学年高中数学北师大版选修12同步学案第一章 21 条件概率与独立事件Word版含答案.docx

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学年高中数学北师大版选修12同步学案第一章21条件概率与独立事件Word版含答案

§2　独立性检验

2.1　条件概率与独立事件

学习目标　1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念.2.掌握条件概率的计算公式.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．

知识点一　条件概率

100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．

令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．

思考1　试求P（A），P（B），P（AB）．

答案　P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝.

思考2　任取一件产品，已知其质量合格（即B发生），求它的长度（即A发生）也合格（记为A|B）的概率．

答案　事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P（A|B）＝.

思考3　P（B），P（AB），P（A|B）间有怎样的关系．

答案　P（A|B）＝.

梳理　条件概率

（1）概念

事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P（A|B）．

（2）公式

P（A|B）＝（其中，A∩B也可以记成AB）．

（3）当P（A）>0时，A发生时B发生的条件概率为P（B|A）＝.

知识点二　独立事件

甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．

思考1　事件A发生会影响事件B发生的概率吗？

答案　不影响．

思考2　P（A），P（B），P（AB）的值为多少？

答案　P（A）＝，P（B）＝，

P（AB）＝＝.

思考3　P（AB）与P（A），P（B）有什么关系？

答案　P（AB）＝P（A）·P（B）．

梳理　独立事件

（1）概念：

对两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称A，B相互独立．

（2）推广：

若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．

（3）拓展：

若A1，A2，…，An相互独立，则有P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）．

1．在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P（A|B）．（　×　）

2．在某种情况下，条件概率中的条件意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算．（　√　）

3．如果事件A与事件B相互独立，则P（B|A）＝P（B）．（　√　）

4．“P（AB）＝P（A）·P（B）”是“事件A，B相互独立”的充要条件．（　√　）

类型一　条件概率

例1　甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：

（1）乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？

（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？

解　设A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨天”，则：

（1）乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是

P（A|B）＝＝＝.

（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是

P（B|A）＝＝＝0.60.

反思与感悟　条件概率的求法

（1）利用定义，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝.特别地，当B⊆A时，P（B|A）＝.

（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n（AB），得P（B|A）＝.

跟踪训练1　某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率是，设下雨为事件A，刮风为事件B.求：

（1）P（A|B）；

（2）P（B|A）．

考点　条件概率的定义及计算公式

题点　直接利用公式求条件概率

解　由题意知P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝.

（1）P（A|B）＝＝＝.

（2）P（B|A）＝＝＝.

类型二　事件的独立性的判断

例2　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：

（1）家庭中有两个小孩；

（2）家庭中有三个小孩．

考点　相互独立事件的定义

题点　相互独立事件的判断

解　有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，

它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.

这时A＝{（男，女），（女，男）}，

B＝{（男，男），（男，女），（女，男）}，

AB＝{（男，女），（女，男）}，

于是P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝.

由此可知P（AB）≠P（A）P（B），

所以事件A，B不相互独立．

（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（男，女，女），（女，男，男），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}．

由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．

于是P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝，

显然有P（AB）＝＝P（A）P（B）成立．

从而事件A与B是相互独立的．

反思与感悟　三种方法判断两事件是否具有独立性

（1）定义法：

直接判定两个事件发生是否相互影响．

（2）公式法：

检验P（AB）＝P（A）P（B）是否成立．

（3）条件概率法：

当P（A）>0时，可用P（B|A）＝P（B）判断．

跟踪训练2　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．（填序号）

①A，B；②A，C；③B，C.

考点　相互独立事件的定义

题点　相互独立事件的判断

答案　①②③

解析　根据事件相互独立性的定义判断，只要P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C）成立即可．

利用古典概型概率公式计算可得P（A）＝0.5，P（B）＝0.5，P（C）＝0.5，P（AB）＝0.25，P（AC）＝0.25，P（BC）＝0.25.

可以验证P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C）．

所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．

类型三　求相互独立事件的概率

例3　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：

（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．

考点　相互独立事件同时发生的概率计算

题点　求多个相互独立事件同时发生的概率

解　用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，

则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9，

所以P（）＝0.2，P（）＝0.3，P（）＝0.1.

（1）由题意得A，B，C之间互相独立，

所以恰好有两列火车正点到达的概率为

P1＝P（BC）＋P（AC）＋P（AB）

＝P（）P（B）P（C）＋P（A）P（）P（C）＋P（A）P（B）P（）

＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.

（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为

P2＝1－P（）＝1－P（）P（）P（）

＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.

反思与感悟　明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．

一般地，已知两个事件A，B，它们发生的概率分别为P（A），P（B），那么：

（1）A，B中至少有一个发生为事件A＋B.

（2）A，B都发生为事件AB.

（3）A，B都不发生为事件.

（4）A，B恰有一个发生为事件A＋B.

（5）A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋.

跟踪训练3　某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：

语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，则此次考试中恰有一科成绩未获得第一名的概率是（　　）

A．0.612B．0.765C．0.329D．0.68

考点　相互独立事件同时发生的概率计算

题点　求多个相互独立事件同时发生的概率

答案　C

解析　分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，

则P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.85，

故P（BC＋AC＋AB）

＝P（BC）＋P（AC）＋P（AB）

＝[1－P（A）]P（B）P（C）＋P（A）[1－P（B）]P（C）＋P（A）P（B）[1－P（C）]

＝（1－0.9）×0.8×0.85＋0.9×（1－0.8）×0.85＋0.9×0.8×（1－0.85）＝0.329.

1．下列说法正确的是（　　）

A．P（B|A）

B．P（B|A）＝是可能的

C．0

D．P（A|A）＝0

答案　B

解析　∵P（B|A）＝，

而P（A）≤1，∴P（B|A）≥P（AB），∴A错；

当P（A）＝1时，P（AB）＝P（B），

∴P（B|A）＝＝，∴B正确；

而0≤P（B|A）≤1，P（A|A）＝1，∴C、D错，故选B.

2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（　　）

A.B.C.D.

考点　相互独立事件同时发生的概率计算

题点　求两个相互独立事件同时发生的概率

答案　B

解析　设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A，

因为事件相互独立，所以P（A）＝×＋×＝.

3．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是（　　）

A．互斥事件B．相互独立事件

C．对立事件D．不相互独立事件

考点　相互独立事件的定义

题点　相互独立事件的判断

答案　D

解析　互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错．而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件．

4．在感冒流行的季节，设甲、乙两人患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________．

答案　0.8

解析　设甲、乙患感冒分别为事件A，B，则

P＝1－P（）＝1－P（）P（）＝1－（1－0.6）（1－0.5）＝0.8.

5．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率是________，问题得到解决的概率是________．

考点　相互独立事件同时发生的概率计算

题点　求两个相互独立事件同时发生的概率

答案　　

解析　设“甲解决这道难题”为事件A，“乙解决这道难题”为事件B，则A，B相互独立．

所以两人都未解决的概率为P（）＝×＝.

问题得到解决的概率为P（A）＋P（B）＋P（AB）＝1－P（）＝1－＝.

1．条件概率的前提条件是：

在知道事件A必然发生的前提下，只需局限在A发生的范围内考虑问题，在事件A发生的前提下事件B发生，等价于事件A和B同时发生，由古典概型知，其条件概率为P（B|A）＝＝＝，

其中，n（Ω）为一次试验可能出现的所有结果数，n（A）为事件A所包含的结果数，n（AB）为AB同时发生时的结果数．

2．P（AB）＝P（A）P（B）使用的前提条件是A，B为相互独立事件；当事件A与B相互独立时，事件A与、与B、与也相互独立．

3．求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题，可