第五章 数列5课时Word下载.docx

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通项公式法

可根据某项的序号，直接用代入法求出该项

都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项

递推公式法

可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的项

[自测·

牛刀小试]

1．（教材习题改编）已知数列{an}的前4项分别为2,0,2，0，…，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是（　　）

A．an＝1＋（－1）n＋1　　　　　　B．an＝2sin

C．an＝1－cosnπD．a＝

解析：

选B　若an＝2sin，则a1＝2sin＝2，a2＝2sinπ＝0，a3＝2sin＝－2，a4＝2sin2π＝0.

2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3（　　）

A．不是数列{an}中的项

B．只是数列{an}中的第2项

C．只是数列{an}中的第6项

D．是数列{an}中的第2项或第6项

选D　令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．

3．（教材习题改编）在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（n≥2），则a5＝（　　）

A.　　　　B.　　　　

C.　　　　D.

选D　由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.

4．（教材改编题）已知数列，，2，…，根据数列的规律，2应该是该数列的第________项．

由于2＝3×

1－1,5＝3×

2－1,8＝3×

3－1，…

故可知该数列的通项公式为an＝

由2＝，得n＝7.

答案：

7

5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n（n＝1,2,3，…），则此数列的通项公式为an＝________；

数列{nan}中数值最小的项是第________项．

∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝（n2－10n）－[（n－1）2－10（n－1）]＝2n－11；

当n＝1时，a1＝S1＝－9也满足an＝2n－11，

∴an＝2n－11.

∴nan＝2n2－11n＝2＝2

＝22－.

又∵n∈N*，∴当n＝3时，nan取最小值．

2n－11　3

已知数列的前几项求通项公式

[例1]　根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：

（1）4,6,8,10，…；

（2），，，，，…；

（3），，－，，－，，….

[自主解答]　

（1）各数都是偶数，且最小为4，所以通项an＝2（n＋1）（n∈N*）．

（2）注意到分母分别是21,22,23,24,25，…，而分子比分母少1，

所以其通项an＝（n∈N*）．

（3）分母规律明显，而第2,3,4项的绝对值的分子比分母少3，因此可考虑把第1项变为－，这样原数列可化为－，，－，，－，，…

所以其通项an＝（－1）n（n∈N*）．

—————

——————————————

用观察法求数列的通项公式的技巧

用观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律及项与项数n的关系．当项与项之间的关系不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律，便于归纳．当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出现时，可用（－1）n或（－1）n＋1调节．

1．写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：

（1），，，，，…；

（2）－1，，－，，－，…；

（3）9,99,999,9999，….

解：

（1）分子是连续的偶数，且第1个数是2，所以用2n表示；

分母是22－1,42－1,62－1,82－1,102－1，所以用（2n）2－1表示．所以an＝＝（n∈N*）．

（2）正负交替出现，且奇数项为负，偶数项为正，所以用（－1）n表示；

　1，　　，　　，　　　，　　　，…

　↕　　↕　　　↕　　　↕　　　↕

，，　，　　，　　，…

分母是连续奇数相乘的形式，观察和项数n的关系，用（2n－1）（2n＋1）表示；

分子是21＋1,22＋1,23＋1,24＋1，用2n＋1表示．所以

an＝（－1）n·

＝（－1）n·

（n∈N*）．

（3）　　9，　　　99，　　　999，　　　9999，…

　　　↕　　　↕　　　↕　　　　↕

101－1，　102－1，　103－1，　　104－1，…

所以an＝10n－1（n∈N*）.

由an与Sn的关系求通项公式

[例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，求它的通项公式an.

[自主解答]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－（3n－1－1）＝2×

3n－1；

当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2×

3n－1.

故数列{an}的通项公式为an＝2×

若将“Sn＝3n－1”改为“Sn＝n2－n＋1”，如何求解？

∵a1＝S1＝12－1＋1＝1，

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝（n2－n＋1）－[（n－1）2－（n－1）＋1]

＝2n－2.

