高等数学数学基础综合练习题解答.docx

1、高等数学数学基础综合练习题解答高等数学基础综合练习题解答一.填空题1.函数y一 x ln(rA的定义域为1)x 1 且x 2Ox40x 4解:x10x 1 x 1 且 x 2In x10x 1 12函数 y 一)的 定义域是74x71x 2ox 10x1解:91 x 24 x02x23函数y三的 定义域是x 3x2且x3ox 20x2解:x 30x34.设f(x2) x2 2,则 f(x)x2 4x 6O解:设x 2 t,贝S xt 2且原式f(x 2) x2 2即 f (t) t 2 2 2=t2 4t 2亦即 f (x) x2 4x24 .若函数f(x)4(1 x)x,x 0在x 0处连续

2、，则kk,x 04 eo函数fx在x=0连续，则x叫f x f曲线yfx在点x0, y处的切线方程为y y yxe X x0解：yx 0x ex 0 1 ,X。0时，y e 1y1(x0)y 1X, y 1 xo6.函数y晋的连续区间为3,1 t 初等函数在其定义区间连续。7 .曲线y Inx在点(1,0)处的切线方程为 _ y x 1解：yx 1In x1x 1x 11,xy0 1x 1yx18.设函数yf (In2x)可导,则dy丄 f (In 2x)dxx解:dy ydx = f (ln2x) dx = f (ln2x) In 2x dx = f (in 2x) 2x dx2x1 1=f

3、 (In 2x) 2x dx = f (In 2x)dx2x x9.(判断单调性、 凹凸性)曲线y - x3 2x2 3x在区间2,3内是3单调递减且凹 。解：y x2 4x 3 x 3 x 1 ,当2 x 3时，y 0 曲线下降y 2x- 4 y 0 曲线是凹的10. 设 f(x) x2 1 ,贝y f( f (x) 4x2 1 。解：f(x) X2 1 2x, f(f(x) f 2x 2x 2 1 4x2 1,11. x3(1 cosx)dx 0 。解：x3是奇函数 ；1 禾口 cos x 是偶函数，由于偶+偶二偶,则 1 cosx 是 偶函数，因为奇 偶=奇，因此x3 1 cosx是奇函

4、数，1,1是对称区间 奇函数在对称区间上的积分为零112. x(x .1 x2 )dx解： 1 x(x 1 x2)dx 1 (x2 x 1 x2)dx 1 x2dx 1 x 1 x2dx2f x21 c。1 1 1 1而x2是偶函数,故1 2x dx 21 2x dx2 3x121030313.设 F (x) f(x),则f(ln 3x),dxxFln3xC解:+ 1ln 3xidxln 3x dxd ln 3x1 xx1-f (ln 3x)dx xf ln 3x d ln3xF In3xC 1 x 1 x2是奇函数(奇偶=奇)，故1x 1 x2dx 0 ；14 .已知 F (x)f (x),

5、贝y xf(x2 1)dx2 2 1 2x 1 d x 1 F x 1 c215.设 F(x)为 f (x)的原函数，那么 f(sinx)cosxdx _ F sinx C _。解: f (sin x)cosxdx f sinx d sinx F sinx C16.设f (x)的一个原函数是sinx ,则f (x) sinx.f (x) sinx ” =解：f(x)的一个原函数为F(x) f(x) = F(x)cosx =sinx17.F(x)0tcos2t dt,x那么F (x)xcos2xdtF (x)xt cos2t dt0xcos2x18.dxt2etdtdxdtd x t2e t d

6、tdx 019.F(x)sintdt,则F (-)sin_ “F e 2 e1220.ddxddxcost2dt =xcost2dtxcosx2Xcost2dt = cosx2 dx 0选择题1.F列函数中B)的图像关于坐标原点对称A. In x Bxcosx Cxsin x规律:(1)1奇偶函数定义,f x是奇函数；ff x , f x是偶函数；(2).常见的偶函数：-2 -42x, x ,.,x3,cosx, x ,常数1常见的奇函数：x,x3,x5,., x3,sin x,ln x Vx211 x 1 x,ln ,ln 1 x 1 x常见的非奇非偶函数x x x x Ia ,e ,a ,

