高中数学函数专题训练Word下载.docx
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函数f（x）＝|x|的定义域是R，而函数g（x）＝的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），它们是两个不同的函数．所以，答案为C．
2.1.5 函数y＝x＋的图象是（ ）．
解析 函数y＝所以，答案为C．
2.1.6 函数y＝的图象是（ ）．
解析 函数y＝即为y＝1－，它的定义域是{x|x≠1，x∈R}，值域是{y|y≠1，y∈R}，由描点法可得此函数的图象是B．
2.1.7 已知函数f（x），g（x）分别由下表给出
x
1
2
3
f（x）
g（x）
（1）求f[g
（1）]的值；
（2）求满足f[g（x）]>
g[f（x）]的x的值．
解析
（1）由已知可得g
（1）＝3，则f[g
（1）]＝f（3）＝1．
（2）f[g
（1）]＝1，而g[f
（1）]＝3；
f[g
（2）]＝3，g[f
（2）]＝1；
f[g（3）]＝1，g[f（3）]＝3，所以，满足f[g（x）]>
g[f（x）]的x的值是x＝2．
2.1.8 已知函数f（x）＝若a≠b，则[（a＋b）＋（a－b）·
f（a－b）]的值（ ）．
（A）一定是a（B）一定是b
（C）是a，b中较大的数（D）是a，b中较小的数
解析 若a>
b则[（a＋b）＋（a－b）f（a－b）]＝[（a＋b）＋（a－b）]＝a；
若a<
b，则[（a＋b）＋（a－b）f（a－b）]＝[（a＋b）－（a－b）]＝b，所以，答案为C．
2.1.9 已知函数f（x）＝ g（x）＝则f（x）＋g（x）＝ ．
解析 f（x）＋g（x）＝
2.1.10 已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，f（－2）＝10，则f
（2）＝ ．
解析 由已知可得－32－8a－2b－8＝10，即8a＋2b＝－50，f
（2）＝32＋8a＋2b－8＝－26．
2.1.11 设函数f（x）＝若f（x）＝3，则x＝ ．
解析 若x＋2＝3，则x＝1，与x≤－1矛盾；
若x2＝3，则x＝±
，由－1<
x<
2得x＝；
若2x＝3，则x＝，与x≥2矛盾，所以，只有当x＝时，f（x）＝3．
2.1.12 写出下列函数的值域：
（1）y＝1－：
；
（2）y＝：
（3）y＝：
（4）y＝x－1（1≤x≤4且x∈Z）：
．
解析
（1）函数y＝1－的值域是{y|y≠1，y∈R}．
（2）由2x2－4x＋3＝2（x－1）2＋1≥1得函数y＝的值域是（0，5]．
（3）由2x2－4x＋1＝2（x－1）2－1≥－1得函数y＝的值域是{y|y>
0或y≤－1}．
（4）函数y＝x－1（1≤x≤4且x∈Z）的值域是{0，1，2，3}．
2.1.13 已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离s（千米）表示成时间t（小时）的函数为（ ）．
（A）s＝60t（B）s＝60t＋50t
（C）s＝（D）s＝
解析 由匀速运动中路程与时间的关系可得答案为D．
2.1.14 设[x]表示不超过x的最大整数，对于给定的n∈N*，定义，x∈[1，∞），则当x∈[，3）时，函数的值域是（ ）．
（A）（B）
（C）∪[28，56）（D）∪
解析 若≤x<
2，则[x]＝1，此时，，则4<
≤；
若2≤x<
3，则[x]＝2，，则<
≤28．
于是，所求值域是∪，答案为D．
2.1.15 在下列四个函数中，满足性质：
“对于区间[1，2]上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x1）－f（x2）|<
|x1－x2|恒成立”的只有（ ）．
（A）f（x）＝（B）f（x）＝|x|（C）f（x）＝2x（D）f（x）＝x2
解析 任取x1，x2∈[1，2]（x1≠x2），对于函数f（x）＝，|f（x1）－f（x2）|＝＝<
|x1－x2|；
对于函数f（x）＝|x|，|f（x1）－f（x2）|＝||x1|－|x2||＝|x1－x2|；
对于函数f（x）＝2x，|f
（1）－f
（2）|＝2>
1＝|x1－x2|；
