苏锡常镇届高三三模数学试题及答案文档格式.docx

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本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥PABC中，过点P作PD⊥AB，垂足为D，E，F分别是PD，PC的中点，且平面PAB⊥平面PCD.求证：

（1）EF∥平面ABC；

（2）CE⊥AB.

16.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.

（1）求角A的大小；

（2）若cos＝，求cosC的值.

17.（本小题满分14分）

某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．

（1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；

（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）的左、右顶点分别为A1（－2，0），A2（2，0），右准线方程为x＝4.过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D.直线A2D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A1D交于点H.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若HG⊥A1D，试求直线A1D的方程；

（3）如果＝λ，试求λ的取值范围.

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝x2＋（2－a）x－alnx，其中a∈R.

（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为1，求实数a的值；

（2）若函数f（x）的极小值不超过，求实数a的最小值；

（3）对任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[4，8]，使得f（x1）＝f（x2）成立，求实数a的取值范围．

20.（本小题满分16分）

已知数列{an}是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n∈N*，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝λ（n－1）a1an恒成立.

（1）如果，，成等差数列，求实数λ的值；

（2）已知λ＝1.

①求证：

数列是等差数列；

②已知a1≠a2，数列{bn}是公比为q的等比数列，满足b1＝，b2＝，b3＝（i∈N*）．求证：

q是整数，且数列{bn}中的任意一项都是数列中的项．

数学附加题

（满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修4-2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵A＝，其逆矩阵A－1＝，求A2.

B.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l上的两点M，N的极坐标分别为（2，0），，求直线l被曲线C截得的弦长.

C.[选修4-5：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝2.求证：

＋＋≥1.

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点.

（1）求线段AF的中点M的轨迹方程；

（2）已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程.

23.（本小题满分10分）

已知数列{an}，a1＝2，且an＋1＝a－an＋1对任意n∈N*恒成立．求证：

（1）an＋1＝anan－1an－2…a2a1＋1（n∈N*）；

（2）an＋1>

nn＋1（n∈N*）.

2019届高三年级第三次模拟考试（十八）（苏锡常镇）

数学参考答案

1.（0，1）　2.1　3.　4.8　5.55　6.

7.　8.　9.11　10.（－2，－1）∪（1，2）

11.　12.1　13.－　14.（－2e－1，0]

15.

（1）在三棱锥PABC中，

因为E，F分别是PD，PC的中点，

所以EF为△PCD的中位线，（2分）

所以EF∥CD.（3分）

又EF⊄平面ABC，CD⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC.（7分）

（2）因为平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD＝PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，

所以AB⊥平面PCD.（11分）

又CE⊂平面PCD，所以AB⊥CE.（14分）

16.

（1）由正弦定理＝＝，且＝.（1分）

得＝，（2分）

所以sinA＝2－cosA，

即sinA＋cosA＝2，2sin＝2，

所以sin＝1.（4分）

因为A∈（0，π），所以A＋∈，

所以A＋＝，即A＝.（6分）

（2）在△ABC中，因为A＝，

所以B∈，

B＋∈，则sin>

0.

又因为cos＝，所以sin＝＝.（8分）

因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，

所以cosC＝cos（π－A－B）＝－cos（A＋B）＝－cos（10分）

＝－cos＝－coscos＋sinsin

＝－×

＋×

＝.（14分）

17.设圆锥形容器的底面半径为r米，高为h米，母线为l米，侧面积为S平方米，容积为V立方米，则V＝36π.

（1）由r＝6，得V＝πr2h＝36π，则h＝3，（1分）

所以S＝πrl＝πr＝6π＝18π，（2分）

又底面积为πr2＝36π（平方米），（3分）

故该容器的表面积为18π＋36π＝18（2＋）π平方米．（4分）

答：

该容器的表面积为18（2＋）π平方米．（5分）

（2）因为V＝πr2h＝36π，

所以r2＝＝，其中h>

0，

所以S＝πrl＝πr＝π

＝π＝π

＝π.（8分）

记f（h）＝＋h，令f′（h）＝－＋1＝＝0，得h＝6.（10分）

当h∈（0，6）时，f′（h）<

0，f（h）在（0，6）上单调递减；

当h∈（6，＋∞）时，f′（h）>

0，f（h）在（6，＋∞）上单调递增，（12分）

所以当h＝6时，f（h）最小，此时S最小．（13分）

当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．（14分）

18.