∴an＝　　　　

已知Sn求an时应注意的问题

数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；

当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．

2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>

1，且6Sn＝（an＋1）（an＋2），n∈N*.求数列{an}的通项公式．

由a1＝S1＝（a1＋1）（a1＋2），

解得a1＝1或a1＝2.由已知a1＝S1>

1，因此a1＝2.

又由an＋1＝Sn＋1－Sn

＝（an＋1＋1）（an＋1＋2）－（an＋1）（an＋2），

得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.

因为an>

0，故an＋1＝－an不成立，舍去．

因此an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3，

从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项公式为an＝3n－1.

由递推关系式求数列的通项公式

[例3]　根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．

（1）a1＝1，an＋1＝3an＋2；

（2）a1＝1，an＝an－1（n≥2）；

（3）a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2.

[自主解答]　

（1）∵an＋1＝3an＋2，

∴an＋1＋1＝3（an＋1），即＝3.

∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3.

又a1＋1＝2，∴an＋1＝2×

∴an＝2×

3n－1－1.

（2）∵an＝an－1（n≥2），

∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.

以上（n－1）个式子相乘得

an＝a1×

×

…×

＝＝.

（3）∵an＋1－an＝3n＋2，

∴an－an－1＝3n－1（n≥2），

∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝（n≥2）．

当n＝1时，a1＝×

（3×

1＋1）＝2符合公式，

∴an＝n2＋.

由递推公式求通项公式的常用方法

已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解．

当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；

当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；

当出现an＝an－1＋f（n）时，用累加法求解；

当出现时，用累乘法求解.

3．（2012·

大纲全国卷）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.

（1）求a2，a3；

（2）求数列{an}的通项公式．

（1）由S2＝a2得3（a1＋a2）＝4a2，解得a2＝3a1＝3；

由S3＝a3得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，解得a3＝（a1＋a2）＝6.

（2）由题设知a1＝1.

当n>

1时有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，

整理得an＝an－1.

于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，

…

an－1＝an－2，an＝an－1，

将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.

综上可知，数列{an}的通项公式an＝.

数列函数性质的应用

[例4]　已知数列{an}．

（1）若an＝n2－5n＋4，

①数列中有多少项是负数？

②n为何值时，an有最小值？

并求出最小值．

（2）若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>

an成立．求实数k的取值范围．

[自主解答]　

（1）①由n2－5n＋4<

0，解得1<

n<

4.

∵n∈N*，∴n＝2,3.

∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.

②∵an＝n2－5n＋4＝2－的对称轴方程为n＝.

又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.

（2）由an＋1>

an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<

，即得k>

－3.

函数思想在数列中的应用

（1）数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．

（2）数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：

①作差；

②作商；

③结合函数图象等方法．

4．若数列中的最大项是第k项，则k＝________.

法一：

由题意知，

解得≤k≤1＋.

∵k∈N*，∴k＝4.

法二：

设an＝n（n＋4）n，则

an＋1－an＝（n＋1）（n＋5）n＋1－n（n＋4）n

＝n

＝n.

当n≤3时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an，

当n≥4时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，

故a1＜a2＜a3＜a4，且a4＞a5＞a6＞….

所以数列中最大项是第4项．

4

1个关系——数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．

3类问题——数列通项公式的求法及最大（小）项问题

（1）由递推关系求数列的通项公式常用的方法有：

①求出数列的前几项，再归纳出数列的一个通项公式；

②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用叠加法、累乘法、迭代法．

（2）由Sn与an的递推关系求an的常用思路有：

①利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；

②转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n的关系，再求an.

（3）数列{an}的最大（小）项的求法

可以利用不等式组找到数列的最大项；

利用不等式组找到数列的最小项.

