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数学家与素数

【摘要】

素数是研究得最为古老的话题，也是知道得最少的数学概念。

很多关于他的性质我们都没办法认识，包括费马素数，哥德巴赫猜想这一类。

不过你我凡人无须因此拒绝他，我们依然可以欣赏她的美丽，哪怕仅仅只能欣赏。

现在，让我们开始美丽的素数探究之路吧

【关键字】

数学家素数

【正文部分】

一、了解素数

1、素数的概念

质数又称素数。

指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。

换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。

比1大但不是素数的数称为合数。

1和0既非素数也非合数。

素数在数论中有着很重要的地位。

2、素数的判别

只能被1和它本身整除。

或不能被小于它的平方根的所有质数整除就是质数。

检查一个正整数N是否为素数，最简单的方法就是试除法，将该数N用小于等于的所有大于2整数去试除，若均无法整除，则N为素数，否则，若2-之间的数有一个能除尽,那么N就不是素数。

还有一种方法—筛选法。

这种方法可以找出一定范围内的所有的素数。

思路是，要求10000以内的所有素数，把1-10000这些数都列出来，1不是素数，划掉；2是素数，所有2的倍数都不是素数，划掉；取出下一个幸存的数，划掉它的所有倍数；直到所有幸存的数的倍数都被坏掉为止。

例如，要找出10000以为的所有的素数，则需要一个大小为10000的数组,将其所有元素设置为未标记，首先把1设置为标记，从2开始，标记所有是它倍数的数，然后对下一个没有标记的数进行标记它的倍数。

当标记完成后，所有未标记的数即为素数。

3、素数的数目

素数是否是无穷的呢？

答案是肯定的，最经典的证明由欧几里得证明在他的几何学原本中就有记载，虽然过去了2000多年但是至今仍然闪烁着智慧的光辉！

素数有无穷多个。

現在已知最早的证明方法是欧几里得在他的《几何原本》中提出的，该证明方法如下：

假设只有有限个素数。

令。

那么，N+1是素数或者不是素数。

如果N+1为素数，則N+1要大于，所以它不在那些假設的素数集合中。

如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为若干个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被整除，所以該合数分解得到的素因数肯定不在假設的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味著在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。

对任何有限各素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。

所以原先的假設不成立。

也就是说，素数有无穷多个。

4、关素数的定理

（1）算术基本定理

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：

每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

例如:

，。

算术基本定理的内容由两部分构成：

即解的存在性和分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。

准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：

若质数p|ab，则不是p|a，就是p|b。

然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

（2）素数定理

定理描述素数的大致分布情况。

素数的出现规律一直困惑著数学家。

一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。

可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。

对正实数x，定义π（x）为不大于x的素数个数。

数学家找到了一些函数来估计π（x）的增长。

以下是第一个这样的估计。

π（x）≈x/lnx其中lnx为x的自然对数。

上式的意思是当x趋近+∞，π（x）和x/lnx的比趋近1（注：

该结果为高斯所发现）。

但这不表示它们的数值随着x增大而接近。

二、数学家与素数

1、外国数学家与素数

（1）梅森与梅森素数

　　你或许知道哥德巴赫猜想代表了一个国家的数学水平，但你是否也知道，梅森素数的研究成果，一定程度上反映了一国的科技水平？

一个由多国科学家组成的评审委员会日前遴选出100位在世界科学史上有重要地位的科学家。

你或许知道入选者中大名鼎鼎的亚里士多德、阿基米德、哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿、达尔文、爱因斯坦等，但你是否知道马林·梅森呢？

梅森何许人也？

梅森是17世纪欧洲科学界一位独特的中心人物。

　　1588年他出生在法国奥译的一个工人家庭，16岁进入耶稣会办的学校学习，1609年从索邦神学院毕业后任神职人员，1619年到巴黎的拉农西亚德女修道院教授神学和哲学。

　　虽然梅森是一位神职人员，但他却是科学的热心拥护者和守望者，在教会中为了保卫科学事业做了很多有益的工作。

梅森有很高的科学素养，其研究涉及声学、光学、力学、航海学和数学等多个学科，并有“声学之父”的美称；而他对科学所作的主要贡献还是他起了一个极不平常的学术思想通道作用。

　　17世纪30年代以前，学术刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，学识渊博、交往广泛和热情诚挚的梅森成了欧洲科学家之间的联系桥梁。