对于函数f（x）＝x2，|f（x1）－f（x2）|＝||＝|x1＋x2||x1－x2|>
2|x1－x2|>
|x1－x2|，所以，答案为A．
2.1.16 函数f（x）＝的定义域是 ．
解析 函数自变量x应满足解得
所以，函数f（x）的定义域是{x|x>
3或x≤1}．
2.1.17 已知a<
0，则函数f（x）＝的定义域是 ．
解析 函数f（x）＝的自变量x应满足由a<
0及x2≤a2得a≤x≤－a，则x＋a≤0，于是，由|x＋a|＋a≠0得－x－a＋a≠0，所以，原函数的定义域是[a，0）∪（0，－a]．
2.1.18 设满足y≥|x－1|的点（x，y）的集合为A，满足y≤－|x|＋2的点（x，y）的集合为B，则A∩B所表示的图形的面积是 ．
解析 函数y＝|x－1|和y＝－|x|＋2的图象形成的封闭区域是由函数y＝x－1，y＝－x＋1，y＝－x＋2，y＝x＋2围成的矩形，此矩形的顶点是，（1，0），，（0，2），它的面积是．
2.1.19 从装满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液后又用水填满，这样继续进行．如果倒完第k次（k≥1）时共倒出纯酒精x升，设倒完第k＋1次时共倒出纯酒精f（x）升，则函数f（x）的表达式为 ．
解析 由于倒完第k次共倒出纯酒精x升，则第k＋1次倒时，容器中还有纯酒精20－x升，第k＋1次倒出了纯酒精（20－x），所以，f（x）＝x＋（20－x）＝1＋x（1≤x<
20）．
2.1.20 设函数f（x）＝x2＋x＋的定义域是[n，n＋1]（n是正整数），则f（x）的值域中整数的个数是 ．
解析 f（x）＝在[n，n＋1]上单调递增，f（n＋1）＝n2＋3n＋，f（n）＝n2＋n＋，函数f（x）值域中的最大整数是n2＋3n＋2，最小整数是n2＋n＋1，所以，值域中共有n2＋3n＋2－（n2＋n）＝2n＋2个整数．
2.1.21 满足f（x）＝x的x称为函数f（x）的不动点．已知f（x）＝（a，b∈R）有绝对值相等，符号相反的不动点，则a，b所满足的条件是 ．
解析 由已知可得关于x的方程＝x，即x2＋（b－2）x－a＝0有两个互为相反数的根x1和x2，于是，x1＋x2＝－（b－2）＝0，解得b＝2，此时，原方程为x2＝a，则必须有a>
0，所以，a和b应满足b＝2且a>
0．
2.1.22 记实数a1，a2，
，an中的最小值是min{a1，a2，
，an}，例如min{－1.1，－2.3，6}＝－2.3，那么，定义域为R的函数f（x）＝min{x，2－x2}的最大值是 ．
题2.1.22
解析 由函数f（x）的定义可作出其图象（如图所示）：
抛物线y＝2－x2与直线y＝x的一个交点是（1，1），所以，当x＝1时，f（x）取得最大值1．
2.1.23 求函数y＝的定义域．
解析 函数的自变量x应满足
若＋2＝0，则有x＋8＋4＋4＝5x＋20，＝x＋2，解得x＝1或x＝－4，经检验，x＝－4是方程＋2＝的增根，亦即使得＋2＝0成立的实数只有x＝1，所以，函数的定义域是{x|x≥－4且x≠1}．
2.1.24 求函数y＝的定义域（其中k是常数）．
解析 函数的自变量x应满足即
所以，若2k>
2，即k>
1时，函数f（x）的定义域是[2k，＋∞）；
若－2≤2k≤2，即－1≤k≤1时，函数f（x）的定义域是（2，＋∞）；
若2k<
－2，即k<
－1时，函数f（x）的定义域是[2k，－2）∪（2，＋∞）．
2.1.25 作出下列函数的图象：
（1）y＝
（2）y＝；
（3）y＝（4）y＝2－|x－x2|．
解析
（1）函数y＝的图象如图2.1.25
（1）所示．
题2.1.25
（1） 题2.1.25
（2）
（2）函数y＝即为y＝其图象如图2.1.25
（2）所示．
（3）函数y＝的图象如图2.1.25（3）所示．
题2.1.25（3） 题2.1.25（4）
（4）函数y＝2－|x－x2|即为y＝其图象如图2.1.25（4）所示．
2.1.26 作函数y＝的图象．
题2.1.26
解析 函数应满足|x|－x≠0，即此函数的定义域是x<
0，所以，y＝，即y＝－．若x＝－，y＝；
x＝－，y＝0，x＝－1，y＝，x＝－2，y＝，函数图象如图2.1.26所示．
2.1.27 求函数y＝的值域．
