完整word版平方差公式与完全平方公式知识点总结.docx
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完整word版平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习
一、平方差公式
（a+b）（a-b）=a2-b2
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
①位置变化，xyyxx2y2
②符号变化，xyxyx2y2x2y2
③指数变化，x2y2x2y2x4y4
④系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤换式变化，xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
⑥增项变化，xyzxyz
xy2z2
xyxyz2
x2xyxyy2z2
x22xyy2z2
⑦连用公式变化，xyxyx2y2
x2y2x2y2
x4y4
⑧逆用公式变化，xyz2xyz2
xyzxyzxyzxyz
2x2y2z
4xy4xz
完全平方公式
活用:
把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：
灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1．已知，，求的值。
例2．已知，，求的值。
解：
∵
∴∴=
∵，∴
例3已知，求的值。
解：
三、学习乘法公式应注意的问题
（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．
例1计算（-2x2-5）（2x2-5）
分析：
本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．
例2计算（-a2+4b）2
分析：
运用公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为（4b-a2）2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）
（二）、注意为使用公式创造条件
例3计算（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）．
分析：
粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．
例5计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
分析：
此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．
（三）、注意公式的推广
计算多项式的平方，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可推广得到：
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
可叙述为：
多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．
例6计算（2x+y-3）2
解：
原式=（2x）2+y2+（-3）2+2·2x·y+2·2x（-3）+2·y（-3）
=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．
（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式
例7 已知：
x+2y=7，xy=6，求（x-2y）2的值．
例10计算（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）2
分析：
此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．
四、怎样熟练运用公式：
熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．
常见的几种变化是：
1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．
2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：
不变或不这样变，可以吗？
）
3、数字变化如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．
4、系数变化如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了．
（四）、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．
对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．
即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－）（1+）=××××…××=×=．
有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：
a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．
如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．
面对这样的问题就可用上述变式来解，
即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，
m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．
下列各题，难不倒你吧？
！
1、若a+=5，求
（1）a2+，
（2）（a－）2的值．
2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．
（答案：
1.
（1）23；
（2）21．2.6）
五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式：
（a＋b）（a－b）=a2－b2，（a±b）=a2±2ab＋b2，
（a±b）（a2±ab＋b2）=a3±b3．
第一层次──正用
即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．
例1计算
（－2x－y）（2x－y）．
．
第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．
例2计算
第三层次──活用：
根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．
例3化简：
（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1．
分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．
解原式=（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1
=（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1=216．
第四层次──变用：
解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=（a＋b）2－2ab，a3＋b3=（a＋b）3－3ab（a＋b）等，则求解十分简单、明快．
例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2的值．
解：
∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[（a＋b）2－2ab]=2（92－2·14）=106，
第五层次──综合后用：
将（a＋b）2=a2＋2ab＋b2和（a－b）2=a2－2ab＋b2综合，
可得（a＋b）2＋（a－b）2=2（a2＋b2）；（a＋b）2－（a－b）2=4ab；
等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．
例6计算：
（2x＋y－z＋5）（2x－y＋z＋5）．
解：
原式=[（2x+y-z+5）+（2x-y+z+5）]2-[（2x+y-z+5）-（2x-y+z+5）]2
=（2x＋5）2－（y－z）2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2
乘法公式的使用技巧：
①提出负号：
对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
例1、运用乘法公式计算：
（1）（-1+3x）（-1-3x）；
（2）（-2m-1）2
②改变顺序：
运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.
例2、运用乘法公式计算：
（1）（）（）;
（2）（x-1/2）（x2+1/4）（x+1/2）
③逆用公式
将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=（a+b）（a-b），逆用积的乘方公式，得anbn=（ab）n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。
例3、计算：
（1）（x/2+5）2-（x/2-5）2;
（2）（a-1/2）2（a2+1/4）2（a+1/2）2
④合理分组：
对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算：
（1）（x+y+1）（1-x-y）;
（2）（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）.
先提公因式，再用公式
例2.计算：
简析：
通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x的系数成倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为，则可利用乘法公式。
三.先分项，再用公式
例3.计算：
简析：
两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。
进而分析如何将常数进行变化。
若将2分解成4与的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。
四.先整体展开，再用公式
例4.计算：
简析：
乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。
六.先用公式，再展开
例6.计算：
简析：
第一个整式可表示为，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。
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