许多科学家都乐于将成果告诉他，然后再由他转告给更多的人；因此，他被人们誉为“有定期学术刊物之前的科学信息交换站”。

美国著名天体物理学家、邓普顿奖得主斯坦利·杰基认为，梅森是17世纪早期学术成果优劣的最佳鉴定者。

　　梅森的寓所是大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、开普勒、罗伯瓦、迈多治、托里切利、伽桑狄等常去之处，每周一次轮流地讨论数学、物理等问题，这种民间学术组织被称为“梅森学院”，它就是世界闻名的法兰西学院的前身。

　　梅森的学术成就以素数研究最为著名。

其中梅森素数被誉之为“数海明珠”。

　　素数是整个数学学科的基石。

公元前300多年，古希腊数学家欧几里得用反证法证明了素数有无穷多个，并提出了少量素数可写成2p−1（其中指数P为素数）的形式。

此后许多数学家，包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、高斯、欧拉等都研究过这种特殊形式的素数，而梅森是其中成果最为卓著的一位。

由于梅森德高望重，并是法兰西学院的奠基人，为纪念他，数学界就把M（n）=2p−1型的数称为“梅森数”；如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”。

2300多年来，人类仅发现47个梅森素数。

由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。

梅森素数一直是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。

　　梅森素数貌似简单，但研究难度却极大；它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。

1772年，被誉为“数学英雄”的欧拉在双目失明的情况下，以惊人的毅力和高超的技巧靠心算证明了231－1是第8个梅森素数，该素数有10位（即2147483647），堪称当时世界上已知的最大素数。

最近十几年，由于因特网和计算机技术的迅速发展，使梅森素数的探究取得了重大进展。

人们通过一个名为“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目找到了13个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。

目前，世界上已有170多个国家和地区近18万人参加了GIMPS项目，并动用37万多台计算机联网来进行网格计算以寻找新的梅森素数。

目前最大的已知素数是梅森素数243112609−1（此数字位长度是12978189），它是在2008年8月23日由GIMPS（搜索梅森素数的分布式网络计算）发现。

该组织也在2008年9月6日发现了目前所知第二大的已知素数237156667−1（此数字位长度是11185272）。

　　特别值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中于1992年首次给出了梅森素数分布的准确表达式,为人们探究梅森素数提供了方便。

后来这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。

　　梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。

它是发现已知最大素数的最有效途径；它的探究推动了数学皇后———数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术、网格技术和密码技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。

在当代梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：

它的研究成果，一定程度上反映了一国的科技水平。

英国顶尖科学家、牛津大学教授马科斯·索托伊甚至认为它是人类智力发展在数学上的一种标志,也是科学发展的里程碑之一。

（2）费马与费马数

费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式：

F（n）=2^（2^n）+1其中n为非负整数。

被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。

他发现，设F（n）=2^（2^n）+1其中n为非负整数，则当n分别等于0、1、2、3、4时，F（n）分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F（5）太大（F（5）=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：

对于一切自然数，F（n）都是质数,这便是费马数。

但是，就是在F（5）上出了问题！

费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：

　　F（5）=4294967297=641×6700417，它并非质数，而是一个合数!

更加有趣的是，以后的F（n）值，数学家再也没有找到哪个F（n）值是质数，全部都是合数。

目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。

现在数学家们取得F（n）的最大值为：

n=1495。

这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。

质数和费马开了个大玩笑！

这又是一个合情推理失败的案例！

（3）哥德巴赫与素数

哥德巴赫（C.Goldbach）并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。

他于1690年生于德国哥尼斯堡，受过很好的教育。

哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通讯。

1742年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想，成为关于数学的一场革命。

1729年—1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。

在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下的猜想:

（a）任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

（b）任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是所谓的哥德巴赫猜想。

　　哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。

18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。

1937年苏联数学家维诺格拉多夫（и．M．Bиногралов,1891-1983），用他创造的"三角和"方法，证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"。

不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。

考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。

把命题"任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"（即"任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过1个的数与另一个素因子不超过1个的数之和"）成立。

1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。

　　关于偶数可表示为a个质数的乘积与b个质数的乘积之和（简称“a+b”问题）进展如下:

　　1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。

　　1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。

　　1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。

　　1937年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。

　　1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。

　　1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。

　　1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一很大的自