解析 函数y＝＋1＋|－1|＝所以，函数的值域是{y|y≥2}．
2.1.28 集合M是实数集R的任意一个子集，函数fM（x）在实数集M上定义如下：
fM（x）＝求证：
对任意以实数为元素的集合A，B，必有fA∩B（x）＝fA（x）fB（x）．
解析 由函数fM（x）在实数集M上定义可得fA∩B（x）＝
若x∈A且x∈B，即x∈A∩B时，有fA（x）＝1且fB（x）＝1，则fA（x）fB（x）＝1；
若x∈A且x∉B，则fA（x）＝1而fB（x）＝0，那么fA（x）fB（x）＝0；
若x∉A且x∈B，则fA（x）＝0而fB（x）＝1，那么fA（x）fB（x）＝0；
若x∉A且x∉B，则fA（x）＝0且fB（x）＝0，那么fA（x）fB（x）＝0，
对于“x∈A且x∉B”，“x∉A且x∈B”，“x∉A且x∉B”，都可得x∉A∩B，
则当x∉A∩B时，必有fA（x）fB（x）＝0，那么，fA（x）fB（x）＝
所以，对任意以实数为元素的集合A，B，必有fA∩B（x）＝fA（x）fB（x）．
2.1.29 已知f，则f（x）的解析式可以是（ ）．
（A）（B）－（C）（D）－
解析 令＝t，则x＝，于是f（t）＝，即f（x）＝，答案为C．
2.1.30 已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则（ ）．
（A）b∈（－∞，0）（B）b∈（0，1）
（C）b∈（1，2）（D）b∈（2，＋∞）
题2.1.30
解析 由函数图象可知方程f（x）＝0的根为0、1、2，于是可设f（x）＝ax（x－1）（x－2），则ax3－3ax2＋2ax＝ax3＋bx2＋cx＋d，b＝－3a，又当x>
2时有f（x）>
0，于是有a>
0，所以，b<
0，答案为A．
2.1.31 函数y＝f（2x－1）的定义域是[0，1），则函数y＝f（1－3x）的定义域是 ．
（A）（B）
（C）（D）
解析 由0≤x<
1得－1≤2x－1<
1，令t＝2x－1，于是，函数y＝f（t）的定义域是[－1，1），则函数y＝f（1－3x）的自变量应满足－1≤1－3x<
1，所以，它的定义域是，答案为C．
2.1.32 已知函数f（x）＝2mx2－2（4－m）x＋1，g（x）＝mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ）．
（A）（0，2）（B）（0，8）（C）（2，8）（D）（－∞，0）
解析 若m＝0，则f（x）＝－8x＋1，g（x）＝0，不符合要求；
若m<
0，则g（x）＝mx，当x>
0时，g（x）<
0，当x<
0时，g（x）>
0，而此时函数f（x）＝2mx2－2（4－m）x＋1的图象是开口向下的抛物线，一定存在x0>
0有f（x0）<
0，所以，m<
0不符合要求；
若m>
0，当x≤0时，g（x）≤0，函数f（x）＝2mx2－2（4－m）x＋1当x≤0时必须有f（x）>
0恒成立，而此时函数f（x）的图象开口向上，于是，必须有或解得4≤m<
8或0<
m<
4，所以，m的取值范围是0<
8，答案为B．
2.1.33 给出下面三个函数：
（1）y＝；
（2）y＝|x－1|－|x＋3|；
（3）y＝，在这些函数中，其值域中仅含有有限个整数的函数有（ ）个．
（A）0（B）1（C）2（D）3
解析 函数y＝即y＝的定义域是R，值域是[1，＋∞），值域中有无穷多个正整数；
函数y＝|x－1|－|x＋3|即为y＝它的值域是[－4，4]，其中只有有限个整数；
由函数y＝可得（y－1）x2＋（2－3y）x＋3y－4＝0，若y＝1，则x＝－1，若y≠1，则关于x的方程其判别式Δ＝（2－3y）2－4（y－1）（3y－4）≥0，即3y2－16y＋12≤0，解得≤y≤，其中满足y≠1的整数有y＝2，3，4，并且当y＝2时，解得x＝2±
，y＝3时，x＝1或x＝，y＝4时，x＝2或x＝，所以，在函数y＝的值域中，有且仅有4个整数．所以，在给出的三个函数中，值域中仅含有有限个整数的函数有2个，答案为C．
2.1.34 已知函数y＝f（x）的定义域是R，则函数y＝f（x－1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象一定关于（ ）．
（A）直线y＝0对称（B）直线x＝0对称