创新交汇——数列与函数的交汇问题

1．数列的概念常与函数、方程、解析几何、不等式等相结合命题．

2．正确理解、掌握函数的性质（如单调性、周期性等）是解决此类问题的关键．

[典例]　（2012·

上海高考）已知f（x）＝.各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f（an）．若a2010＝a2012，则a20＋a11的值是________．

[解析]　∵an＋2＝，又a2010＝a2012＝，

∴a＋a2010＝1.

又an>

0，∴a2010＝.

又a2010＝＝，

∴a2008＝，同理可得a2006＝…＝a20＝.

又a1＝1，∴a3＝，a5＝＝，a7＝＝，

a9＝＝，a11＝＝.

∴a20＋a11＝＋＝.

[答案]　

1．本题具有以下创新点

（1）数列{an}的递推关系式，以函数f（x）＝为载体间接给出；

（2）给出的递推关系式不是相邻两项，即an与an－1（n≥2）之间的关系，而是给出an与an＋2之间的关系式，即奇数项与奇数项、偶数项与偶数项之间的递推关系．

2．解决本题的关键有以下两点

（1）正确求出数列{an}的递推关系式；

（2）正确利用递推公式an＋2＝，分别从首项a1推出a11和从a2010推出a20.

1．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为（　　）

A.　　　B.　　　

C．10　　　D．21

选B　由已知条件可知：

an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）

＝33＋2＋4＋…＋2（n－1）

＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33适合，

故an＝n2－n＋33.

又＝n＋－1，

令f（n）＝n＋－1，f（n）在[1,5]上为减函数，

f（n）在[6，＋∞）上为增函数，又f（5）＝，f（6）＝，

所以f（5）>

f（6）．故f（n）＝的最小值为.

2．已知函数f（x）＝把函数g（x）＝f（x）－x的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为（　　）

A．an＝（n∈N*）B．an＝n（n－1）（n∈N*）

C．an＝n－1（n∈N*）D．an＝2n－2（n∈N*）

选C　据已知函数关系式可得f（x）＝此时易知函数g（x）＝f（x）－x的前几个零点依次为0,1,2，…，代入验证只有C符合.

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1．数列1，，，，，…的一个通项公式an是（　　）

A.　　　　　　　　B.

C.D.

选B　由已知得，数列可写成，，，…，故通项为.

2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn（n∈N*），则“λ<

1”是“数列{an}为递增数列”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

选A　若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>

0，即2n＋1>

2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3>

2λ，即λ<

.由λ<

1可得λ<

，但反过来，由λ<

不能得到λ<

1，因此“λ<

1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．

3．数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大值是（　　）

A．3B．19

选C　因为an＝，运用基本不等式得

≤，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，an＝最大．

4．（2013·

银川模拟）设数列{an}满足：

a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Tr，则T2013的值为（　　）

A．－B．－1

C.D．2

选B　由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而T2013＝（－1）671＝－1.

5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<

ak<

8，则k＝（　　）

A．9B．8

C．7D．6

选B　由an＝＝得an＝2n－10.

由5<

2k－10<

8得7.5<

k<

9，由于k∈N*，所以k＝8.

6．（2012·

福建高考）数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于（　　）

A．1006B．2012

C．503D．0

选A　由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2012＝503×

2＝1006.

二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．

第1个图案中有白色地面砖6块，第2个图案中有10块，第3个图案中有14块，…，后一个图案总比前一个图案多4块白色地面砖，从而第n个图案中有4n＋2块白色地面砖．

4n＋2

8．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2013＝________.

因为a1＝∈，

所以a2＝2a1－1＝2×

－1＝.

因为a2＝∈，

所以a3＝2a2－1＝2×

因为a3＝∈，所以a4＝2a3＝2×

＝.

显然a4＝a1，根据递推关系，逐步代入，得a5＝a2，a6＝a3，…

故该数列的项呈周期性出现，其周期为3，根据上述求解结果，可得a3k＋1＝，a3k＋2＝，a3k＋3＝（k∈N）．

所以a2013＝a3×

671＝a3＝.

