高等数学数学基础综合练习题解答.docx
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高等数学数学基础综合练习题解答
高等数学基础综合练习题解答
一.填空题
1.
函数
y
一xln（r
A的定义域为
1）
x1且x2
O
x
4
0
x4
解:
x
1
0
x1x1且x2
Inx
1
0
x11
2
函
数y一―）
的定
义
域
是
74x7
1
x2
o
x1
0
x
1
解:
9
1x2
4x
0
2x2
3
函
数y三
的定
义
域
是
x3
x
2且x
3
o
x2
0
x
2
解:
x3
0
x
3
4.
设f（x
2）x
22,则f（x）
x24x6
O
解:
设x2t,贝Sx
t2且原式
f（x2）x22
即f（t）t222
=t24t2
亦即f（x）x24x
2
4.
若函数f（x）
4
（1x）x,
x0在x0处连续，
则k
k,
x0
4e
o
函数fx在x=0连续，则x叫fxf°
曲线
y
f
x在点x0,y°
处的切线方程为yy°y
xeXx0
解：
y
x0
xe
x01,
X。
0时，ye1
y
1
（x
0）
y1
X,
y1x
o
6.函数y晋的连续区间为—3,1’t——初等函数在其定义区间连续。
7.曲线yInx在点（1,0）处的切线方程为_yx1
解：
y
x1
Inx
1
x1
x1
1,
x
y
01
x1
y
x
1
8.设函数y
f（In
2x）可导,
则dy
丄f'（In2x）dx
x
解:
dyy'dx=f（ln2x）'dx=f'（ln2x）In2x'dx=f'（in2x）—2x'dx
2x
11
=f'（In2x）2x'dx=f'（In2x）dx
2xx
9.（判断单调性、凹凸性）曲线y-x32x23x在区间2,3内是
3
单调递减且凹。
解：
yx24x3x3x1,当2x3时，y0曲线下降
y2x-4y0曲线是凹的
10.设f（x）x21,贝yf（f（x））4x21。
解：
f'（x）X21'2x,f（f（x））f2x2x214x21,
11.x3（1cosx）dx0。
解：
x3是奇函数；1禾口cosx是偶函数，由于偶+偶二偶,则1cosx是偶函数，
因为奇偶=奇，因此x31cosx是奇函数，1,1是对称区间奇函数在对称区间上的积分为零
1
12.x（x.1x2）dx
解：
1x（x1x2）dx1（x2x1x2）dx1x2dx1x1x2dx
2fx21c—。
1111
而x2是偶函数
故
12
xdx2
12
xdx
23
—x
1
2
1
0
3
0
3
13.
设F（x）f（x）,
则
f（ln3x）,
dx
x
F
ln3x
C
解:
'+1
ln3x
idx
ln3xdx
dln3x
1x
x
1
-f（ln3x）dxx
fln3xdln3x
FIn3x
C
1
x1x2是奇函数（奇偶=奇），故1x1x2dx0；
14.已知F（x）
f（x）,贝yxf（x21）dx
2212
x1dx1Fx1c
2
15.设F（x）为f（x）的原函数，那么f（sinx）cosxdx_FsinxC_。
解:
f（sinx）cosxdxfsinxdsinxFsinxC
16.设f（x）的一个原函数是sinx,则f（x）sinx.
f（x）sinx”=
解：
f（x）的一个原函数为F（x）f（x）=F'（x）
cosx'=
sinx
17.
F（x）
0
tcos2tdt,
x
那么F（x）
xcos2x
dt
F（x）
x
tcos2tdt
0
xcos2x
18.
dx
t2e
tdt
dx
dt
dxt2etdt
dx0
19.
F（x）
sint
dt,
则F（-）
sin_“
Fe2e1
2
20.
d
dx
d
dx
cost2dt=
x
cost2dt
x
cosx2
—Xcost2dt=cosx2dx0
选择题
1.