（C）直线y＝1对称（D）直线x＝1对称
解析 设（x0，y0）是函数y＝f（x－1）图象上的任意一点，则y0＝f（x0－1），点（x0，y0）关于直线x＝1的对称点是（2－x0，y0），f[1－（2－x0）]＝f（x0－1）＝y0，所以，点（2－x0，y0）在函数y＝f（1－x）的图象上，函数y＝f（x－1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象一定关于直线x＝1对称，答案为D．
2.1.35 已知集合A＝{y|y＝x2－4x＋6，x∈R，y∈N*}，集合B＝{y|y＝－x2－2x＋18，x∈R，y∈N*}，则A∩B＝ ．
解析 y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2，于是A＝{2，3，4，5，6，
}，y＝－x2－2x＋18＝－（x＋1）2＋19，则B＝{19，18，17，16，15，
，1}，所以，A∩B＝{2，3，4，5，
，15，16，17，18，19}．
2.1.36 若函数y＝3x2－31x＋10的自变量都是正整数，则此函数的最小值是 ．
解析 函数y＝3x2－31x＋10即为y＝3－，而x∈N*，所以，当x＝5时，y最小值＝－70．
2.1.37 已知函数f（x）＝x2＋ax＋b满足
|f
（1）|＝|f
（2）|＝|f（3）|＝，则f（x）＝ ．
解析 由已知可得二次函数f（x）的图象的顶点坐标是，并有f
（1）＝f（3）＝，则a＝－4，b＝，所以，f（x）＝x2－4x＋．
2.1.38 已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）当x＝3时取得最小值4，且其图象在y轴上的截距是13，则a＝ ，b＝ ，c＝ ．
解析 由已知可设f（x）＝a（x－3）2＋4，当x＝0时y＝13，解得a＝1，即f（x）＝x2－6x＋13，所以，a＝1，b＝－6，c＝13．
2.1.39 已知一个二次函数，当x＝1时有最大值2，它的图象截x轴所得到的线段长是，则此二次函数的解析式是 ．
解析 由已知可得二次函数图象与x轴两个交点的横坐标分别是1－和1＋，则可设其解析式为f（x）＝a，并有f
（1）＝2，解得a＝－4，所以，该二次函数的解析式是f（x）＝－4x2＋8x－2．
2.1.40 若函数f（x）＝的定义域是R，则k的取值范围是 ．
解析 若k＝0，则f（x）＝，定义域是R．若k≠0，则应有16k2－12k<
0，解得0<
k<
，所以，k的取值范围是0≤k<
．
2.1.41 函数f（x）的定义域是[0，1]，则函数f（1－2x）的定义域是 ．
解析 由已知得函数y＝f（1－2x）应满足0≤1－2x≤1，即它的定义域是．
2.1.42 函数f（x）＝2x＋1－的最大值是 ．
解析 f（x）＝－（＋1）2＋5，而≥0，所以，当x＝时，f（x）取得最大值．
2.1.43 函数y＝（x2－x）2＋4（x2－x）＋3的最小值是 ．
解析 y＝（x2－x＋2）2－1，而x2－x＋2＝≥，所以，y≥－1，当x＝时，y取得最小值．
2.1.44 已知t为常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝ ．
解析 记f（x）＝（x－1）2－1－t，可得函数y＝|f（x）|的图象关于直线x＝1对称．若－1－t≥0即t≤－1时，则函数y＝|x2－2x－t|在[0，3]上最大值为f（3）＝3－t＝2，则t＝1，矛盾．若－1－t<
0且f（3）＝3－t≥0，即－1<
t≤3时，如果1＋t≤3－t，亦即－1<
t≤1时，函数y＝|f（x）|当x＝3时取得最大值3－t＝2，解得t＝1．如果1＋t>
3－t，亦即1<
t≤3时，函数y＝|f（x）|当x＝1时取得最大值1＋t＝2，矛盾．如果3－t<
0，则函数y＝|f（x）|当x＝1时取得最大1＋t＝2，矛盾．所以，t＝1．
2.1.45 若x，y∈R，且3x2＋2y2＝2x，则x2＋y2的最大值是 ．
解析 由2y2＝2x－3x2≥0得0≤x≤，x2＋y2＝－＋x＝－（x－1）2＋，所以，当x＝时，x2＋y2取得最大值．
2.1.46 已知函数y＝x＋3的定义域是[0，＋∞），则其最小值是 ．
