人教版数学八年级上册112《三角形的内角2》名师教案.docx

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人教版数学八年级上册112《三角形的内角2》名师教案

第十一章三角形

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角第二课时（袁梅）

一、教学目标

（一）学习目标

1.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余.

2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.

3.掌握与三角形内角有关的计算和证明.

（二）学习重点

掌握直角三角形的性质与判定以及综合运用.

（三）学习难点

与三角形内角有关的计算与证明的说理.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

直角三角形的性质：

直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形的判定：

有两个角互余的三角形是直角三角形.

2.预习自测

（1）在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=40o，则∠B=_______.

【知识点】直角三角形的性质

【思路点拨】直角三角形的两个锐角互余，知道其中一个锐角，即可求出另一个锐角的度数．

【解题过程】解：

在Rt△ABC中，∠C=90o，∠B=90o−∠A=50o.

【答案】50o

（2）在Rt△ABC中，∠C=90o，且∠A=2∠B，则∠A=_______，∠B=_______.

【知识点】直角三角形的性质

【思路点拨】直角三角形的两个锐角互余,∠A+∠B=90o，已知∠A=2∠B，即可得3∠B=90o，求出∠B，再求∠A．

【解题过程】解：

在Rt△ABC中，∠C=90o，则∠A+∠B=90o，∵∠A=2∠B，∴3∠B=90o，∴∠B=30o，∴∠A=60o．

【答案】60o，30o

（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，则与∠1互余的角有_______.

【知识点】直角三角形的性质

【思路点拨】此题关键是在图中准确找出直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余进行判断．

【解题过程】解：

Rt△ADC中，∠A+∠1=90o，∵∠ACB=90o.∴∠1+∠BCD=90o.∴与∠1互余的角有∠A、∠BCD.

【答案】∠A、∠BCD

（4）在△ABC中，∠C=2∠A=2∠B，则△ABC是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【知识点】直角三角形的判定

【思路点拨】根据三角形的内角和，利用方程求出各内角的度数确定三角形．

【解题过程】解：

设∠A=∠B=x，则∠C=2x，由三角形的内角和可得x+x+2x=180o，解得

x=45o，∴∠C=90o，故三角形是直角三角形，选B.

【答案】B

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）三角形的内角和为.

符号语言：

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=.

（2）如何判断一个三角形是直角三角形？

2.问题探究

探究一直角三角形的性质

活动①回顾旧知三角形中已知两个角求第三个角

问题1在△ABC中，∠C=90o，∠A=35o，则∠B的度数是多少？

生回答：

∠B=180o−∠C−∠A=180o−90o−35o=55o.

问题2在三角形中，若已知两个角的度数可以利用三角形的内角和为180o，求出第三个角的度数.如果两个角中有一个角为直角，有没有更直接的方法求出第三个角的度数呢？

【设计意图】通过对旧知识的复习，回顾运用三角形的内角和求角的度数的方法，为探索直角三角形的两个锐角互余作铺垫.

活动②整合旧知探究直角三角形的性质

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90o，试说明∠A+∠B=90o.

.

解：

由三角形的内角和为180o，得∠A+∠B+∠C=180o，

即∠A+∠B+90o=180o，所以∠A+∠B=90o

结论：

直角三角形的两个锐角互余.

符号语言：

在Rt△ABC中，∠C=90o，∴∠A+∠B=90o.

【设计意图】在直角三角形中，已知一个锐角的度数能快速求出另一个角的度数对学生而言较容易，可利用本环节进一步培养学生的推理能力.

探究二直角三角形的判定

问题我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？

请你说说理由.

答：

由三角形的内角和为180o，可知当有两个角互余时可求第三个角为90o，所以此三角形是直角三角形.

结论：

有两个角互余的三角形是直角三角形.

【设计意图】在完成探究一后，可将直角三角形的性质的题设和结论调换，得到新命题，并证明该命题是真命题，从而得到直角三角形的判定定理.既可复习命题的旧知，又可继续培养学生的推理能力.

探究三综合运用

活动①直角三角形性质的运用

例1如图，∠D=∠C=90o，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？

为什么？

【知识点】直角三角形的性质

【解题过程】解：

在Rt△ACE中，∠C=90o，

∠CAE=90o−∠AEC

在Rt△DBE中，∠D=90o，

∠DBE=90o−∠DEB

∵∠AEC=∠DEB

∴∠CAE=∠DBE.

【思路点拨】根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等解决问题．

【答案】∠CAE=∠DBE.

练习：

如图，∠ACB=90o，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？

为什么？

【知识点】直角三角形的性质

【解题过程】∵CD⊥AB，所以∠CDB=90o，∴∠BCD+∠B=90o，∵∠ACB=90o.∴∠ACD+∠BCD=90o，∴∠ACD=∠B

【思路点拨】根据直角三角形的两锐角互余和同角的余角相等解决问题．

【答案】∠ACD=∠B

活动②直角三角形的判定

例2如图，直线EF分别交AB、CD于点E、F，AB∥CD，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：

△EFP是直角三角形.

【知识点】直角三角形的判定

【解题过程】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180o，又∵∠BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠EFD，∴∠PEF+∠PFE=∠BEF+∠EFD=（∠EFD+∠EFD）=×180o=90o，∴△EFP是直角三角形.