（1）由椭圆C的左、右顶点分别为A1（－2，0），A2（2，0），右准线方程为x＝4得，

a＝2，＝4，故c＝1，b2＝a2－c2＝3，（2分）

所以椭圆C的方程为＋＝1.　①（3分）

（2）设直线A1D：

y＝k（x＋2）（k>

0）②，则与右准线x＝4的交点D（4，6k）．

又A2（2，0），所以设直线A2D：

y＝3k（x－2），

联立①得

解得G，（5分）

则直线OG的斜率为kOG＝.③

因为OG⊥A1D，所以·

k＝－1.

又k>

0，所以k＝，（7分）

则直线A1D的方程为y＝（x＋2）．（8分）

（3）由

（2）中③知，设直线OG：

y＝x，

联立②得

解得H.（10分）

联立①②，得

解得P.（12分）

因为＝λ，

所以（xH＋2，yH）＝λ（xP＋2，yP），则yH＝λyP，

λ＝＝f（k）＝＝＝＝.（14分）

因为f（k）在（0，＋∞）上为减函数，（15分）

所以λ∈.（16分）

19.因为f（x）＝x2＋（2－a）x－alnx，

所以f′（x）＝.（1分）

（1）因为曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为1，

所以f′

（1）＝2（2－a）＝1，

解得a＝.（2分）

（2）①当a≤0时，f′（x）>

0在（0，＋∞）上恒成立，即f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

故函数f（x）不存在极值．（3分）

②当a>

0时，令f′（x）＝0，得x＝.

（5分）

则f（x）min＝f＝a－－aln≤.

因为a>

0，所以－－ln≤0.

令g（a）＝－－ln＝＋ln2－－lna，则g′（a）＝－－<

则g（a）在（0，＋∞）上单调递减，（7分）

又g

（2）＝0，所以g（a）≤g

（2）＝0，则a≥2，

则实数a的最小值为2.（8分）

（3）记f（x）在[1，2]上的值域为A，在[4，8]上的值域为B，

“任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[4，8]，使得f（x1）＝f（x2）成立”等价于“A⊆B”．

①当≤1或≥8，即a≤2或a≥16时，由

（2）知f（x）在[1，8]上为单调函数，不合题意；

（9分）

②当1<

≤2，即2<

a≤4时，由

（2）知f（x）在上单调递减，在上单调递增，

故f∈A，但f∉B，不合题意；

（10分）

③当2<

≤4，即4<

a≤8时，A＝[f

（2），f

（1）]，B＝[f（4），f（8）]，

由A⊆B，得

则解得（11分）

因为0<

ln2<

1，所以2<

2＋ln2<

3，即4<

<

8.

又因为e>

2.7，计算得e3>

24，所以e>

e3>

24，

即>

ln24＝4ln2，即7>

8ln2，

也即21>

24ln2，即－8＝>

0，即>

8，

所以≤a≤8.（13分）

④当4<

8，即8<

a<

16时，由A⊆B，得f（8）≥f

（1），

所以a≤<

＝11<

16，

则8<

a≤.（15分）

综上，≤a≤.（16分）

20.

（1）因为当n≥3且n∈N*时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝λ（n－1）a1an恒成立，

所以当n＝3时，a1a2＋a2a3＝2λa1a3，

因为数列{an}各项都不为0，

所以同除a1a2a3得

＝＋.（1分）

又因为，，成等差数列，所以＝＋，（2分）

比较得＝，所以λ＝1.（3分）

（2）①当λ＝1，n＝3时，a1a2＋a2a3＝2a1a3，①

整理得＋＝，

则－＝－.②（4分）

当n＝4时，a1a2＋a2a3＋a3a4＝3a1a4，③

③－①得a3a4＝3a1a4－2a1a3，

所以＝－，

又＋＝，

所以－＝－.④（5分）

当n≥3时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝（n－1）a1an.

a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＋anan＋1＝na1an＋1两式相减得anan＋1＝na1an＋1－（n－1）a1an.

因为an≠0，所以＝－.（6分）

进一步有＝－，

所以－＝－，

即－＝－（n≥3），⑤（7分）

由②④⑤得－＝－对任意的正整数n≥1恒成立，（8分）

所以数列成等差数列．（9分）

②设数列的公差为d，令cn＝，c1＝＝c（c≠0），则b1＝c1＝c，b2＝c2＝c＋d，d＝c2－c1＝b2－b1＝cq－c.

当i＝2时，b3＝c2＝b2，从而q＝1，b2＝b1，

所以a1＝a2，与已知不符；

当i＝3时，由b3＝c3，cq2＝c＋2d＝c＋2c（q－1），得q2＝1＋2（q－1），

所以q＝1，与已知不符；

（11分）

当i＝1时，由b3＝c1，cq2＝c，得q2＝1，则q＝－1（上面已证q≠1）为整数．

数列{bn}为c，－c，c，…；

数列{cn}中，c1＝c，c2＝－c，公差d＝－2c.

