广东高考数学理科试题及详解.doc
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2013广东高考数学（理科）试题及详解
参考公式:
台体的体积公式,其中分别是台体的上、下底面积,表示台体的高.
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合,,则（）
A. B． C． D．
【解析】D；易得,,所以,故选D．
2．定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是（）
A. B． C． D．
【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,故选C．
3．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是（）
A. B． C． D．
【解析】C；对应的点的坐标是,故选C．
4．已知离散型随机变量的分布列为
正视图
俯视图
侧视图
第5题图
则的数学期望（）
A. B． C． D．
【解析】A；,故选A．
5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）
A. B．
C． D．
【解析】B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为
和的正方形,高为,故,,故选B．
6．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）
A.若,,,则 B．若,,,则
C．若,,,则 D．若,,,则
【解析】D；ABC是典型错误命题,选D．
7．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是（）
A. B．C． D．
【解析】B；依题意,,所以,从而,,故选B．
8．设整数,集合.令集合
若和都在中,则下列选项正确的是（）
A., B．,
C．, D．,
【解析】B；特殊值法,不妨令,,则,,故选B．
如果利用直接法:
因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：
第一种：
①⑤成立，此时，于是，；第二种：
①⑥成立，此时，于是，；第三种：
②④成立，此时，于是，；第四种：
③④成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.
二、填空题：
本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分
是
否
输入
输出
结束
开始
第11题图
n
（一）必做题（9～13题）
9．不等式的解集为___________．
【解析】；易得不等式的解集为.
10．若曲线在点处的切线平行于轴,则______.
【解析】；求导得,依题意,所以.
11．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为______.
【解析】；第一次循环后:
；第二次循环后:
；
第三次循环后:
；第四次循环后:
；故输出.
12.在等差数列中,已知,则_____.
【解析】；依题意,所以.
或:
x
y
4
4
1
O
13.给定区域:
令点集
是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______
条不同的直线.
【解析】；画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14.（坐标系与参数方程选讲选做题）已知曲线的参数方程为（为参数）,在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.
.
A
E
D
C
B
O
第15题图
【解析】；曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.
15.（几何证明选讲选做题）如图,是圆的直径,点在圆上,
延长到使,过作圆的切线交于.若
,则_________.
【解析】；依题意易知,所以,又
所以,从而.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知函数,.
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若,,求．
【解析】（Ⅰ）；
（Ⅱ）
因为,,所以,
所以,
所以.
17．（本小题满分12分）
第17题图
某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
（Ⅰ）根据茎叶图计算样本均值；
（Ⅱ）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.
根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；
（Ⅲ）从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀
工人的概率.
【解析】（Ⅰ）样本均值为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.
（Ⅲ）设事件:
从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则.
18．（本小题满分14分）
如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,
.
C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E
图1
图2
为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.
C
D
O
B
E
H
（Ⅰ）证明:
平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
【解析】（Ⅰ）在图1中,易得
连结,在中,由余弦定理可得
由翻折不变性可知,
所以,所以,
理可证,又,所以平面.
（Ⅱ）传统法:
过作交的延长线于,连结,
因为平面,所以,
所以为二面角的平面角.
结合图1可知,为中点,故,从而
C
D
O
x
E
向量法图
y
z
B
所以,所以二面角的平面角的余弦值为.
向量法:
以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则,,
所以,
设为平面的法向量,则
即,解得,令,得
由（Ⅰ）知,为平面的一个法向量,
所以,即二面角的平面角的余弦值为.
19．（本小题满分14分）
设数列的前项和为.已知,,.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明:
对一切正整数,有.
【解析】（Ⅰ）依题意,,又,所以；
（Ⅱ）当时,,
两式相减得
整理得,即,又
故数列是首项为,公差为的等差数列,
所以,所以.
（Ⅲ）当时,；当时,；
当时,,此时
综上,对一切正整数,有.
20．（本小题满分14分）
已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:
的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当点为直线上的定点时,求直线的方程；
（Ⅲ）当点在直线上移动时,求的最小值.
【解析】（Ⅰ）依题意,设抛物线的方程为,由结合,
解得.
所以抛物线的方程为.
（Ⅱ）抛物线的方程为,即,求导得
设,（其中）,则切线的斜率分别为,,
所以切线的方程为,即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,
所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
（Ⅲ）由抛物线定义可知,,
所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,
所以
又点在直线上,所以,
所以
所以当时,取得最小值,且最小值为.
21．（本小题满分14分）
设函数（其中）.
（Ⅰ）当时,求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时,求函数在上的最大值.
【解析】（Ⅰ）当时,
令,得,
当变化时,的变化如下表:
极大值
极小值
右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.
（Ⅱ）,
令,得,,
令,则,所以在上递增,
所以,从而,所以
所以当时,；当时,；
所以
令,则,
令,则
所以在上递减,而
所以存在使得,且当时,,
当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
因为,,
所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.
综上,函数在上的最大值.
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