届安徽省宣城八校高三联考理科数学试题.docx

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届安徽省宣城八校高三联考理科数学试题

安徽省宣城市八校2017-2018届高三上学期联考数学（理）试题（word版）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试范围：

集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列。

考生注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦十净后，冉选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体T整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后冉用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题共50分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设i是虚数单位，复数

（A）3－2i（B）3+2i（C）2—3i（D）2+3i

（2）若集合A=，且AB．则实数a的取值范围是

（A）（,-2]（B）[－2,2]（C）[－2,）（D）[2,）

（3）设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a3=7，S3=21，则数列{an}的公比是

（A）（B）1（C）或1（D）－或1

（4）设a>1,则函数的图像大致为

（5）若非直角△ABC的内角A、B、C成等差数列，则tanA+tanC－tanAtanBtanC=

（A）（B）（C）（D）

（6）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时f（x）=，则f（f（－24））=

（A）－4（B）－2（C）2（D）4

（7）设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2+2a4+5a6=48，则S9=

（A）36（B）45（C）54（D）63

（8）已知向量a=（0，sin），b=（1,2cos），函数f（x）=a·b，g（x）=a2+b2－，则f（x）的图像可由g（x）的图像经过怎样的变换得到

（A）向左平移个单位长度（B）向右平移个单位长度

（C）向左平移个单位长度（D）向右平移个单位长度

（9）已知a、b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围是

（A）（0，）（B）（0，1）（C）（0，）（D）

（10）在△ABC中，若（4）⊥，则sinA的最大值为

（A）（B）（C）（D）

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

考生注意事项：

请用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．

（11）已知向量a与b的夹角为60o，且|a|＝1，｜b｜=2，则｜a－b｜=。

（12）由曲线y＝x2－2x与直线y=x围成的封闭图形的面积为。

（13）设集合An={x|2n

（14）已知数列{an}的各项都是正数，其前n项和Sn满足2Sn=an+，n∈N*，则数列{an}的通项公式为.

（15）设非直角△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,则下列结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．

①“sinA>sinB”是“a>b”的充分必要条件

②“cosAb”的充分必要条件

③“tanA>tanB是“a>b”的充分必要条件

④“sin2A>sin2B”是“a>b”的充分必要条件

⑤“cos2Ab”的充分必要条件

三、解答题：

本大题共6小题，共75余．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分12分）

设函数f（x）=sinxcos（x+）+，x∈R．

（I）求f（x）的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若斜率为的直线与f（x）相切，求其切点坐标．

（17）（本小题满分12分）

已知a>0，a≠1，设命题p：

函数y=logax在（0，+∞）上单凋递增；命题q：

函数y=|x+2a|－|x|对任意x∈R满足－1

（18）（本小题满分12分）

设△AB（的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且cos2B+cosB+cos（A－C）=1．

（I）证明：

a、b、c成等比数列；

（Ⅱ）若a+c=b，cosB=，求△ABC的面积．

（19）（本小题满分13分）

已知数列｛an｝满足al=2，an+l=2a，n∈N*．

（I）证明：

数列{1+log2an}为等比数列；

（Ⅱ）证明：

（20）（本小题满分13分）

设函数f（x）=ax－ex，a∈R，e为自然对数的底数．

（l）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围；

cn）若对任意x∈R，a>0．f（x）≤a2－ka恒成立，求实数k的取值范围．

（21）（本小题满分13分）

右图中的杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》．它有很多奇妙的性质，如每个数等于它肩上两数之和．记图中从上到下第i行从左到右第j个数为（i，j）．数列{an}的前n项和Sn=（n+2，3），n∈N*．

（I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn证明：

1≤Tn<2．

参考答案

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

答案

A

C

D

D

A

B

C

D

A

B

（1）A解析：

（2）C解析：

若a＞2，A＝（2，a]满足条件，若a＝2，A＝满足条件，若a＜2，A＝[a，2），使A⊆B，只需a≥－2，故选C．

（3）D解析：

设数列的公比为q，则解得或1.

（4）D解析：

令a＝2，当x＝2时，y＝，排除B、C，当x＝－2时，y＝－，排除A，故选D．

（5）A解析：

∴

故选A.

（6）B解析：

，则.

（7）C解析：

48＝a2＋2a4＋5a6＝S9＝＝9a5＝54.