9．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f（x）＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.

∵an＋an＋1＝bn，an·

an＋1＝2n，

∴an＋1·

an＋2＝2n＋1，

∴an＋2＝2an.

又∵a1＝1，a1·

a2＝2，∴a2＝2，

∴a2n＝2n，a2n－1＝2n－1（n∈N*），

∴b10＝a10＋a11＝64.

64

三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）

10．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·

a2·

a3…·

an＝n2，求a3＋a5的值．

∵a1·

a3·

…·

an＝n2，

∴a1a2＝4，a1a2a3＝9，解得a3＝.

同理a5＝.∴a3＋a5＝.

11．已知数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.

（1）Sn＝2n2＋3n；

（2）Sn＝2n＋1.

（1）由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×

12＋3×

1＝5，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2＋3n）－[2（n－1）2＋3（n－1）]＝4n＋1.

当n＝1时，4×

1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1.

（2）当n＝1时，a1＝S1＝2＋1＝3，

an＝Sn－Sn－1＝（2n＋1）－（2n－1＋1）＝2n－1.

当n＝1时，21－1＝1≠a1，

故an＝

12．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）判断数列{cn}的增减性．

（1）a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1（n≥2），

故bn＝

（2）∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1

＝＋＋…＋，

∴cn＋1－cn＝＋－

＝<

0.

∴{cn}是递减数列．

1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

（1）－1,7，－13,19，…；

（1）0.8,0.88,0.888，…；

（3），1，，，…；

（4）0,1,0,1，….

（1）符号问题可通过（－1）n或（－1）n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：

后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝（－1）n（6n－5）．

（2）将数列变形为（1－0.1），（1－0.01），（1－0.001），…

故an＝.

（3）将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，

故可得它的一个通项公式为an＝.

（4）an＝或

an＝或an＝.

2．已知数列{an}的通项公式an＝（n＋1）n（n∈N*），试问数列{an}有没有最大项？

若有，求最大项和最小项的项数；

若没有，说明理由．

∵an＋1－an＝（n＋2）n＋1－（n＋1）n＝n·

，

当n<

9时，an＋1－an>

0，即an＋1>

an；

当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

9时，an＋1－an<

0，即an＋1<

故a1<

a2<

a3<

…<

a9＝a10>

a11>

a12>

∴数列中有最大项，最大项为第9、10项，

即a9＝a10＝.

3．设数列{an}的前n项和为Sn，点（n∈N*）均在函数y＝3x－2的图象上．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<

对所有n∈N*都成立的最小正整数m.

（1）依题意得，＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－[3（n－1）2－2（n－1）]＝6n－5；

当n＝1时，a1＝S1＝3×

12－2×

1＝1＝6×

1－5.

所以an＝6n－5（n∈N*）．

（2）由

（1）得bn＝

＝＝，

故Tn＝i

＝

因此，使得<

（n∈N*）成立的m必须且仅需满足≤，即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10.

4．（2012·

浙江高考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.

（1）求an，bn；

（2）求数列{an·

bn}的前n项和Tn.

（1）由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，易知当n＝1时也满足通式an＝4n－1，

所以an＝4n－1，n∈N*.

由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.

（2）由

（1）知an·

bn＝（4n－1）·

2n－1，n∈N*，

所以Tn＝3＋7×

2＋11×

22＋…＋（4n－1）·

2n－1，

2Tn＝3×

2＋7×

22＋…＋（4n－5）·

2n－1＋（4n－1）·

2n，

2Tn－Tn＝（4n－1）2n－[3＋4（2＋22＋…＋2n－1）]＝（4n－5）2n＋5.

故Tn＝（4n－5）2n＋5，n∈N*.

1.理解等差数列的概念；

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；

4.了解等差数列与一次函数的关系.

1.以