导数及其运用.docx

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导数及其运用

导数及其应用

一、相关概念

1．导数的概念

函数y=f（x）,如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。

如果当时，有极限，我们就说函数y=f（x）在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。

即f（x）==。

①求函数的增量=f（x+）－f（x）；

②求平均变化率=；

③取极限，得导数f’（x）=。

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。

相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

3.导数的物理意义

如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。

二．求导数的方法

1几个常用函数的导数

1．若，则________；2．若，则________；

3．若，则________；4．若，则________。

2基本初等函数的导数

1．若，则________；2．若（），则________；

3．若，则________；4．若，则________;

5．若，则________（）；6．若，则________

7．若，则________（且）；8．若，则__

3.导数的四则运算

＝＝

＝，＝

4.复合函数的导数

设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导，且＝，即

三，导数的应用

1.函数的单调性

⑴求函数的单调区间的一般步骤：

①求出的导数；

②求出方程的根；

③（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.

特别提醒：

首先注意定义域,其次区间不能用“或”（U）连接.

⑵已知函数的单调性，求参数取值范围

求使函数（解析式中含有参数）为增函数（或减函数）的参数的取值范围：

①先求使（或）成立的参数的取值范围；②把参数取值范围的端点值代回函数解析式检验；③综合①，②得参数的取值范围.增函数恒成立；减函数恒成立.边界代入检验!

2.函数的极值

求函数极值的步骤：

（最好通过列表法）

①求导数；②解方程的根；③检查在方程的根左、右两侧的符号，判断极值.“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值.

特别提醒：

若x0点是y=f（x）的极值点，则f′（x0）=0,反之不一定成立；如函数f（x）=|x|在x=0时没有导数，但是，在x=0处，函数f（x）=|x|有极小值. 

3.函数最值⑴定义：

函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。

⑵求函数在[]上的最值的步骤：

①求函数在（）内的极值；

②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

四，考点

例1，变化率

已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△,1+△）,则等于（）A．4B．C．D．

例2导数的定义，

已知某运动物体的位移y（米）与其运动时间t（秒）的函数关系为y=t³+t

（1）求y=f（t）,利用导数定义求f´（t）

（2）求物体在t=2秒时的瞬时速度。

例3.导数的计数

1.

（1）

（2）

（3）（4）

（5）

2.设f（x）=则f′

（1）=（）

3.（2009宁夏银川）已知函数y=f（x）的图像在点（1.f

（1））处的切线方程是想x-2y+1=0,则f

（1）+2f´

（1）的值_______

4.（2008山东）若函数f（x）=1/3·x³-f´（-1）·x²+x+5,则f´´

（1）=_______

例4.几何意义

1已知曲线，则过点的曲线的切线方程.

2.函数的图像在点M处的切线方程是,=.

3.（全国卷）设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则_____

4.已知函数在处的切线为，求函数的解析式．

5.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为______

例5单调性问题

1.设f（x）=x2（2-x）,则f（x）的单调增区间是（）

A.（0,B.（+∞）C.（-∞,0）D.（-∞,0）∪（,+∞）

2.（2008全国Ⅰ卷文、理）已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

3.已知函数在点处有极小值-1,试确定,的值,并求出的单调区间

例6.极值点和极值

1.（2011安徽）设f（x）=eª/（1+ax²）,其中a为正实数，当a=4/3时，求f（x）的极值点和极值。

2.设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R）,其中a∈R.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（2）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值.

3.已知在点处有极值且和曲线在交点处有公切线.

（1）求的值；

（2）求在上的极大值和极小值.

例7最值

1.已知函数.

（1）求函数在上的最大值和最小值.

2.函数f（x）＝x＋2cosx在区间上的最大值为______；在区间[0，2π]上最大值为________．

3.已知函数f（x）=ax³+x²+bx（其中常数abc为R），g（x）=f（x）+f´（x）是奇函数。

（1）求f（x）的解析式；

（2）讨论g（x）的单调性，求g（x）在[1,2]上的最值.

4.函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.

5.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c,曲线y=f（x）在点x=1处的切线为l:

3x-y+1=0，若x=时，y=f（x）有极值.

（1）求a,b,c的值；

（2）求y=f（x）在［-3，1］上的最大值和最小值

例8.综合运用

.

（2009江西17）设函数f（x）=x³9/2·x²+6xa

（1）对于任意实数x，f´（x）>=m恒成立，求m的最大值；

（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围；

例9．实际运用

1.（2007重庆文）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽

之比为2：

1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？

最大体积是多少？

2.（湖南文）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：

且生产x吨的成本为（元）。

问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？

最大利润是多少？

（利润=收入成本）

.

练习

1.（全国卷Ⅰ文）函数,已知在时取得极值,则=（）

（A）2（B）3（C）4（D）5

2．（海南、宁夏文）设，若，则（）

A.B.C.D.

3．（广东）函数是减函数的区间为（）

A．B．C．D．（0，2）

4.（安徽文）设函数则（）

A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数

5．（福建文、理）已知对任意实数x有f（－x）=－f（x），g（-x）=g（x），且x>0时，f’（x）>0，g’（x）>0，

则x<0时（）

Af’（x）>0，g’（x）>0Bf’（x）>0，g’（x）<0

Cf’（x）<0，g’（x）>0Df’（x）<0，g’（x）<0

2.（2009宁夏银川）若函数f´（x）=x²4x+3,则函数f（x+1）单调递减区间_______

A.（0,2）B.（1,3）C.（4,2）D.（3,1）

7．（浙江文）在区间上的最大值是（）

（A）-2（B）0（C）2（D）4

8．（湖南文科）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f/（x）的图象是（）

9．（全国卷Ⅱ理科）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（）

（A）（，）　（B）（，2）　（C）（，）　（D）（2，3）

10.（浙江理科）设是函数f（x）的导函数，y=的图象如图所示，则y=f（x）的

图象最有可能的是（）

二、填空题：

（每小题5分,计20分）

11.（浙江文）曲线在点（1，一3）处的切线方程是________________.

12.（重庆文科）曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线所围成的三角形的

面积为.

13．（江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，

则_____________;

14.（2008北京文）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC,其中A,B,C

的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））=____;

函数f（x）在x=1处的导数f′

（1）=______

16.（2007宁夏）曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_______

17.（2009宁夏）曲线y=xeª+2x+1在点（0，1）处的切线方程为________

18.（2008湖北）若f（x）=上是减函数，则b的取值范围是____

19.（2010全国ⅡT7）若曲线在点处的切线方程是,则

a=_____b=_____

20.（全国Ⅱ文）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_____

21.（全国Ⅰ）曲线在点处的切线的倾斜角为______

三、解答题：

22.偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.

23.（北京理科、文科）已知函数f（x）=－x3＋3x2＋9x＋a.

（I）求f（x）的单调递减区间；

（）若f（x）在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

24.（安徽文）设函数，已知是奇函数。

（Ⅰ）求、的值。

（Ⅱ）求的单调区间与极值。

25.（福建文科）已知函数的图象过点P（0，2），且

在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.

（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.

26.（2010湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C（单位：

万元）与隔热层厚度x（单位：

cm）满足关系：

C（x）=（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式；

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值

27．（2008全国Ⅱ卷文）设，函数．

（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；

（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．

28.（2008湖北文）已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.

（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.

29．（2007海南、宁夏文）设函数

（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．

30.（2009陕西20）已知函数f（x）=x³3ax1,a不等于0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在x=1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图像有三个不同的交点，求m的取值范围。

31.已知函数在与时都取得极值.

（1）求的