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7.2单一河道一维水量水质模型
7.2.1单一河道一维水量模型
（1）控制方程的离散
采用四点隐式差分格式离散方程组。
如图1所示，河道被（n+1）个断面分为n个子河段，在第i个子河段M（i,i+1）上，对任一变量取：
（4）
（5）
（6）
图1计算断面示意图
式中，上角标表示时间坐标，下脚标表示空间坐标。
为空间差商的权重系数（）,=0时，此格式为显式格式，而当时，此格式具有隐式差分的特征。
为使差分方程保持无条件稳定，必须。
采用下式进行阻力项的线性化：
（7）
将式（4）-（6）代入连续方程得第i个子河段的差分方程：
（8）
式中，
，
下角标i+1/2表示断面i与断面i+1河段的均值。
按照同样的方法，可得动量方程的差分方程：
（9）
对任一河段
，可得到方程组：
（10）
对每一河段可列出两个线性代数方程，再加上上下游边界条件，构成完备的封闭方程组，采用追赶法可求得各个断面的水位流量。
（2）边界条件
根据上有下游边界条件类型的不同可以写成如下两种追赶形式：
·
上游水位边界条件
；
下游水位（或流量）边界条件
（或
），追赶形式为：
（11）
为已知系数，依据上述方程组，可逐步由下边界水位或者流量，推算得到上游各个断面水位流量值。
上游流量边界条件
下游水位边界条件
，追赶形式为：
（12）
为已知系数，依据上述方程组，可逐步由下边界水位，推算得到上游各个断面水位流量值。
7.2.2单一河道一维水质模型
（1）控制方程的离散与求解
对方程（3）进行离散，空间差分采用隐式迎风差分格式。
顺流时（从断面i流向i+1）有：
得到统一形式的差分方程：
（13）
为系数，分别表示为：
方程（13）两边同时除以
得到：
（14）
在顺流情况下，各河段差分方程可写成：
（15）
对首断面给定第一类边界条件，对末断面给定第二类边界条件，可得到如下封闭的方程组：
（16）
对方程组（16）采用追赶法可容易求得
等断面的扩散质的浓度。
（2）参数确定
纵向分散系数EX的确定
EX与水流流速、水面宽度成正比，与水深成反比，常采用下面的经验公式：
式中，是无尺度才系数，c为才系数，θ=B/h为宽深比，q为单宽流量，α=0.011为经验常数。
降解系数K的确定
可采用监测资料对降解系数进行率定，或根据经验得到。
7.2.2应用实例［］
三峡大坝位于县三斗坪中堡岛,洲坝位于南津关下游的市境.两坝间水域处于鄂西山区向平原的过渡地带,周围地形地貌呈西北高东南低之势.三峡大坝至洲坝河段长38Km,两坝间江面宽210m至1500m,大部分处于西陵峡谷中。
该实例建立了两坝间水量水质模型,分别运用大坝一期围堰及二期围堰施工期间的同步水文水质实测资料对模型进行了率定和验证,取得了较好效果.此模型可用以预测大坝施工期间及投入运行后两坝间水流及水质特性的变化.