7、e ,in X;(3).奇偶函数运算性质：奇士奇二奇；奇士偶二非；偶士偶二偶；奇x奇二偶；奇x偶二奇;偶X偶二偶；（4）.奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于y轴对称。解：A.非奇非偶； B.奇X偶二奇（原点）；C .奇X奇二偶（y 轴）;D .非奇非偶2.下列函数中(B ) 不是奇函数。A . ex ex ； B . sin(x 1) ； C . sinxcosxD. ln x .x2 1X偶）；D .奇函数（定义）3.下列函数中，其图像关于y轴对称的是4.下列极限正确的是x d. . e 1 x1 x lim lim 1 ；x 0 x x 0 xB正确。分子分母最高次幕前的系数之比1 0

8、即丄是无穷小， sin x 1 即 sin x 是有界变量x xsin x lim x x1 2D错。第二个重要极限应为lim(1 1)x e或lim(1 x)x e,其类型X5.当x1时,(D )为无穷小量。A.X21B . sin1 C.cos(x 1)DX1X 10解:A.limX 121 1-0 lim =-0 ;X 1X1 x 12x2B.X1,x 1 0,1lim sin 不存在 :X 1x 1 x 1C.X1,cos(x 1)cos0 1 ；D.X1,ln(x 2)ln1 0。6.下列;等式1中 ,成立的是(B)。A.2x edx2de 2XB3x . e dx1de3C.2、x

9、dxd xD.dx 3xd ln 3x解:A.错，正确的应为2e 2xdx de 2xB。 正确,3e：为13x3xdx de 3x 即ln(x 2)3x 1 3xe dx de3C .错,正确的应为1 dx d x2 xD.错，正确的应为1d3x d In 3x3x7 设f (x)在点x xo可微，且f(Xo) 0则下列结论成立的是(C )。A. x xo是f (x)的极小值点 Bx Xo是f (x)的极大值点解：驻点疋义：设f (x)在点x x0可微，且f (沧)0 ,则x x0是f (x)的驻点。驻点为可能的极值点。8.函数f (x) In x ,则 lim f(x) f(3)(D )

10、。x 3 x 3A.3 ; B.ln3 ; C.1 ; D1x30 1解二：lim f(x) f(3) limlnx ln30limx 1x3 x3 x 3 d 2x 3x3 x 3 x 3=x 3 139.设 f(x)sin x,则 lim -f(x)(B )。x 0xA. 0 ;B.1;C.2 ;D. 不存在小 f x解一 :limlimsin x 1x 0 xx 0x解一 :limlimsin x 0sin xx 0 cosxx 0 1x 0 xx 0x 010.曲线y x3 3x2 9x 1在区间(1,3)内是( A )。A.下降且凹 B .上升且凹 C .下降且凸 D .上升且凸解:

11、y 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 3 x 3 x 1,在1 x 3任取一点x,带入可知y 0,曲线下降y 6x 6,在1 x 3中任取一点x,带入可知y 0,曲线是凹的11.曲线y ex x在(0,)内是( B )。下降且凹；B .上升且凹；C .下降且凸；D .上升且凸解:! Xy eXIex 1当x 0时寸，y0,曲线上升y ex当x 0时寸，y0,曲线是凹的12.曲线y2、应在点M(1,2)处的法线方程为(B )。A. y2 (x1)；B.y 2 (x 1); C . y 22(x11)D. y 1 (x 2)2规律:曲线yfX在X= X0处的法线方程为yf 1f X0 XX。f XoA解：y f x 2仮，f x 2仮丁,f1 TX1X 1故法线方程为B. y 2