图形的变换知识讲解基础.docx

图形的变换知识讲解基础.docx

《图形的变换知识讲解基础.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《图形的变换知识讲解基础.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

图形的变换知识讲解基础

中考总复习：

图形的变换--知识讲解（基础）

【考纲要求】

1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；

2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；

3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.

4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；

5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、平移变换

1.平移的概念：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．

【要点诠释】

（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；

（2）图形的平移有两个要素：

一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；

（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．

2．平移的基本性质：

由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：

经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．

【要点诠释】

（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；

（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．

考点二、轴对称变换

1．轴对称与轴对称图形

　轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.

　轴对称图形：

把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

2．轴对称变换的性质

　　①关于直线对称的两个图形是全等图形.

　　②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

　　③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

　　④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

3．轴对称作图步骤

　　①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．

　　②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

考点三、旋转变换

1．旋转概念：

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.

２．旋转变换的性质

　　图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.

３．旋转作图步骤

　　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.

　　②分析所作图形，找出构成图形的关键点.

　　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.

　　④按原图形连结方式顺次连结各对应点.

４．中心对称与中心对称图形

　中心对称：

　　把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．

　中心对称图形：

　　把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.

5．中心对称作图步骤

　　①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.

　　②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

【要点诠释】

图形变换与图案设计的基本步骤

①确定图案的设计主题及要求；

②分析设计图案所给定的基本图案；

③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；

④对图案进行修饰，完成图案.

【典型例题】

类型一、平移变换

1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.

【思路点拨】

根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．

【答案与解析】

∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，

∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，

∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；

【总结升华】

此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，

OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．

举一反三：

【变式】（优质试题•顺义区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G．

（1）画出△DEC平移后的三角形；

（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长．

【答案】解：

（1）△AGB为△DEC平移后的三角形，如下图所示；

（2）∵△AGB为△DEC平移后的三角形，

∴BG=CE=3，BG∥CE，

∵CE⊥BD，

∴BG⊥BD．

在Rt△BDG中，∵∠GBD=90°，BG=3，BD=6，

∴DG==3，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=2，

∴AG=DG﹣AD=3﹣2=．

2．如图

（1），已知的面积为3，且现将沿CA方向平移CA长度得到.

（1）求所扫过的图形面积；

（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；

（3）若求AC的长.

【思路点拨】

（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S△EFA=S△BAF=S△ABC，从而便可得到四边形CEFB的面积；

（2）由已知可证得平行四边形EFBA为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF与BE的位置关系为垂直；

（3）作BD⊥AC于D，结合三角形的面积求解．

【答案与解析】

（1）由平移的性质得

AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC

∴四边形AFBC为平行四边形

S△EFA=S△BAF=S△ABC=3

∴四边形EFBC的面积为9；

（2）BE⊥AF

证明：

由

（1）知四边形AFBC为平行四边形

∴BF∥AC，且BF=AC

又∵AE=CA

∴BF∥AE且BF=AE

∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC

∴AB=AE

∴平行四边形EFBA为菱形

∴BE⊥AF；

（3）如上图，作BD⊥AC于D

∵∠BEC=15°，AE=AB

∴∠EBA=∠BEC=15°

∴∠BAC=2∠BEC=30°

∴在Rt△BAD中，AB=2BD

设BD=x，则AC=AB=2x

∵S△ABC=3，且S△ABC=AC•BD=•2x•x=x2

∴x2=3

∵x为正数

∴x=

∴AC=2．

【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．

类型二、轴对称变换

3（2016•贵阳模拟）

（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：

∠B=30°，请你完成证明过程．

（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用

（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．

（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．

【思路点拨】

（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；

（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．

（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．

【答案与解析】

（1）证明：

Rt△ABC中，∠C=90°，，

∵sinB==，

∴∠B=30°；

（2）解：

∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，

∴EA=FD=×边长=1，

∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，

∴A′D=AD=2，

∴=，

∴∠FA′D=30°，

可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，

∵A沿GD折叠落在A′处，

∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，

∴∠ADG===15°，

∵A′D=2，FD=1，

∴A′F==，

∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，

∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，

∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，

∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，

则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；

（3）解：

∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，

∴AO=AD=CB=CO，

∴DA=，

∵∠D=90°，

∴∠DCA=30°，

∵AB=CD=6，

在Rt△ACD中，=tan30°，

则AD=DC•tan30°=6×=2，

∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，

∴=tan30°=，

∴DF=AD=2，

∴DF=FO=2，

同理EO=2，

∴EF=EO+FO=4．

【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．

举一反三：

【变式】（2016·松北区模拟）如图

（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°.若将其右下角向内这出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图

（2）所示，则∠C＝　　度.

【答案】∵∠CPR=∠B=×120°=60°，∠CRP=∠D=×50°=25°，

∴∠C=180°－60°－25°=95°．

4.如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a

（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．

（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，MN间的距离有何变化？

请说明理由．

（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？

（1）

（2）（3）（4）

【思路点拨】

（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的