微积分在物理竞赛中的应用整理人教版.docx

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微积分在物理竞赛中的应用整理人教版

求解在立体斜面上滑动的物体的速度

一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数恰好满足，为斜面的倾角。

今使物体获得一水平速度而滑动，如图一，求：

物体在轨道上任意一点的速度V与的关系，设为速度与水平线的夹角。

解：

物体在某一位置所受的力有：

重力，弹力以及摩擦力。

摩擦力总是与运动速度V的方向相反，其数值

重力在斜面上的分力为，如图二，将分解为两个分力：

是沿轨迹切线方向的分力，；是沿轨迹法向的分力，，如图三。

根据牛顿运动定律，得运动方程为

（1）

（2）

由

（1），

而

得到

（3）

式中是t的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在与t中消去一个变量，才能积分，注意到

（4）

而表示曲线在该点的曲率半径，根据

（2）式，

（5）

由式（3）（4）（5），可得到

，

积分，得到

，

运用积分法求解链条的速度及其时间

一条匀质的金属链条，质量为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为，另一边长度为而且，如图一。

试求：

链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。

解：

设金属链条的线密度为当一边长度为，另一边长度为时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程

则

因为，所以

令可以求得链条滑离钉子时的速度大小

再由得到

积分，得到

令x=,可以求得链条滑离钉子所需的时间为

求解棒下落过程中的最大速度

在密度为的液体上方有一悬挂的长为L,密度为的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。

今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若，求：

棒下落过程中的最大速度。

解：

剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力和浮力的作用，如图一所示。

根据牛顿运动定律，有

（1）

随着棒往下沉，浮力逐渐增大。

当直棒所受合力为零，即时，棒的加速度为零，速度最大。

设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为，设棒的截面积为S，则有

解得，

（2）

取x坐标如图所示，则

（1）式可以写为

做变量代换，令代入上式，得到

两边积分，得到

得到，

将

（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为

运用微分法求解阻尼平抛

质量为m的物体，以初速为，方向与地面成角抛出。

如果空气的阻力不能忽略，并设阻力与速度成正比，即，k为大于零的常数。

求：

物体的运动轨道。

解：

根据受力情况，列出牛顿运动定律方程

其分量式，

（1）

（2）

将代入式

（1），得

改写成

两边积分，得到

可见由于空气阻力的存在，x方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。

由于再积分，并以t=0时x=0,代入得到

（3）

同理，由于式

（2）转化为

积分，并以t=0时，代入，得到

可见，y方向的速度也不再是匀减速的。

再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，得到

（4）

由（3）（4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程

显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨道向左下方偏离，如图一。

例如：

以初速620m/s,仰角发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km.

求解飞机的滑行距离

飞机以的水平速度触地滑行着陆。

滑行期间受到空气的阻力为，升力为，其中V是飞机的滑行速度。

设飞机与跑道间的摩擦系数为，试求：

飞机从触地到停止所滑行的距离。

解：

取飞机触地点为坐标原点，取飞机滑行方向为x轴。

飞机在水平方向上受力为：

摩擦力，空气阻力为；在竖直方向上受力为：

重力、支持力和升力如图一所示，应用牛顿第二定律，得到

由上两式消去N，得到

利用

得到

分离变量，积分

，

得到

在飞机触地的瞬间，支持力N=0,由运动方程，得到

于是

这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。

社（升阻比），。

代入数值计算后，得到

x=221m.

求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题

两小球的质量均为m，小球1从离地面高度为h处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速同时竖直上抛。

设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k（常量）。

试求：

两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。

解：

两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为

它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故

分离变量

对于小球1，初始条件为时，故

（1）

对于小球2，初始条件是t=0时，故

得到

（2）

由

（1）式，得到

积分，得到

由式

（2）得到

积分，得到

两小球相遇时，相遇时间为，由（3（4）两式，得到

，

故

把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点

代入

（1）

（2），得到两小球相遇时的速度

讨论：

（1）当阻力很小时，即当时，利用展开式

上述结果简化为

这正是不考虑空气阻力时的结果。

（2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下

或者

两小球才有可能相遇。

在非惯性系中求解球环系统的运动情况

一轻绳的两端分别连接小球A和小环B，球与环的质量相等，小环B可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。

现使小球在图示的平面摆动。

求：

小球摆离铅垂线的最大角度时小环和小球的加速度。

解：

当小球摆动时，小环沿钢丝做加速运动。

以小环B为参考系，则小球受重力和绳子拉力外，还受惯性力的作用，如图二。

其加速度沿圆弧的切线方向。

在最大摆角为时的运动方程为

小环B在水平方向的运动方程为.

解方程，得到

。

小球A相对地的加速度，取如图二所示的坐标系，则有