学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》课后培优训练附答案Word下载.docx

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16．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为　　．

17．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂直平分线，BF＝12，CF＝3，则AC＝　　．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°

．AC的垂直平分线交BC于F，交AC于E，交BA的延长线于G，若EG＝3，则BF的长是　　．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠A＝50°

，AB+BC＝6，则△BCF的周长＝　　，∠EFC＝　　度．

20．如图△ABC中，AB＝AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE＝CD，CF＝BD．若∠EDF＝50°

，则∠A的度数为　　．

21．已知：

如图所示，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°

，求∠B和∠BAC的度数．

22．如图，△ABC中AB＝AC，BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．

（1）求证：

AD平分∠GAC；

（2）求证：

AD∥BC．

23．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA，BD交AC于F，连接AD．

（1）当∠BAC＝50°

时，求∠BDC的度数；

AD∥BE．

24．

（1）如图1，已知：

在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有　　个等腰三角形；

EF与BE、CF之间的数量关系是　　，△AEF的周长是　　

（2）如图2，若将

（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有　　个等腰三角形；

EF与BE、CF之间的数量关系是什么？

证明你的结论，并求出△AEF的周长

（3）已知：

如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？

直接写出结论不证明．

25．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC平分∠ABF，BF＝

AE．

求证：

（1）DE＝DF；

（2）AC＝3BF．

26．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于E交BC边延长线于F，AE＝1，求BF的长．

27．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．

（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°

，∠BAD＝80°

，求∠CDE的度数；

（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°

，∠CDE＝18°

，求∠BAD的度数；

（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

参考答案

1．解：

（1）面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；

（2）无理数包含正无理数和负无理数，原命题是假命题；

（3）在直角三角形中，两条直角边长为n2﹣1和2n，则斜边长为n2+1，是真命题；

（4）等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，是真命题．

故选：

B．

2．解：

当50°

为底角时，

∵∠B＝∠ACB＝50°

，

∴∠BCD＝90°

﹣50°

＝40°

；

为顶角时，

∵∠A＝50°

∴∠B＝∠ACB＝65°

﹣65°

＝25°

．

3．解：

延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，

∵DE∥AC，∠C＝90°

∴∠BGE＝∠C＝90°

∴EG⊥BC，

∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°

∴四边形DGCH为矩形，

∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，

∴DF＝DM，DG＝DF，

∴DH＝DG，

∴四边形DGCH为正方形，

在Rt△BDG和Rt△BDF中，

∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），

∴BF＝BG，

同理可得：

Rt△AHD≌Rt△AFD，

由勾股定理可得：

AB2＝AC2+BC2＝100，

∴AB＝10，

设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，

∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，

∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，

即14﹣2x＝10，

解得：

x＝2，

∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，

4．解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，

5．解：

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∵BD∥AE，

∴∠BAE＝∠ABD，∠E＝∠DBC，

∴∠BAE＝∠E＝35°

，∠ABC＝70°

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝70°

∴∠BAC＝180°

﹣70°

∴∠EAC＝∠BAE+∠BAC＝35°

+40°

＝75°

D．

6．解：

∵∠AOB＝60°

，OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝30°

①当D在D1时，OD＝PD，

∵∠AOP＝∠OPD＝30°

∴∠ODP＝180°

﹣30°

＝120°

②当D在D2点时，OP＝OD，

则∠OPD＝∠ODP＝

（180°

）＝75°

③当D在D3时，OP＝DP，

