知识梳理与自测人教A版文科数学《122 不等式的证明》 第2课时Word文档格式.docx

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5．放缩法

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．

概念方法微思考

1．综合法与分析法有何内在联系？

提示　综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．

2．分析法的过程中为什么要使用“要证”，“只需证”这样的连接“关键词”？

提示　因为“要证”“只需证”这些词说明了分析法需要寻求的是充分条件，符合分析法的思维是逆向思维的特点，因此在证题时，这些词是必不可少的．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）当a≥0，b≥0时，≥.（　√　）

（2）用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”．（　×

　）

（3）若实数x，y适合不等式xy>

1，x＋y>

－2，则x>

0，y>

0.（　√　）

（4）若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.（　√　）

题组二　教材改编

2．[P35例3]已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则＋的最小值为（　　）

A．1B．2

C．4D．8

答案　B

解析　因为a，b∈R＋，且a＋b＝2，

所以（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，

所以＋≥＝2，即＋的最小值为2（当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立）．故选B.

3．[P21例2]若a，b，m∈R＋，且a>

b，则下列不等式一定成立的是（　　）

A.≥B.>

C.≤D.<

解析　因为a，b，m∈R＋，且a>

b.

所以－＝>

0，即>

，故选B.

题组三　易错自纠

4．已知a＋b＋c>

0，ab＋bc＋ac>

0，abc>

0，用反证法求证a>

0，c>

0时的反设为（　　）

A．a<

0，b<

0，c<

0B．a≤0，b>

C．a，b，c不全是正数D．abc<

答案　C

5．若a>

1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是（　　）

A．x>

yB．x<

yC．x≥yD．x≤y

答案　A

解析　x－y＝a＋－

＝a－b＋＝.

1，得ab>

1，a－b>

0，

所以>

0，即x－y>

0，所以x>

y.故选A.

6．若a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a>

cB．a>

c>

bC．b>

aD．c>

a>

b

解析　“分子”有理化得a＝，b＝，

c＝，∴a>

c.

题型一　用综合法与分析法证明不等式

例1

（1）已知x，y均为正数，且x>

y，求证：

2x＋≥2y＋3；

（2）设a，b，c>

0且ab＋bc＋ca＝1，求证：

a＋b＋c≥.

证明　

（1）因为x>

0，x－y>

2x＋－2y＝2（x－y）＋

＝（x－y）＋（x－y）＋

≥3＝3（当且仅当x－y＝1时，等号成立），

所以2x＋≥2y＋3.

（2）因为a，b，c>

所以要证a＋b＋c≥，

只需证明（a＋b＋c）2≥3.

即证a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，

而ab＋bc＋ca＝1，

故需证明a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3（ab＋bc＋ca），

即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

而ab＋bc＋ca≤＋＋

＝a2＋b2＋c2（当且仅当a＝b＝c时等号成立）成立，

所以原不等式成立．

思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．

跟踪训练1（2017·

全国Ⅱ）已知a>

0，a3＋b3＝2，证明：

（1）（a＋b）（a5＋b5）≥4；

（2）a＋b≤2.

证明　

（1）（a＋b）（a5＋b5）＝a6＋ab5＋a5b＋b6

＝（a3＋b3）2－2a3b3＋ab（a4＋b4）

＝4＋ab（a4＋b4－2a2b2）

＝4＋ab（a2－b2）2≥4.

（2）因为（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

＝2＋3ab（a＋b）

≤2＋（a＋b）

＝2＋（当且仅当a＝b时，取等号），

所以（a＋b）3≤8，因此a＋b≤2.

题型二　放缩法证明不等式

例2

（1）设a>

0，<

，|y－2|<

，求证：

|2x＋y－4|<

a.

证明　由a>

0，|x－1|<

，可得|2x－2|<

，

又|y－2|<

∴|2x＋y－4|＝|（2x－2）＋（y－2）|≤|2x－2|＋|y－2|<

＋＝a.

即|2x＋y－4|<

（2）设n是正整数，求证：

≤＋＋…＋<

1.

证明　由2n≥n＋k>

n（k＝1,2，…，n），得

≤<

.

当k＝1时，≤<

；

当k＝2时，≤<

…

当k＝n时，≤<

∴＝≤＋＋…＋<

＝1.

∴原不等式成立．

思维升华　

（1）在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧，常见的放缩方法有：

①变换分式的分子和分母，如<

，>

，<

，上面不等式中k∈N*，k>

1；

②利用函数的单调性；

③利用结论，如“若0<

a<

b，m>

0，则<

.”

（2）使用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩法结合在一起应用，利用放缩法时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩．

跟踪训练2设f（x）＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|<

1，求证：

|f（x）－f（a）|<

2（|a|＋1）．

证明　|f（x）－f（a）|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·

|x＋a－1|<

|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<

1＋|2a|＋1＝2（|a|＋1），即|f（x）－f（a）|<

1．已知函数f（x）＝|x－a|.