F列函数中
B）的图像关于坐标原点对称
A.InxB
xcosxC
xsinx
规律:
（1）1
奇偶函数定义
fx是奇函数；f
fx,fx是偶函数；
（2）.常见的偶函数：
-2-4
2
x,x,...,x3,cosx,x,常数
1
常见的奇函数：
x,x3,x5,...,x3,sinx,lnxVx2~1
1x1x
ln,ln——
1x1x
常见的非奇非偶函数
xxxxI
a,e,a,e,inX;
（3）.奇偶函数运算性质：
奇士奇二奇；奇士偶二非；偶士偶二偶；奇x奇二偶；奇x偶二奇;
偶X偶二偶；
（4）.奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于y轴对称。
解：
A.非奇非偶；B.奇X偶二奇（原点）；C.奇X奇二偶（y轴）;D.非奇非偶
2.下列函数中（B）不是奇函数。
A.exex；B.sin（x1）；C.sinxcosx
D.lnx.x21
X偶）；D.奇函数（定义）
3.下列函数中，其图像关于y轴对称的是
4.下列极限正确的是
xd
..e1x
1〜x••limlim—1；
x0xx0x
B正确。
分子分母最高次幕前的系数之比
10即丄是无穷小，sinx1即sinx是有界变量
xx
sinxlim
xx
12
D错。
第二个重要极限应为lim（11）xe或lim（1x）xe,其类型
X
5.
当x
1时,（
D）
为无穷小量。
A.
X
2
1
B.sin
1C
.cos（x1）
D
X
1
X1
0
解:
A.
lim
X1
2
11
-0lim——=-0;
X1
X
1x12x
2
B.
X
1,
x10,
1
limsin不存在:
X1
x1x1
C.
X
1,
cos（x1）
cos01；
D.
X
1,
ln（x2）
ln10。
6.
下列;
等式1
中,
成立的是
（B）。
A.
2xe
dx
2de2X
B
3x.
.edx
1de
3
C.
2
、x
dx
d\x
D
.—dx3x
dln3x
解:
A.
错，
正确的应为
2e2xdxde2x
B。
正确
3e：
为1
3x
3xdxde3x即
ln（x2）
3x13x
edxde
3
C.错,
正确的应为1dxdx
2x
D.错，正确的应为
1
—d3xdIn3x
3x
7•设f（x）在点xxo可微，且f（Xo）0
则下列结论成立的是
（C）。
A.xxo是f（x）的极小值点B
xXo是f（x）的极大值点
解：
驻点疋义：
设f（x）在点xx0可微，且f（沧）0,则xx0是f（x）
的驻点。
驻点为可能的极值点。
8..函数
f（x）Inx,
则limf（x）f（3）（
D）。
x3x3
A.
3;B
.ln3;C
.1;D
1
x
3
01
解二：
limf（x）f（3）limlnxln30limx1
x3x3—x3d2
x3
x
3x3x3
=x31
3
9.设f（x）
sinx,
则lim-
f（x）（
B）。
x0
x
A.0;
B
.1
;C
.2;
D
.不存在
小fx
解一:
lim
lim
sinx’
1
x0x
x0
x
解一:
lim
lim
sinx0
sinx
x0cosx
x01
x0x
x0
x0
10.曲线yx33x29x1在区间（1,3）内是（A）。
A.下降且凹B.上升且凹C.下降且凸D.上
升且凸
解:
y3x26x93x22x33x3x1,
在1x3任取一点x,带入可知y0,曲线下降
y6x—6,
在1x3中任取一点x,带入可知y0,曲线是凹的
11.曲线yexx在（0,）内是（B）。
下降且凹；B.上升且凹；C.下降且凸；D.上升且凸
解:
!
X
y'e
X
I
ex1
当x0时
寸，
y'
0,曲线上升
y''ex
当x0时
寸，
y''
0,曲线是凹的
12.
曲线y
2、
应在点M（1,2）处的法线方程为
（
B）。
A.y
2（x
1）；
B.
y2（x1）;C.y2
2（x
1
1）D.y1—（x2）
2
规律
:
曲线
y
f
X在X=X0处的法线方程为
y
f1
fX0XX。
fXo
A
解：
yfx2仮，f'x2仮’丁,
f'1TX
1
X1
故法线方程为B.y2
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