则∠ODP＝∠AOP＝30°

综上所述：

120°

或30°

7．解：

设BD＝x，则CD＝12﹣x，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°

∴∠BDE＝30°

，∠CDF＝30°

∴BE＝

BD＝

同理可得，CF＝

∴BE+CF＝

+

＝6，

8．解：

如图，

①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；

②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．

③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；

∴符合条件的点有8个．

故答案为：

8．

9．解：

①如图1中，当D在线段AB上时，作AE⊥DC于E，AF⊥BC于F．

∵∠D＝30°

∴AE＝

AD，

∵AB＝AC，AF⊥BC，

∴BF＝CF＝

BC，

∵AD＝BC，

∴AE＝CF，

又∵∠AEC＝∠CFA＝90°

，AC＝CA

∴Rt△AEC≌Rt△CFA（HL），

∴∠ACE＝∠CAF＝∠BAF，

∵∠BDC＝∠DAC+∠ACD＝30°

∴∠BAC＝20°

②如图2中，当D在BA的延长线上时，作AE⊥DC于E，AF⊥BC于F．

同法可证Rt△AEC≌Rt△CFA（HL），

∴AF∥CD，

∴∠BAF＝∠D＝30°

∴∠BAC＝2∠BAF＝60°

③如图3中，当∠BAC是钝角时，D在BA的延长线上时，作AE⊥DC于E，AF⊥BC于F．

∴∠ACE＝∠CAF＝∠BAF，设∠ACE＝∠CAF＝∠BAF＝x，

∵∠ACE＝∠CAD+∠D，

∴x＝180°

﹣2x+30°

∴x＝70°

∴∠BAC＝140°

20°

，60°

，140°

10．解：

（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，

∵∠AMD＝90°

∴∠A＝90°

﹣46°

＝44°

∴∠B＝∠C＝

＝68°

（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，

∴∠DAB＝90°

∠DAB＝22°

68°

或22°

11．解：

∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠C+15°

，∠ADE＝∠AED，

∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝∠C+30°

又∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠C，

∴∠BAD＝30°

故答案为30°

12．解：

如图①，△ABC中，AB＝AC＝6cm，CD⊥AB且CD＝3cm，

∵△ABC中，CD⊥AB且CD＝

AB＝3，AB＝AC＝6cm，

∴CD＝

AC，

∴∠A＝30°

如图②，△ABC中，AB＝AC＝6cm，CD⊥BA的延长线于点D，且CD＝3cm，

∵∠CDA＝90°

，AB＝AC＝6cm，CD⊥BA的延长线于点D，且CD＝3cm

∴∠DAC＝30°

∴∠A＝150°

30或150．

13．解：

如图：

△ABC中，∵BA＝BC，∠C＝50°

∴∠BAC＝∠C＝50°

，∠ABC＝180°

＝80°

∴∠BAC的外角为＝∠1+∠2＝∠C+∠B＝50°

+800°

＝130°

∠BCA的外角＝∠3+∠4＝∠B+∠BAC＝80°

+50°

又∵AD，CD分别是∠BAC，∠BCA的外角平分线

∴∠1＝∠2＝

×

130°

＝65°

，∠3＝∠4＝

过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F

∵∠2＝∠3＝65°

∴AD＝DC

∵∠1＝∠4

∴Rt△ADE≌Rt△CDF

∴DE＝

DF

∴BD是∠ABC的角平分线

∴∠ABD＝

∠ABC＝

80＝40°

∵∠BAD＝∠BAC+∠2＝50°

+65°

＝115°

∴∠ADB＝180°

﹣40°

﹣115°

故填25．

14．解：

∵∠ABC＝60°

∴∠CAB+∠ACB＝120°

∵等边△ACD，

∴AC＝CD，∠ACD＝60°

∴∠ACB+∠DCE＝120°

∴∠CAB＝∠DCE．

过点C作CP⊥AB于点P，

∴∠APC＝90°

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝90°

在△DCE和△CAP中，

∴△DCE≌△CAP（AAS）．

∴CE＝AP＝3．

∵AB＝5，

∴BP＝2．

在Rt△BPC中，∠B＝60°

∴BC＝2BP＝4．

故答案为4．

15．解：

∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC＝

∠ABC，∠PCB＝

∠ACB，

∴∠BPC＝180°

﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°

﹣（

∠ABC+

∠ACB）

＝180°

﹣

（∠ABC+∠ACB）＝180°

﹣∠BAC）＝90°

∠BAC，

即∠BAC＝2∠BPC﹣180°

如图，连接AO．

∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，

∴OA＝OB＝OC，

∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，

∴∠AOB＝180°

﹣2∠OAB，∠AOC＝180°

﹣2∠OAC，

∴∠BOC＝360°

﹣（∠AOB+∠AOC）

＝360°

﹣（180°

﹣2∠OAB+180°

﹣2∠OAC），

＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2（2∠BPC﹣180°

）＝4∠BPC﹣360°

4∠BPC﹣360°

16．解：

过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°

，∠AFP＝∠ACB＝60°

，∠A＝60°

∴△APF是等边三角形，

∴AP＝PF＝AF，

∵PE⊥AC，

∴AE＝EF，

∵AP＝PF，AP＝CQ，

∴PF＝CQ，

在△PFM和△QCM中，

∴△PFM≌△QCM（AAS），

∴FM＝CM，

∵AE＝EF，

∴EF+FM＝AE+CM，

∴AE+CM＝ME＝

∵AC＝3，

∴ME＝

17．解：

∴AF＝BF

∴AC＝AF+CF＝BF+CF＝12+3＝15．

18．解：

∵AC的垂直平分线FG，

∴AE＝EC，∠AEG＝∠AEF＝90°

∵∠BAC＝120°

∴∠G＝∠BAC﹣∠AEG＝120°

﹣90°

＝30°

，AB＝AC，