（8）D解析：

f（x）＝a·b＝×2sincos＝sinx，g（x）＝a2＋b2－＝sin2＋1＋4cos2－＝3cos2－

＝3×－＝cosx＝sin（＋x），故选D．

（9）A解析：

y′＝＝1，x＝1－b，切点为（1－b，0），代入y＝x－a，得a＋b＝1，∵a、b为正实数，∴a∈（0，1），，令∴∈（0，）.

（10）B解析：

0＝（4－）·＝（4－）·（＋）＝42＋2－5·＝42＋2－

5||·||cosA≥4||·||－5||·||cosA，∴cosA≥，sinA≤．

（11）解析：

.

（12）解析：

画出简图知封闭图形的面积

（13）336解析：

中的各元素构成以33为首项，以5为公差的等差数列，共有7项，∴中各元素之和为

（14）解析：

当n＝1时，2S1＝a1＋=2a1，a1＝1，当n≥2时，2Sn＝Sn－Sn－1＋，即Sn＋Sn－1＝，，又S＝n，Sn＝，.

（15）①②⑤解析：

由①sinA＞sinB，利用正弦定理得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，等价于

a＞b，①正确；由②cosA＜cosB，利用函数在上单调递减得，等价于a＞b，②正确；由③tanA＞tanB，不能推出a＞b，如A为锐角，B为钝角，虽然有tanA＞tanB，但由大角对大边得a＜b，③错误；由④sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如A=45°，B=60°时，虽然有sin2A＞sin2B，但由大角对大边得a＜b，④错误；由⑤cos2A＜cos2B，利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，∴sinA＞sinB，故等价于a＞b，⑤正确．

（16）解析：

（Ⅰ）f（x）＝sinx（cosx－sinx）＋＝sin2x－·＋＝sin（2x＋），

∴f（x）的最大值为，最小正周期为π．（6分）

（Ⅱ）f′（x）＝cos（2x＋），令cos（2x＋）＝，则2x＋＝2kπ±（k∈Z），即x＝kπ或x＝kπ－（k∈Z），故其切点坐标为（kπ，）或（kπ－，－）（k∈Z）．（12分）

（17）解析：

若p为真命题，则a＞1．

若q为真命题，由得，

∴2a＜1，0＜a＜．（6分）

又“p⋁q”为真，“p⋀q”为假，则p、q中一真一假．

当p真q假时，a＞1；当p假q真时，0＜a＜．

故a的取值范围是（0，）∪（1，＋∞）．（12分）

（18）解析：

（Ⅰ）由已知得1－2sin2B＋cosB＋cos（A－C）＝1，

cos（A－C）－cos（A＋C）＝2sin2B，即2sinAsinC＝2sin2B．

由正弦定理知b2＝ac，∴a、b、c成等比数列．（6分）

（Ⅱ）由余弦定理知，而sinB＝，

故的面积（12分）

（19）解析：

（Ⅰ）两边取以2为底的对数得log2an＋1＝1＋2log2an，则log2an＋1＋1＝2（log2an＋1），

∴{1＋log2an}为等比数列，且log2an＋1＝（log2a1＋1）×2n－1＝2n.（6分）

（Ⅱ）＝，

设M＝＋＋…＋＝＋＋…＋，则M＝＋＋…＋，

两式相减得M＝＋＋…＋－＝1－－＜1，则M＜2，结论成立.（13分）

（20）解析：

（Ⅰ）f′（x）=a－ex．

当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；

当a＞0时，由f′（x）=0解得x=lna，当x＞lna时，f′（x）＜0，当x＜lna时，f′（x）＞0．

故f（x）在x=lna处取得最大值f（lna）=alna－a，

∵f（x）存在两个零点，∴f（lna）=alna－a＞0，a＞e，即a的取值范围是（e，＋∞）．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）≤alna－a，故只需alna－a≤a2－ka，k≤a＋1－lna.

令g（a）=a＋1－lna，g′（a）=1－，当a＞1时，g′（a）＞0；当a＜1时，g′（a）＜0．

故g（a）在a=1处取得最小值2，则k≤2，即k的取值范围是（－∞，2]．（13分）

（21）解析（Ⅰ）观察知数列是首项为1公差为1的等差数列.

而时,，∴=.

又=1时,=1也适合上式..（６分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.（９分）

是递增数列，又（13分）