（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥7－|x－1|；

（2）若f（x）≤1的解集为[0,2]，＋＝a（m>

0，n>

0），求证：

m＋4n≥2＋3.

（1）解　当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，

∴或或

解得x≤－2或x≥5.

∴不等式的解集为（－∞，－2]∪[5，＋∞）．

（2）证明　由f（x）≤1，即|x－a|≤1，

解得a－1≤x≤a＋1，而f（x）≤1的解集是[0,2]，

∴解得a＝1，

∴＋＝1（m>

0），

∴m＋4n＝（m＋4n）＝3＋＋≥2＋3.

当且仅当m＝＋1，n＝时等号成立．

2．已知函数f（x）＝|x－3|.

（1）求不等式f（x）<

x＋1的解集M；

（2）设a，b∈M，证明：

（a2＋1）（b2＋1）>

2a2＋2b2.

（1）解　当x≥3时，|x－3|<

x＋1等价于x－3<

x＋1，不等式恒成立，所以x≥3；

当x<

3时，|x－3|<

x＋1等价于3－x<

x＋1，即x>

1，

所以1<

x<

3，

综上可知，不等式f（x）<

x＋1的解集为M＝{x|x>

1}．

（2）证明　因为（a2＋1）（b2＋1）－（2a2＋2b2）

＝（ab）2＋a2＋b2＋1－2a2－2b2

＝（ab）2－a2－b2＋1＝（a2－1）（b2－1），

又因为a，b∈M，所以a>

1，b>

因此a2>

1，b2>

1，a2－1>

0，b2－1>

所以（a2－1）（b2－1）>

所以原不等式（a2＋1）（b2＋1）>

2a2＋2b2成立．

3．（2018·

河北衡水中学模拟）已知函数f（x）＝|x－5|，g（x）＝5－|2x－3|.

（1）解不等式f（x）<

g（x）；

（2）设F＝f（x2＋y2）－g（3y＋12），求证：

F≥2.

（1）解　由题意得原不等式为|x－5|＋|2x－3|<

5，

等价于或

或

解得x∈∅或≤x<

3或1<

综上可得1<

3.

∴原不等式的解集为{x|1<

3}．

（2）证明　F＝|x2＋y2－5|＋|2（3y＋12）－3|－5

＝|x2＋y2－5|＋|6y＋21|－5

≥|x2＋y2－5＋6y＋21|－5

＝|x2＋（y＋3）2＋7|－5

＝x2＋（y＋3）2＋2≥2，

当且仅当x＝0且y＝－3时等号成立．

4．（2018·

河北武邑中学模拟）已知a>

0，且a2＋b2＝2.

（1）若＋≥|2x－1|－|x－1|恒成立，求x的取值范围；

（2）证明：

（a5＋b5）≥4.

（1）解　设y＝|2x－1|－|x－1|＝

由a2＋b2＝2，得（a2＋b2）＝1，

故＋＝（a2＋b2）

＝≥＝，

当且仅当a2＝，b2＝时取等号，

所以≥|2x－1|－|x－1|.

当x≥1时，x≤，得1≤x≤；

当<

1时，3x－2≤，解得x≤，故<

当x≤时，－x≤，解得x≥－，故－≤x≤，

综上可知，－≤x≤.

（2）证明　（a5＋b5）＝a4＋b4＋＋，

＝（a2＋b2）2＋＋－2a2b2，

≥（a2＋b2）2＋2－2a2b2＝（a2＋b2）2＝4，

当且仅当a＝b＝1时取等号．

5．（2018·

广西南宁第二中学模拟）

（1）如果关于x的不等式|x＋3|＋|x－2|<

m的解集不是空集，求参数m的取值范围；

（2）已知正实数a，b，且h＝min，求证：

h≤.

（1）解　∵|x＋3|＋|x－2|≥|（x＋3）－（x－2）|＝5，

当且仅当（x＋3）（x－2）≤0，

即－3≤x≤2时等号成立，

∴m>

∴参数m的取值范围为（5，＋∞）．

（2）证明　∵a2＋b2≥2ab（a>

∴≤，即a×

≤.

由于0<

h＝min≤a,0<

h＝min≤，

∴h2≤a×

≤，∴h≤.

6．已知函数f（x）＝|x－3|.

（1）解不等式f（x）＋f（x＋1）≥5；

（2）若|a|>

1，且f（ab）>

|a|·

f，证明：

|b|>

（1）解　|x－3|＋|x－2|≥5，

当x>

3时，（x－3）＋（x－2）≥5，x≥5；

当2≤x≤3时，（3－x）＋（x－2）≥5,1≥5，无解；

2时，（3－x）＋（2－x）≥5，x≤0，

综上，不等式的解集为{x|x≥5或x≤0}．

（2）证明　f（ab）>

f等价于|ab－3|>

，即|ab－3|>

|b－3a|，则（ab－3）2>

（b－3a）2，化简得a2b2＋9－b2－9a2>

0，即（a2－1）（b2－9）>

0.

因为|a|>

1，所以a2－1>

0，所以b2－9>

0，|b|>