（１）水量模型率定
利用1996年三斗坪、白庙子及黄陵庙等断面水文观测资料率定糙率，得到各子河段的糙率，率定结果显示糙率分布取值围为0.036至0.050。
1996年白庙子及黄陵庙等断面实测水位过程线及计算水位过程线图略。
（２）水量模型验证
采用太平溪断面1998年实测流量作模型验证的上边界条件，采用洲坝坝前断面1998年实测水位作模型验证的下边界条件，对1998年两坝间水流进行模拟，通过对各水文观测断面的水文要素的观测值及计算值进行比较可见，吻合程度较好，因此此水量模型可用来模拟两坝间的一维水流情况，1998年白庙子及黄陵庙等断面实测水位过程线及计算水位过程线见图２。
图2模型验证各断面实测及计算水位过程线
（３）CODMn模型验证
高锰酸盐指数的降解系数由实测资料，取经验值，不采用模型率定。
采用1998年7~12月的CODMn浓度监测资料对CODMn模型参数可靠性进行验证，模拟时CODMn污染源分点源和面源两种情况。
部份断面CODMn水质因子实测及计算浓度值见图3。
图3模型验证CODMn浓度实测及计算值
7.3平原河网水量水质模型
河网地区是中国社会、经济、文化的发达地区，在国家经济发展中占有举足轻重的地位。
随着地区经济的进一步发展、居民物质精神生活水准的进一步提高，水资源问题日益突出。
如中国著名的长江三角洲、珠江三角洲地区，已成为水质型缺水区，水资源、水环境问题已成为制约经济社会发展、事关区域可持续发展的重要因素。
生产实践的迫切需要使得河网地区的水环境保护研究呈不断深入、系统之势。
作为基础，河网水流水质模拟方法是进行区域环境规划、环境管理等的必备工具，在水环境问题研究中占有重要地位。
因此，该领域的研究一直是环境科学研究人员、环境管理决策部门十分关注的重要问题。
在物理模型、数学模型这两大手段中，因为数学模型具有经济、快捷、实用等优点，加之水网地区河道密布等客观条件的限制，现阶段只能采用数值方法模拟水网地区的水流运动及污染物输运规律。
但由于理论、技术及各种客观条件的制约，目前水流特别是水质数值模拟精度不是十分令人满意。
7.3.1平原河网水量模型
按河网水流的控制方程及对河网的概化处理方式不同，河网地区水流数值模拟方法可分为两大类：
第一类为常用的一维圣维南方程组数值解法；
第二类为所谓的“组合单元解法”。
，其中，一维圣维南方程组数值解法又可分为直接解法和间接解法两种。
在直接解法中，较有代表性的有文献[G.Noseda,MathematicalModelofUnsteadyFlowinOpenChannelsNetworks,ProceedingsoftheInternationalSymposiumonUnsteadyFlowinOpenChannels,1976]，[J.J.R.Williams,T.R.E.Chidley,NonliearAnalysisofUnsteadyFlowinOpenChannelNetworks,ProceedingsoftheInternationalSymposiumonUnsteadyFlowinOpenChannels,1976]提出的方法，该类方法将计算断面交替取为水位和流量断面，对河网在所有计算断面上统一对一维圣维南方程组差分离散并求解。
但该方法未知数数量较多，在河网规模较大的情况下，因为河道的交叉衔接，形成的矩阵是一个不规则、不对称的大型稀疏矩阵。
为减少存贮，J.J.Dronkers于1976年提出间接解法[5]的思想，以后又有许多学者对其作了进一步完善。
为提高计算效率，需缩小矩阵规模，大学数力系1976年提出了河网非恒定流隐式方程组稀疏矩阵解法[6岳生等，河网不恒定流隐式方程组稀疏矩阵解法，大学学报（自然科学版），1979年3月]，该方法从河网矩阵本身的特点出发，能够有效地节省存储并提高计算速度，但矩阵中需包含所有断面的未知数，方程规模仍然较大，其实际使用也受到限制。
而间接解法是将断面未知数往交汊点集中，待求出交汊点未知数后，再求解各单一河道未知变量，计算效率较高。
间接解法的思想首先由荷兰水力学专家Dronkers于1976年提出，以后又有许多学者对此方法进行进一步的完善，相继提出了河网非恒定流的二级解法[徐正凡，明渠非恒定流[M].水利电力学院，1983年.]、三级解法[8二骏，河网非恒定流的三级联合解法，华东水利学院学报，1982年第1卷：