解析 由已知可得y2－2xy＋x2＝9x2－18x＋27，即8x2＋（2y－18）x＋27－y2＝0，关于x的方程有实数解，则判别式Δ＝（2y－18）2－32（27－y2）≥0，即y2－2y－15≥0，（y－5）（y＋3）≥0，由原函数的定义域是[0，＋∞）可知有y>
0，于是，y≥5，若y＝5，则4x2－4x＋1＝0，解得x＝．
所以，当x＝时，函数y＝x＋3取得最小值5．
2.1.47 设f（x）＝f1（x）＝，且fn（x）＝fn－1[f（x）]，则f
（1）＋f
（2）＋
＋f（n）＋f1
（1）＋f2
（1）＋
＋fn
（1）＝ ．
解析 f2（x）＝f1[f（x）]＝，
f3（x）＝f2[f（x）]＝，
f4（x）＝f3[f（x）]＝．
由此可得fn（x）＝，则f（k）＋fk
（1）＝＝1，所以，f
（1）＋f
（2）＋
＋fn
（1）＝n．
2.1.48 定义在N*上的函数f（n）满足f
（1）＝1，且f（n＋1）＝则f（2008）＝ ．
解析 f（2008）＝f（2007＋1）＝f（2007）＝f（2006）＝f（2005）＝f（2004）＝f（2003）＝f（2002）＝f（2001）＝
＝f
（2）＝f
（1）＝．
2.1.49 集合A＝{（x，y）|y＝a|x|，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝x＋a，x∈R}，已知集合A∩B中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是 ．
解析 由函数f（x）＝a|x|的图象和函数g（x）＝x＋a的图象的位置关系可知，使集合A∩B中有且仅有一个元素的常数a的取值范围是－1≤a≤1．
2.1.50 已知函数f（x）满足2f（x）＋3f（－x）＝2x2－3x＋5，则f（x）＝ ．
解析 由已知可得
解得f（x）＝x2＋3x＋1．
2.1.51 如图所示，已知四边形ABCD在映射f：
（x，y）→（x－1，y＋2）作用下的象集为四边形A'
B'
C'
D'
，四边形ABCD的面积等于6，试求四边形A'
的面积．
题2.1.51
解析 映射f：
（x，y）→（x－1，y＋2）的作用是将点P（x，y）向左平移一个单位并向上平移两个单位，四边形ABCD与四边形A'
必定全等，所以，四边形A'
的面积等于6．
2.1.52 已知m为实数，将函数f（x）＝x2－2mx＋m－1（0≤x≤2）的最小值记为g（m），试求g（m）的最大值．
解析 f（x）＝（x－m）2－m2＋m－1，若m<
0，则当x＝0时f（x）取得最小值m－1；
若0≤m≤2，则当x＝m时f（x）取得最小值－m2＋m－1；
2，则当x＝2时f（x）取得最小值3－3m，所以，g（m）＝
当m<
0时，g（m）<
－1，当m>
2时，g（m）<
－3，当0≤m≤2时，g（m）＝－，此时－3≤g（m）≤－，所以，g（m）的最大值是－．
2.1.53 已知m，α，β都是实数，α＋β＝m，αβ＝，求α2＋β2的最小值．
解析 α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝m2－（m＋2）＝，而α，β是关于x的方程x2－mx＋＝0的两个实数根，于是，Δ＝m2－（m＋2）≥0，解得m≥2或m≤－1，所以，当m＝－1时，α2＋β2取得最小值．
2.1.54 已知函数f（x）＝x2－2kx＋2在x≥－1时恒有f（x）≥k，求实数k的取值范围．
解析 关于x的不等式x2－2kx＋2≥k，即x2－2kx＋2－k≥0在x≥－1时恒成立，则有或解得－1≤k≤1或－3≤k<
－1，所以，k的取值范围是－3≤k≤1．
2.1.55 已知f（x）＝ax2＋bx（a、b为常数，a≠0）满足f
（2）＝0，且f（x）＝x有相等的实数根，
（1）求f（x）；
（2）是否存在m、n（m<
n），使f（x）的定义域为[m，n]，而值域为[2m，2n]?
解析
（1）f（x）＝x即为ax2＋（b－1）x＝0有相等的实数根，则Δ＝（b－1）2＝0，又f
（2）＝4a＋2b＝0，解得a＝－，b＝1，即f（x）＝－x2＋x．
（2）因为f（x）＝－x2＋x＝－（x－1
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