﹣∠BAC）＝30°

∴∠B＝∠G，

∴BF＝FG，

∵在Rt△AEG中，∠G＝30°

，EG＝3，

∴AG＝2AE，

即（2AE）2＝AE2+32，

（负数舍去），

即CE＝

同理在Rt△CEF中，∠C＝30°

，CF＝2EF，

（2EF）2＝EF2+（

）2，

∴EF＝1（负数舍去），

∴BF＝GF＝EF+CE＝1+3＝4，

4．

19．解：

已知DF垂直且平分AB⇒AF＝BF，AD＝BD，∠A＝∠ABF＝50°

，∠ADF＝90°

∠EFC＝180°

﹣∠A﹣∠ADF＝40°

（对角相等）

因为AB+BC＝6，AB＝AC＝BF+FC

故周长△BCF＝FC+BF+BC＝6．

故填6；

40°

20．解：

∴∠B＝∠C，

在△BDE与△CDF中，

∴△EBD≌△DCF（SAS）．

∴∠BDE＝∠CFD，

∵∠EDF＝50°

∴∠BDE+∠CDF＝∠CDF+∠CFD＝130°

∴∠C＝50°

∴∠C＝∠B＝50°

∴∠A＝180°

80°

21．解：

在△ABC中，AB＝AD＝DC，

∵AB＝AD，在三角形ABD中，

∠B＝∠ADB＝（180°

﹣26°

）×

＝77°

又∵AD＝DC，在三角形ADC中，

∴∠DAC＝∠C，

∵∠ADC＝∠DAC+∠C，

∴∠ADC＝∠C＝

＝38.5°

∴∠BAC＝26°

+38.5°

＝64.5°

22．

（1）证明：

过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．

∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，

∴DM＝DN＝DK，

∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，

∴∠GAD＝∠DAC，

∴AD平分∠GAC．

（2）证明：

∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∠GAD＝∠DAC，

又∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠GAD＝∠ABC，

∴AD∥BC．

23．

（1）解：

∴∠ABC＝∠ACB＝

）＝65°

∴∠ACE＝115°

∵BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA，

∴∠DBC＝

ABC＝32.5°

，∠ECD＝

∠ACE＝57.5°

∴∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC＝25°

作DN⊥BG于N，DK⊥AC于K，DM⊥BC于M，如图，

∴DM＝DN，DK＝DM，

∴DN＝DK，

∴AD平分∠GAC，

∴∠NAD＝∠KAD，

∵∠NAC＝∠ABC+∠ACB，

即∠NAD+∠KAD＝∠ABC+∠ACB，

∴∠NAD＝∠ABC，

∴AD∥BE．

24．解：

（1）BE+CF＝EF．

理由如下：

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，

∴∠DBC＝∠DCB，

∴DB＝DC

∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，

∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，

∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，

∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，

∴BE+CF＝DE+DF＝EF，

即BE+CF＝EF，

△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．

5；

BE+CF＝EF；

20；

（2）BE+CF＝EF，

∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，

∴BE＝DE，CF＝DF，

∴等腰三角形有△BDE，△CFD，

∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．

可得△AEF的周长为18．

（3）BE﹣CF＝EF，

由

（1）知BE＝ED，

∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，

∴CF＝DF，

又∵ED﹣DF＝EF，

∴BE﹣CF＝EF．

25．解：

（1）∵BF∥AC，

∴∠C＝∠CBF，

∵BC平分∠ABF，

∴∠ABC＝∠CBF，

∴∠C＝∠ABC，

∴AB＝AC，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴BD＝CD，AD⊥BC，

在△CDE与△BDF中，

∴△CDE≌△BDF，

∴DE＝DF．

（2）∵△CDE≌△BDF，

∴CE＝BF，

∵BF＝

AE，

∴AE＝2BF，

∴AC＝3BF．

26．解：

∵△ABC是等边三角形，BD是中线，

∴∠A＝∠ACB＝60°

，AC＝BC，AD＝CD＝

∵DE⊥AB于E，

∴∠ADE＝90°

﹣∠A＝30°

∴CD＝AD＝2AE＝2，

∴∠CDF＝∠ADE＝30°

∴∠F＝∠ACB﹣∠CDF＝30°

∴∠CDF＝∠F，

∴DC＝CF，

∴BF＝BCCF＝2AD+AD＝6．

27．解：

（1）∵∠B＝∠C＝35°

∴∠BAC＝110°

∵∠BAD＝80°

∴∠DAE＝30°

∴∠ADE＝∠AED＝75°

∴∠CDE＝180°

﹣35°

﹣75°

（2）∵∠ACB＝75°

∴∠E＝75°

﹣18°

＝57°

∴∠ADE＝∠AED＝57°

∴∠ADC＝39°

∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°

∴∠BAD＝36°

（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°

，∠ADE＝∠AED＝x°

，∠CDE＝α，∠BAD＝β

①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°

﹣α，

∴

（1）﹣

（2）得2α﹣β＝0，

∴2α＝β；

②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°

+α，

（2）﹣

（1）得α＝β﹣α，

③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°

（2）﹣

（1）得2α﹣β＝0，

∴2α＝β．

综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．