高中数学函数压轴题精制文档格式.docx

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f（x）

a（a

R且xa）

a

（Ⅰ）证明：

f（x）+2+f（2a

－x）=0

对定义域内的所有

x都成立.

（Ⅱ）当f（x）的定义域为[a+

1,a+1]

时，求证：

f（x）

的值域为[－3，－2]；

（Ⅲ）设函数g（x）=x2+|（x－a）f（x）|,

求g（x）的最小值.

5.设f（x）是定义在[0,1]上的函数，若存在

x*

（0,1），使得

f（x）在[0,x*]上单调递增，在[x*

1]上单调递减，则称f（x）

为[0,1]上的单峰函数，

x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间

.对任意的[0,1]上的单峰函数

f（x），下面研究缩短其含

峰区间长度的方法.

（1）证明：

对任意的

x1,x2（0,1），x1

x2，若f（x1）

f（x2），则（0,x2）为含峰区间；

若

f（x1）f（x2），则（x1,1）

为含峰区间；

（2）对给定的r（0

r0.5），证明：

存在

x1,x2（0,1），满足x2x12r，使得由

（1）所确定的含峰区间的长度不

大于0.5r；

6.设关于x的方程2x2

ax2

0的两根分别为

、

，函数f（x）

4x

x2

（1）证明f（x）在区间

上是增函数；

（2）当a为何值时，

f（x）在区间

上的最大值与最小值之差最小

7.甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数fxx8，gxx12，及任意的x0，当甲公司投

入x万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于fx万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；

当乙公司投

入x万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于gx万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投

入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：

（1）请解释f0,g0；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？

（3）若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的

宣传费：

若甲先投入a112万元，乙在上述策略下，投入最少费用b1；

而甲根据乙的情况，调整宣传费为a2；

同

样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为b2,,如此得当甲调整宣传费为an时，乙调整宣传费为bn；

试问是否存在

liman，limbn的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.

nn

8.设f（x）是定义域在[1,1]上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.

（l）求证f（x）在[1,1]上是减函数；

（ll）如果f（xc），f（xc2）的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；

（lll）证明若1c2，则f（xc），f（xc2）存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.

9.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z。

（1）若b>

2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2＋1）恒成立，且存在x0，使得f（x0）<

2（x02＋1）成立，求c的值。

10.已知函数f（x）x44x3ax21在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；

（1）求a的值；

（2）求证：

x=1是该函数的一条对称轴；

（3）是否存在实数

b，使函数g（x）

bx2

1的图象与函数

f（x）的图象恰好有两个交点？

若存在，求出

b的值；

若不

存在，请说明理由.

11.定义在区间（0，）上的函f（x）满足：

（1）f（x）

不恒为零；

（2）对任何实数

x、q,都有f（xq）

qf（x）.

（1）求证：

方程f（x）=0

有且只有一个实根；

（2）若a>

b>

c>

1,且a、b、c成等差数列，求证：

f

）

fc

b

；

（

（3）（本小题只理科做）若

f（x）单调递增，且

m>

n>

0时，有f（m）

f（n）2f（mn），求证：

3

m22

5

12.已知三次函数f（x）x3ax2bxc在y轴上的截距是2，且在（,1）,（2,）上单调递增，在（－1，2）上

单调递减.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（x）

（m

1）ln（xm），求h（x）的单调区间.

（Ⅱ）若函数h（x）

2）

3（x

13.已知函数

3x

3（a1）

0且a

1）．

f（x）

（a

ax

（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；

（2）已知当x0时，函数在（0,6）上单调递减，在（6,）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；

（3）（理）记

（2）中的函数的图像为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？

若存在，

求出l的方程；

若不存在，请说明理由．

（文）记

（2）中的函数的图像为曲线C，试问曲线C是否为中心对称图形？

若是，请求出对称中心的坐标并加

以证明；

若不是，请说明理由．

6

14.已知函数f（x）

logax和g（x）2loga（2xt2）,（a

0,a1,tR）的图象在x

2处的切线互相平行.

（Ⅰ）求t的值；

（Ⅱ）设F（x）

g（x）f（x），当x1,4时，F（x）

2恒成立，求a的取值范围.

15.设函数f（x）定义在R上，对任意的

m,n

R，恒有f（mn）

f（m）

f（n），且当x

1时，f（x）0。

试解

决以下问题：

（1）求f

（1）的值，并判断f（x）的单调性；

（2）设集合A

（x,y）|f（xy）f（x

y）

B（x,y）|f（ax

y2）

0,aR，若AB

，求实数a的

取值范围；

（3）若0a

b，满足|f（a）||f（b）|

2|f（a

b）|，求证：

3b

16.

（理科）二次函数

f（x）=

（、

ba

R

（I）若方程f（x）=0无实数根，求证：

0；

（II

）若方程f（x）=0

有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：

f（－a）=1（a2

1）

（III

有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数

k，使得

f（k）.

（文科）已知函数f（x）=

bx

c，其中a

N*,bN,c

Z.

