁市)如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.
如果相似给出证明,如补相似请说明理
由;
(3)如果直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上?
17.(临安市)如图,△OAB是边长为
的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在y轴正方向上,将△OAB折叠,使点A落在边OB上,记为A′,折痕为EF.
(1)当A′E//x轴时,求点A′和E的坐标;
(2)当A′E//x轴,且抛物线
经过点A′和E时,求抛物线与x轴的交点的坐标;
(3)当点A′在OB上运动,但不与点O、B重合时,能否使△A′EF成为直角三角形?
若能,请求出此时点A′的坐标;
若不能,请你说明理由.
18.(南宁市)如图,在锐角△ABC中,BC=9,AH⊥BC于点H,且AH=6,点D为AB边上的任意一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E.设△ADE的高AF为x(0<x<6),以DE为折线将△ADE翻折,所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y(点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上).
(1)分别求出当0<x≤3与3<x<6时,y与x的函数关系式;
(2)当x取何值时,y的值最大?
最大值是多少?
19.(宁夏回族自治区)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,连结AE.证明:
(1)BF=DF;
(2)AE∥BD.
参考答案
一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B
二、7.64 8.50°
三、9.解:
(1)由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠OPE+∠APB=90°
又∠APB+∠ABP=90°
,∴∠OPE=∠PBA.
∴Rt△POE∽Rt△BPA.
∴
.即
.∴
且当x=2时,y有最大值
(2)由已知,△PAB、△POE均为等腰直角三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3).……6分
设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c,则
∴
y=
(3)由
(2)知∠EPB=90°
,即点Q与点B重合时满足条件.
直线PB为y=x-1,与y轴交于点(0,-1).
将PB向上平移2个单位则过点E(0,1),
∴该直线为y=x+1.
由
得
∴Q(5,6).
故该抛物线上存在两点Q(4,3)、(5,6)满足条件.
10.证明:
(1)∵∠PBE+∠ABQ=180°
-90°
=90°
,∠PBE+∠PEB=90°
,
∴∠ABQ=∠PEB.
又∵∠BPE=∠AQB=90°
,∴△PBE~△QAB.
(2)∵△PBE~△QAB,∴
∵BQ=PB,∴
.
又∵∠ABE=∠BPE=90°
,∴△PBE~△BAE.
(3)点A能叠在直线EC上.由
(2)得,∠AEB=∠CEB,∴EC和折痕AE重合.
11.解:
(1)证明:
过C点作CH∥BD,交AB的延长线于点H;
连结AC,交EF于点K,则AK=CK.
∵AB∥CD,
∴BH=CD,BD=CH.
∵AD=BC,
∴AC=BD=CH.
∵CE⊥AB,
∴AE=EH.
∴EK是△AHC的中位线.
∴EK∥CH.
∴EF∥BD.
(2)解:
由
(1)得BH∥CD,EF∥BD,
∴∠AEF=∠ABD.
∵AB=7,CD=3,
∴AH=10.
∵AE=CE,AE=EH,
∴AE=CE=EH=5.
∴CH=5
=BD.
∵∠EAF=∠BAD,∠AEF=∠ABD,
∴△AFE∽△ADB.
12.解:
(1)由折纸过程知0<5x<26,,0<x<
(2)图④为轴对称图形,∴AM=
.即点M与点A的距离是(13-
x)cm.
13.证明:
⑴由折叠可知:
∠D=∠D′,CD=AD′,∠C=∠D′AE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,AB=CD,∠C=∠BAD.
∴∠B=∠D′,AB=AD′,
∠D′AE=∠BAD,即∠1+∠2=∠2+∠3.
∴∠1=∠3.
∴△ABE≌△AD′F.
⑵四边形AECF是菱形.
由折叠可知AE=EC,∠4=∠5.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
∴∠5=∠6.∴∠4=∠6.∴AF=AE.
∵AE=EC,∴AF=EC.
又∵AF∥EC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AF=AE,
∴四边形AECF是菱形.
14.解:
(1)△BMP是等边三角形.
证明:
连结AN.
∵EF垂直平分AB,∴AN=BN.
由折叠知AB=BN,
∴AN=AB=BN,∴△ABN为等边三角形.
∴∠ABN=60°
.∴∠PBN=30°
.
又∵∠ABM=∠NBM=30°
,∠BNM=∠A=90°
∴∠BPN=60°
∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°
∴∠BMP=60°
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°
∴△BMP为等边三角形.
(2)要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP,则BC≥BP.
在Rt△BNP中,BN=BA=a,∠PBN=30°
∴BP=
.∴b≥
.∴a≤
b.
∴当a≤
b时,在矩形上能剪出这样的等边△BMP.
(3)∵∠M′BC=60°
,∴∠ABM′=90°
-60°
=30°
在Rt△ABM′中,tan∠ABM′=
.∴tan30°
=
.∴AM′=
∴M′(
,2).代入y=kx中,得k=
设△ABM′沿BM′折叠后,点A落在矩形ABCD内的点为A′.
过A′作AH⊥BC交BC于H.
∵△A′BM′≌△ABM′,∴∠A′BM′=∠ABM′=30°
A′B=AB=2.
∴∠A′BH=∠M′BH-∠A′BM′=30°
在Rt△A′BH中,A′H=
A′B=1,BH=
∴A'
落在EF上.
(图2)
(图3)
15.解:
(1)如图.
(2)等腰三角形DAC.
16.
(1)证明:
∵∠PBE+∠ABQ=180°
-90°
又∵∠BPE=∠AQB,
∴△PBE∽△QAB.
(2)∵△PBE∽△QAB,
(3)点A能折叠在直线EC上.
由
(2)得,∠AEB=∠CEB,∴EC和折痕AE重合.
17.解:
(1)由已知可得∠A'
OE=60o,A'
E=AE.
由A′E//x轴,得△OA'
E是直角三角形.
设A′的坐标为(0,b),则
AE=A'
E=
b,OE=2b.
∵
b+2b=2+
∴b=1.∴A'
、E的坐标分别是(0,1)与(
,1).
(2)因为A'
、E在抛物线上,所以
所以
函数关系式为y=
=0得
与x轴的两个交点坐标分别是(-
,0)与(
,0).
(3)不可能使△A'
EF成为直角三角形.
∵∠FA'
E=∠FAE=60o,若△A'
EF成为直角三角形,只能是∠A'
EF=90o或∠A'
FE=90o.
若∠A'
EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o,A'
、E、A三点共线,O与A重合,与已知矛盾.
同理若∠A'
FE=90o也不可能.
所以不能使△A′EF成为直角三角形.
18.解:
(1)①当0<x≤3时,由折叠得到的△A'
ED落在△ABC内部如图10
(1),重叠部分为△A'
ED.
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC.
.∴
,即
又∵FA'
=FA=x,
∴y=
DE·
A'
F=
·
x·
x.
(0<x≤3).
②当3<x<6时,由折叠得到的△A'
ED有一部分落在△ABC外,如图10
(2),重叠部分为梯形EDPQ.
∵FH=6-AF=6-x,
A'
H=A'
F-FH=x-(6-x)=2x-6,
又∵DE∥PQ,
∴△A'
PQ∽△A'
DE.
(2)当0<x≤3时,y的最大值
;
当3<x<6时,由
可知当x=4时,y的最大值y2=9.
∵y1<y2,∴当x=4时,y有最大值y最大=9.
19.证明:
(1)能正确说明∠ADB=∠EBD(或△ABF≌△EDF),
∴BF=DF.
(2)能得出∠AEB=∠DBE(或∠EAD=∠BDA),
∴AE∥BD.