1~12]和四级解法[9吴寿红，河网非恒定流四级解法，水利学报，1985年，第8期：
42~50]。
此类间接解法中，以三级解法最为常用[][][]。
其基本求解思路可概括为“单一河道—交汊点—单一河道”，即
（1）先将单一河道划分为若干子河段，在计算断面上对一维Saint-Venant方程组进行有限差分运算，得到各单一河道差分方程组，进行消元计算，得到单一河道首、末断面间流量与水位的相互关系；
（2）根据河道交汊点水量守恒方程，得到并求解交汊点水位方程组，得到所有交汊点水位；
（3）根据交汊点水位返回各单一河道，求得各计算断面水位、流量值。
“组合单元解法”[10]由法国水力学专家JeanA.Cunge于1975年首次提出，国也有研究者采用此方法进行了水网地区的水力模拟[11][12]。
此方法的基本思想是：
将河网地区水力特性相似、水位变幅不大的水体概化成单元。
取单元中心的水位为代表水位，采用才公式模拟单元间流量交换，根据水量守恒建立每一单元的微分形式的水量守恒方程，离散并得到以单元水位为自变量的代数方程，辅以边界条件，可求得各单元水位、单元间流量。
在上述两类方法中，组合单元解法对河道进行了简单概化，以单元为计算单位，计算相对简单，但模拟精度相对较低，仅实用于大尺度水域的水力模拟。
而Saint-Venat方程组数值解法可以精确计算每一条河道的水流状况，所以成为目前河网水力模拟的主流方法，其中又以三级解法最为常用[13][14][15][16]。
当采用三级解法模拟长系列大围河网水流特性时，需对河道进行概化处理，即将等级较小的河道概化为一条“概化”河道，要求该概化河道与被概化河道的过流能力、调蓄量相当。
同时，为考虑降雨对河网水力特性的影响，还必须对河道包围的陆域面积进行产汇流计算，将产流量以包围陆域的河道长度为权重分配到周围河道[17]。
由于三级解法以单一河道为模拟对象，同时考虑了降雨等的影响，计算精度较高，可以满足水利、航运、环境保护等的需要。
采用四点隐式差分格式离散方程，得子河段差分方程：
（17）
（18）
式中由时段初值及河道特征求得。
（2）节点连接条件
水流运动在河网各节点上应满足质量守恒及能量守恒，即满足以下两个连接条件：
质量守恒条件
进出某一节点的流量与该节点水量蓄量的增减相平衡，定量表示为：
（19）
式中K为节点编号，m为流入（流出）节点K的河道数，为节点蓄量，Q为流量（流入为正；
流出为负）。
若节点汇合区容积与子河段容积相比可忽略不计，则此节点称为无调节节点，方程（19）可简化为：
能量守恒条件
不计节点处能量损失有：
i=1,2,（20）
（3）边界条件
有三种类型的边界条件：
水位边界条件
即在边界河道上给定水位随时间的变化过程：
；
流量边界条件
即在边界河道上给定流量随时间的变化过程：
水位流量关系
当边界河道上有水工建筑物（如水闸、堰、堤坝等）时，通常给定水位流量关系：
。
（4）方程的求解
利用消元法，方程（3）、（4）经递推运算，写成如下形式：
（21）
（22）
式中，为追赶系数，可逐步递推求得。
利用公式（7）依次由末断面向首断面递推，可将各断面流量表为该断面水位及末断面水位的函数。
利用公式（22）依次由首断面向末断面递推，可将各断面流量表为该断面水位及首断面水位的函数。
特殊的，单一河道首末断面分别与节点相连，分别对应如下追赶方程：
（23）
（24）
将节点各支流相应的（23）或（24）代入公式（19），并将节点各相邻断面水位统一表示成节点水位，得节点方程：
i=1,2,…,M
式中，M为节点总数，KI为第i个节点相连河道数。
当某单一河道为边界河道时，分三种类型分别有：
对于第一类边界条件，式（24）中已知；
对于第二类边界条件，式（23）中已知；
对于第三类边界条件，已知线性关系=Q（），代入（23）消去。
无论何种边界条件，最终可增加一水位方程，封闭节点方程组，可解得各节点水位，再返回单一河道方程，最终求得各断面水位及流量。
7.3.2平原河网水质模型
（1）单一河道控制方程的离散
采用如下网格对方程（3）进行离散，空间差分采用隐式迎风差分格式，由于河网地区水流流向可能谁随时间变化，根据流向的不同，分顺流及逆流两种状况给出差分形式：