（I）若b>

2a,且f（sinx）（x

∈R）的最大值为

2，最小值为－

4，试求函数f（x）的最小值；

）若对任意实数

x，不等式

4x

2（x2

1）恒成立,且存在x0使得f（x0）

2（x2

01）成立，求c的值。

7

17.定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：

对任意x、y（-1,1）都有。

（I）求证：

函数f（x）是奇函数；

（II）如果当时，有f（x）>

0，判断f（x）在（-1,1）上的单调性，并加以证明；

（III）设-1<

a<

1，解不等式：

18.已知二次函数

1（

0,

）,设方程f（x）＝x有两个实数根

x1、x2.

（Ⅰ）如果x1

4，设函数f（x）

的对称轴为

x＝x0,求证x0>

—1;

（Ⅱ）如果0

x1

，且f（x）

＝x的两实根相差为

2，求实数b的取值范围.

8

19.函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：

①对任意xR，有f（x）0；

②对任意x、y

R，有f（xy）[f（x）]y；

③f

（1）1.

则

（1）求f（0）的值；

（4分）

（2）求证：

f（x）在R上是单调增函数；

（5分）

（3）若ab

c0,且b2

ac，求证：

f（a）f（c）

2f（b）.

20.（理）已知

=In

（1

+x

0）

+ax

a≤

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：

*

）,

（1+

）（1+

（1+

其中无理数

e=2.71828

n

<

en∈N

n≥

（文）设函数f（x）

1ax3

bx2

cx（a

c），其图象在点

A（1,f

（1））,B（m,f（m））处的切线的斜率分别为o,-a.

（1）求证：

0≤b<

1；

a

（2）若函数f（x）的递增区间为[s,t]，求[s-t]的取值范围.

21.设函数f（x）

2ax2

3a2x

b（0

a1）

（1）求函数f（x）

f（x）

的单调区间，并求函数

的极大值和极小值；

9

（2）当x∈[a+1,a+2]时，不等|f（x）|a，求a的取值范围.

16

7x

22.已知函数f（x）x

，函数g（x）6lnxm.

（1）当x1时，求函数f（x）的最小值；

（2）设函数h（x）=（1－x）f（x）+16，试根据m的取值分析函数h（x）的图象与函数g（x）的图象交点的个数.

23.已知二次函数f（x）ax2

bxc,直线l1

:

yt2

8t（其中0t2.t为常数）；

l2:

x

2.若直线l1、l2与函

数f（x）的图象以及

l，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

（Ⅰ）求a、b、c的值；

（Ⅱ）求阴影面积

S关于t的函数S（t）的解析式；

（Ⅲ）若g（x）

6lnxm,问是否存在实数

m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？

若存在，求出m的值；

若不存在，说明理由.

10

24.已知f（x）x（xa）（xb），点A（s,f（s））,B（t,f（t））

（I）若ab1,求函数f（x）的单调递增区间；

（II）若函数f（x）的导函数f（x）满足：

当|x|≤1时，有|f（x）|≤3恒成立，求函数f（x）的解析表达式；

（III）若0<

b,函数f（x）在xs和xt处取得极值，且ab23,证明：

OA与OB不可能垂直.

25.已知函数f（x）

mx2

m

R.

（1）

设g（x）f（x）

lnx,当m≥1

时,求g（x）在[

2]上的最大值；

（2）

若ylog1[8

f（x）]在[1,

）上是单调减函数，求实数

m的取值范围.

11

26.（本小题满分12分）

已知常数a>

0,n为正整数，fn（x）=xn–（x+a）n（x>

0）是关于x的函数.

（1）判定函数fn（x）的单调性，并证明你的结论.

（2）对任意na,证明f`n+1（n+1）<

（n+1）fn`（n）

答案：

x2

4a

4，

1.解：

（1）

a，由题意

f

（2）

2a

令f

（x）

0得f（x）的单调递增区间为

2）和（2,

）.

f（x）

4，当x变化时，f（x）与f（x）的变化情况如下表：

-4

（-4，

-2

（-2,2）

（2,3）

-2）

单

28

单调递

单调

调递增

减

递增

所以x

[

4,3]时，f（x）max

.于是f（x）

m2

在x

4,3]

上恒成立等价于

m10

，求

得m

3]

[2,

2.解：

（1）P（x）=R（x）

–C（x）=

–10x

3+45x2+3240x

–5000

（x

N且x

[1,20]）;

分

MP（x）=P（x+1）

–P（x）=

–

+60x+3275

[1,20]）.4

30x

（2）P`（x）=

–30x2+90x+3240=

–30（x+9）（x

–12）

N且x[1,20]）7

当1<

x<

12

时,P`（x）>

0,P（x）

单调递增,

12

当12

x<

20时,P`（x）<

0,P（x）

∴x=12

时,P（x）取最大值,

即,年建造12艘船时,

公司造船的年利润最大.

（3）由MP（x）=

–30（x

–1）

2+3305（x

N且x[1,20]）.

∴当1<

20时，MP（x）单调递减.

MP（x）是减函数说明:

随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少

.1

3.解：

（1）f（x）

5x

5x2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

6分）

（2）由

）5

（）5

）0解得

或

（x）1

g1（x）0g1

即5x

0或5x

解得x

0或x

12分）

1或