数列{bn}中的每一项都是{cn}中的项（c＝c1，－c＝c2）．（12分）

当i≥4时，由b3＝ci，cq2＝c＋（i－1）d＝c＋（i－1）·

c（q－1），得q2－（i－1）q＋（i－2）＝0，所以q＝1（舍去），q＝i－2（i≥4）为正整数．（14分）

因为cq＝c＋d，b3＝ci，

对任意的正整数k≥4，欲证明bk是数列{cn}中的项，只需证

bk＝cqk－1＝ci＋xd＝b3＋x（cq－c）＝cq2＋x（cq－c）有正整数解x.

等价于qk－1＝q2＋x（q－1），x＝为正整数．

因为x＝＝表示首项为q2，公比为q＝i－2（i≥4），共k－3（k≥4）项的等比数列的和，所以x为正整数，

所以数列{bn}中的每一项都是数列{cn}也即中的项．（16分）

21.A.因为AA－1＝，

所以＝，（2分）

所以a＝1，b＝，c＝－，则A＝，（5分）

则A2＝＝.（10分）

B.由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得M（2，0），N（3，），

则直线l的方程为y＝（x－2），

曲线C：

（x－2）2＋（y＋）2＝4，圆心为（2，－），半径r＝2，

则圆心到直线l的距离d＝＝，（6分）

则直线l被曲线C截得的弦长为2＝.（10分）

C.因为a>

0，b>

0，c>

0，a＋b＋c＝2，由柯西不等式得

[（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）]（＋＋）

＝[（）2＋（）2＋（）2]·

[＋＋]

≥[＋＋]2（5分）

＝（a＋b＋c）2＝22，（8分）

则＋＋≥＝＝1，

所以＋＋≥1.（10分）

22.因为抛物线方程为y2＝4x，所以F（1，0）．（1分）

（1）设M（x，y），A（x0，y0）．

因为M为线段AF的中点，所以x＝，y＝，（2分）

则x0＝2x－1，y0＝2y代入抛物线方程得y2＝2x－1，

即点M的轨迹方程为y2＝2x－1.（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1>

0，y2<

设△AOB和△BOF的面积分别为S1，S2，

因为△AOB的面积是△BOF面积的3倍，即S1＋S2＝3S2，所以S1＝2S2.

因为S1＝OF·

y1，S2＝OF·

|y2|＝－OF·

y2，所以y1＝－2y2.①（6分）

设AB：

x＝ty＋1（t>

0）②，与y2＝4x联立，消去x得y2－4ty－4＝0，

y1，2＝2t±

2，y1＋y2＝4t，③

y1y2＝－4，④（8分）

由①③④得t＝，

代入②，得直线l：

y＝2（x－1）；

同理当y1<

0，y2>

0时，得直线l：

y＝－2（x－1）．

综上，直线l的方程为y＝±

2（x－1）．（10分）

23.

（1）当n＝1时，a2＝a1（a1－1）＋1＝3＝a1＋1成立．

假设n＝k时，结论成立，即ak＋1＝akak－1…a2a1＋1.

当n＝k＋1时，ak＋2＝ak＋1（ak＋1－1）＋1＝ak＋1·

（akak－1…a2a1＋1－1）＋1＝ak＋1akak－1…a2a1＋1，

则当n＝k＋1时，命题成立．

综上，an＋1＝anan－1an－2…a2a1＋1.（4分）

（2）要证：

an＋1>

nn＋1，

由

（1）知an＋1＝anan－1an－2…a2a1＋1，

只需证：

anan－1an－2…a2a1>

nn，下面用数学归纳法证明：

当n＝1，2，3时，a1＝2，a2＝3，a3＝7，则2>

1，2×

3>

22，2×

3×

7>

33.

假设当n＝k（k≥3）时，结论成立，

即akak－1ak－2…a2a1>

kk，（6分）

则当n＝k＋1时，ak＋1ak…a2a1＝（akak－1…a2a1＋1）akak－1…a2a1

>

（akak－1ak－2…a2a1）2>

k2k.（7分）

设f（x）＝2xlnx－（x＋1）ln（x＋1）（x≥3），

则f′（x）＝ln＋1>

ln＋1＝ln（x－1）＋1≥ln2＋1>

所以f（x）为增函数，

则f（x）≥f（3）＝2（3ln3－2ln4）＝2ln>

则2klnk>

（k＋1）ln（k＋1），lnk2k>

ln（k＋1）k＋1，即k2k>

（k＋1）k＋1，

则ak＋1ak…a2a1>

则当n＝k＋1时，命题成立．（9分）

综上，anan－1an－2…a2a1>

nn，所以an＋1>

nn＋1.（10分）