123……
图4水质模拟网格布置示意图
逆流时（从断面i+1流向i）有：
为考虑流向顺逆变化的影响，引入流向调节因子，对于断面i表示为：
得到任意流向下，统一形式的差分方程：
（25）
式中，为系数，对于一般断面（i=2,3,…,n-1）分别表示为：
对于首断面（i=1），逆流时有：
对于末断面（i=n），顺流时有：
将差分方程（25）用向量形式表示为：
（26）
式中为一阶的三对角的系数矩阵，为此河道断面平均浓度的n维列向量，为已知的（n-1）维列向量。
（26）式中含（n-1）个方程，n个未知数，方程组不闭合，需引入节点方程及边界条件。
（2）河网节点方程
对于污染物充分混合的节点，从时刻到，根据节点有无调蓄作用，分别给出相应的节点方程。
若节点有m条单一河道，其中流入节点的河道条，流出节点的河道条，及随流场变化而变化（+=m）。
若节点本身具有调蓄作用，有：
，i=（27）
（28）
式中，CN为节点的浓度，为流出节点的第i条河道与该节点相邻断面的污染物浓度，为流入节点的第i条河道与该节点相邻断面的污染物浓度，Q分别为与之相应的流量，为节点的蓄量，SN为节点的污染源加入项，方程（28）右端括号中末项为时段初节点污染物降解至时段末的残留量。
（27）式称为充分混合假定，（28）式反映节点污染物的质量守恒。
当节点调蓄可忽略时，称为无调蓄节点，有：
（3）模型的动态耦合数值计算
在流场已知时，由（26）-（28）式加上边界条件及初始条件，构成封闭的线性代数方程组，即可求解。
但对于大型复杂河网来说，其规模巨大，较为经济的做法是：
将方程（26）作适当的运算，得单一河道首末断面浓度关系方程，并与充分混合假定（27）及边界条件，一并代入方程组（28），形成封闭的节点方程组。
由于方程组（26）系数矩阵为三对角矩阵，通过消元法，可得到任一单一河道首末断面浓度关系方程：
，i=1,2,∙∙∙∙∙∙M（29）
式中M为河道总数，ni为第i条河道断面数，分别为第i条河道首断面及末断面浓度，fi为线性函数关系，据上式，所有与节点相邻的河道首末断面处的浓度皆可表示为节点浓度的线性函数。
将方程（29）及河网入流边界条件等代入方程（28），并考虑方程（28），即可得到整个河网各节点浓度的代数方程组：
（30）
式中，K为河网节点总数，方程组（7）还可用矩阵表示为：
（31）
式中，AN为系数矩阵，CN为节点浓度列向量，BN为包括污染源在的已知项的列向量，求解上述方程组可得各节点浓度列向量。
再将与单一河道相应的已知方程（27）代入方程（26），也即在方程组（26）中增加一类似于方程（27）的反映入流断面与相连节点浓度关系的代数方程，即可封闭河道方程（26），从而求得该河道各断面浓度。
7.3.3算例（河网水量水质计算）
市境水系以如泰运河为界，分属淮河和长江两大水系。
长江水系流域面积5974.5km2，包括通扬运河、焦港、如海运河、通启运河、九圩港、通吕运河；
淮河水系流域面积为2524.1km2，主要河道有通扬运河、通榆运河、拼茶运河、如泰运河等。
水流流向受自然因素和人为因素的影响，流向多变。
该地区地势平坦，河道纵横交织成网，南与长江相连，东与黄海相接，水流既受地形的支配，又受长江、黄海及部闸门人为控制，水流留向顺逆不定。
根据河网的水文情势、水力特性及河道大小等因素，对其进行概化。
概化后的河网如图5所示，共有92个节点，145个部河道，37条边界河道，其中26个水位边界，11个流量边界，594个计算断面，因缺乏流量资料，选用1988年5-9月货隆、搬泾、金沙、丁堰等水位资料率定模型。
用1994年元月水位观测资料进行模型验证，图6为模型率定情况下，观测水位及计算水位过程线。
p
I
C
T
U
R
E
P
图5南通河网概化图
图6模型率定：
实测及计算水位过程线（实线：
实测；
虚线：
计算）
利用1994年1月水质监测资料率定模型，5-9月水质监测资料校核模型。
部分断面校核成果如图7所示。
由图可知，计算精度尚可。
图7模型验证：
CODMN实测及计算比较
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