【思路点拨】由两直线平行可得同旁内角互补，再由角平分线的定义易求出∠PEF+∠PFE=

90o，从而判断△EFP是直角三角形．

【答案】

练习：

如图，在△ABC中，∠C=90o，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？

为什么？

【知识点】直角三角形的性质和判定

【解题过程】在△ABC中，∠C=90o，∴∠A+∠2=90o，∵∠1=∠2，∴∠A+∠1=90o，∴△ADE是直角三角形.

【思路点拨】已知直角三角形易得∠A、∠2互余，再根据等量代换得到∠A与∠1互余，根据直角三角形的判定解决问题．

【答案】△ADE是直角三角形

活动③三角形的内角和的综合运用

例3如图，在△ABC中，∠B=52o，∠C=40o，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数.

【知识点】三角形的内角和及三角形的角平分线、高的定义

【解题过程】在△ABC中，已知∠B=52o，∠C=40o，∴∠BAC=180o−∠B−∠C=88o，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠BAC=44o，∴∠ADB=180o−∠B−∠BAD=84o，∵AE是BC边上的高，∴∠AED=90o，∴∠DAE=90o−∠ADE=6o.

【思路点拨】法1：

利用角的和差解决：

∠DAE=∠BAD-∠BAE，在Rt△AEB中已知∠B=52o，可求∠BAE，在△ABC中已知∠B=52o，∠C=40o，可求∠BAC，再根据AD是∠BAC的平分线，求出∠BAD.法2：

利用直角三角形两锐角互余解决：

∠DAE=90o-∠ADE，在△ADB中已知∠B=52o，用法1求出∠BAD，可求∠ADB.从而解决问题．

【答案】6o

变式练习：

如图，在△ABC中，∠B=α（0o<α<90o），∠C=β（0o<β<90o），α>β，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，请求∠DAE的度数（用α、β的式子表示）.

【知识点】三角形的内角和及三角形的角平分线、高的定义

【解题过程】在△ABC中已知∠BAC=180o−α−β，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=（180o−α−β）∴∠ADB=180o−α−（180o−α−β）=90o−α+β.∵AE是BC边上的高，∴∠AED=90o，∴∠DAE=90o−（90o−α+β）=α−β.

【思路点拨】思考方法同上，关键是用α、β的式子表示各个角的度数．

【答案】α−β.

练习2：

如图，在△ABC中，∠A=40o，∠B=86o，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，CE是∠ACB的平分线，求∠BCE和∠CDF的度数.

【知识点】三角形的内角和及三角形的角平分线、高的定义

【解题过程】在△ABC中，∠A=40o，∠B=86o∴∠ACB=54o，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠BCE=∠ACB=27o，∵CD⊥AB于D，∴∠CDB=90o，∴∠BCD=4o，∴∠FCD=∠BCE−∠BCD=23o，∵DF⊥CE于F，∴∠CFD=90o，∴∠CDF=90o−∠FCD=67o，即∠BCE=27o，∠CDF=67o.

【思路点拨】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线的性质，高的定义，解答的关键是三角形的内角和定理，需熟记于心中．

【答案】∠BCE=27o，∠CDF=67o.

3.课堂总结

知识梳理

（1）根据直角三角形的性质可得两个锐角互余．

（2）由直角三角形两锐角互余的关系可判定三角形是直角三角形.

（3）利用三角形内角和、直角三角形的性质和判定解决有关的计算和证明.

重难点归纳

（1）掌握直角三角形的性质与判定.

（2）在解决角的度数问题时，若有直角三角形存在，善于运用直角三角形的两锐角互余求角度更直接简便.

（3）学会与三角形内角有关的计算与证明的说理．

（三）课后作业

基础型自主突破

1.一个三角形的三个内角的度数比是1∶2∶1，这个三角形是（　　）．

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形

【知识点】三角形的内角和定理，三角形的分类

【数学思想】方程思想

【思路点拨】已知三角形的三个内角的度数比是1∶2∶1，可根据三角形的内角和定理设未知数建立方程求解.

【解题过程】三个内角的度数比是1∶2∶1，设三个角的度数分为xo，2xo，xo由题可得x+2x+x=180，解得x=45，∴三个角的度数分为45o，90o，45o，∴此三角形是等腰直角三角形.故选D.

【答案】D

2.如图，直线∠A=35o，∠B=∠C=90o，则∠D的度数为（　　）

A．35°B．45°C．55°D．65°

【知识点】直角三角形的性质

【思路点拨】由直角三角形的两锐角互余和对顶角相等可解决问题.

【解题过程】在Rt△ABE和Rt△CED中，∠A+∠AEB=90o，∠D+∠DEC=90o，因为∠AEB=∠DEC，所以∠D=∠A=35o.故选A.

【答案】A

3.将一个直角三角尺和一把直尺如图放置，如果，∠1=36°，则∠2的度数为（）

A.56°B.76°C.66°D.60°

【知识点】直角三角形的性质，平行线的性质，邻补角的定义

【思路点拨】根据直角三角形两锐角互余，可求∠A=30o，根据三角形内角和定理求∠4，即可求出∠3，再利用平行线的性质得∠2=∠3，从而求解.

【解题过程】解：

根据直角三角形两锐角互余，可求∠A=30o，∴∠4=180o−30o−36o=114o，∴∠3=180o−114o=66o，∵直尺对边平行，所以∠2=∠3=66o，故选C

【答案】C

4.如图，已知，A