1、导数及其运用导数及其应用一、相关概念1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f(x)或y|。即f(x)=。求函数的增量=f(x+)f(x);求平均变化率=;取极限,得导数f(x)=。2导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率是f(x)。相应地,切线方程为
2、yy=f/(x)(xx)。3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v=(t)。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v(t)。二求导数的方法1 几个常用函数的导数1若,则_; 2若,则_;3若,则_; 4若,则_。2 基本初等函数的导数1若,则_; 2若(),则_;3若,则_; 4若,则_;5若,则_ (); 6若,则_7若,则_ (且);8若,则_3. 导数的四则运算 ,4. 复合函数的导数设在点x处可导,在点处可导,则复合函数在点x处可导, 且,即三,导数的应用1.函数的单调性求函数的单调区间的一般步骤:求
3、出的导数;求出方程的根;(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;(x)=m恒成立,求 m的最大值;(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围;例9实际运用1.(2007重庆文)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?2.(湖南文)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为:,且生产x吨的成本为(元)。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入成本).练习1.(全国卷文)函数,已知在时取得极值,则=(
4、) (A)2 (B)3 (C)4 (D)52(海南、宁夏文)设,若,则( )A. B. C. D. 3(广东)函数是减函数的区间为( ) A B C D(0,2)4.(安徽文)设函数则( )A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数5(福建文、理)已知对任意实数x有f(x)=f(x),g(-x)=g(x),且x0时,f(x)0,g(x)0,则x0,g(x)0 B f(x)0,g(x)0C f(x)0 D f(x)0,g(x)0)有极大值9. ()求m的值; ()若斜率为-5的直线是曲线的切线,求此直线方程.29(2007海南、宁夏文)设函数()讨论的单调性; ()求在区间的最大值和最小值30.(2009陕西20)已知函数f(x)=x3ax1,a不等于0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围。31.已知函数在与时都取得极值.(1)求的