高考数学 第九节 幂函数教材.docx
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高考数学第九节幂函数教材
2019-2020年高考数学第九节幂函数教材
教材面面观
1．一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
注意 幂函数中底数是自变量，幂指数是常数，这与指数函数是不同的，指数函数中底数是常数，幂指数是自变量．
答案 y＝xα
2．5个最简单的幂函数的图象与性质：
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝
定义域
值域
奇偶性
单调性
图象
过定点
答案
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上递增
在（－∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增
在R上递增
在（0，＋∞）
在（－∞，0）和（0，＋∞）上递减
图象
过定点
（1,1）
考点串串讲
1．幂函数的图象
幂函数y＝xα，当α＝，，1,2,3时的图象见图
（1）所示；
当α＝－2，－1，－时的图象见图
（2）所示；
2．幂函数的性质
（1）α＞0时；
①图象都通过点（0,0），（1,1）；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在（0，＋∞）上是增函数．
（2）α＜0时；
①图象都通过点（1,1）；
②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在（0，＋∞）上是减函数．
③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．
3．比较大小
利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，具体方法如下：
（1）当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；
（2）当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；
（3）当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，从而确定两个幂值的大小；
（4）比较多个幂值的大小一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.
典例对对碰
题型一幂函数定义
例1若幂函数y＝（m2＋3m－17）x4m－m2的图象不过原点，求实数m的取值范围．
解析 依题意，得
⇒
所以m＝－6.
点评 问题切入点幂函数的形式是y＝x2.因此m2＋3m－17＝1，另一方面图象不过原点，必有4m－m2＜0，从而求出m.熟练掌握并理解幂函数定义及性质是解题的关键.
变式迁移1
函数f（x）＝（m2－m－1）xm2－2m－3是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上是减函数，则实数m的值为（ ）
A．2 B．3
C．4D．5
答案 A
解析 由题知m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再验证m2－2m－3＜0，得m＝2.故选A.
题型二定义域问题
例2求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；（3）；
（4）.
解析 把分数指数幂化为根式
（1）＝，其定义域为R；
（2）＝，其定义域为[0，＋∞）；
（3）＝，其定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；
（4）＝，其定义域为（0，＋∞）．
点评 注意：
①分母不能为0；②偶次根号下必须为非负实数；③零的零次方没有意义；④奇次根号下不作限制.
变式迁移2
设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________．
答案 1,3
解析 定义域为R说明幂指数是正数且幂指数不等于，是奇函数说明α＝1,3.
题型三幂函数的图象
例3已知点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（－2，）在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有
（1）f（x）＞g（x）；
（2）f（x）＝g（x）；
（3）f（x）＜g（x）．
分析 首先要理解幂函数是形式定义，y＝xα，然后根据函数图象可以解决．
解析 设f（x）＝xα，因为点（，2）在幂函数f（x）的图象上，将点（，2）代入f（x）＝xα中，得2＝（）a，解得a＝2，∴f（x）＝x2；
设g（x）＝xb，∵点（－2，）在幂函数g（x）的图象上，将点（－2，）代入g（x）＝xb中，得＝（－2）b，解得b＝－2，∴g（x）＝x－2.
在同一坐标系下作出f（x）＝x2与g（x）＝x－2的图象如图所示．
由图象可知：
（1）当x＞1，或x＜－1时，f（x）＞g（x）；
（2）当x＝1，或x＝－1时，f（x）＝g（x）；
（3）当－1＜x＜1，且x≠0时，f（x）＜g（x）．
点评
（1）幂函数的一般形式是y＝xα（α为常数），要求幂函数只要解出α即可；
（2）函数的图象在解方程和不等式时有着重要的作用；（3）本题注意g（x）＝x－2的定义域是{x|x≠0}，即求幂函数的解析式问题的关键是掌握幂函数的定义特征.
变式迁移3
如图所示为幂函数y＝xαi（i＝1,2,3,4）在第一象限内的图象，则α1，α2，α3，α4按由小到大的顺序排列为________．
答案 α3＜α2＜α4＜α1
解析 首先根据图象特点和幂函数的单调性，得α1＞0，α4＞0，α2＜0，α3＜0，令x＝a且a＞1，根据函数图象特点可知aα3＜aα2＜aα4＜aα1，由于指数函数y＝ax（a＞1）是单调递增函数，故α3＜α2＜α4＜α1.
题型四比较大小问题
例4已知（0.71.3）m＜（1.30.7）m，求m的取值范围．
解析 根据幂函数y＝x1.3知0＜0.71.3＜1，由幂函数y＝x0.7知，1.30.7＞1,0.71.3＜1.30.7，对于函数y＝xm，∵（0.71.3）m＜（1.30.7）m，∴m＞0.
点评 恰当地构造函数是解决本题的关键．
变式迁移4
设＜（）b＜（）a＜1，则下列不等关系成立的是（ ）
A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa
答案 C
解析 ＜（）b＜（）a＜1⇒1＞b＞a＞0，在A和B中，y＝ax（0＜a＜1）在定义域内是单调递减的，则aa＞ab，所以结论不成立；在C中，y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）内是单调递增的，又a＜b⇒aa＜ba，即ab＜aa＜ba.故选C.
题型五幂函数的性质
例5讨论函数的定义域、奇偶性，作出图象，并由图象指出函数的单调性．
解析 函数＝，定义域为实数集R.
∵f（－x）＝＝＝（x2）＝＝f（x）．
∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称．
下面用列表法作出函数y＝x在（0，＋∞）上的图象．
列表：
x
0
1
2
3
4
…
y
0
1
1.59
2.08
2.52
…
描点：
连线：
画出y轴右边部分，再由对称性画出y轴左侧部分如图所示．
由图象可以看出，函数y＝x在区间（－∞，0）上是减函数，在区间（0，＋∞）上是增函数．
点评 描点法先要求出函数的定义域.
变式迁移5
给出关于幂函数的以下命题：
①幂函数的图象都经过点（1,1）；
②幂函数的图象都经过点（0,0）；
③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；
④幂函数的图象不可能经过第四象限；
⑤幂函数在第一象限内一定有图象；
⑥幂函数在（－∞，0）上不可能是增函数，其中正确的命题有________．
答案 ①④⑤
解析 命题①显然正确；只有当α＞0时幂函数的图象才能经过原点（0,0），若α＜0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；幂函数y＝x就是一个非奇非偶函数，所以命题③错误；由于在y＝xα（α∈R）中，只要x＞0，必有y＞0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故④正确；命题⑤也正确；幂函数y＝x3在（－∞，0）上是增函数，故命题⑥错误．因此正确的命题有①④⑤.
题型六幂函数的综合应用
例6已知幂函数f（x）＝xm2－2m－3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，＋∞）上是单调减函数．
（1）求f（x）；
（2）讨论F（x）＝a－的奇偶性．
解析
（1）＝xm（m－2）－3
由题意知m（m－2）为奇数且m2－2m－3<0，又m∈Z，
∴m＝1，∴f（x）＝x－4
（2）F（x）＝a－＝a·x－2－b·x3
∵y＝x－2是偶函数，y＝x3为奇函数，
∴讨论如下：
①a≠0且b≠0时，F（x）是非奇非偶函数；②a＝0且b≠0时，F（x）是奇函数；③a≠0且b＝0时，F（x）是偶函数；④a＝b＝0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数.
变式迁移6
函数y＝（mx2＋4x＋m＋2）－＋（x2－mx＋1）的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－1,2）
B．（－1，＋∞）
C．（－2,2）
D．（－1－，－1＋）
答案 B
解析 函数y＝（mx2＋4x＋m＋2）－＋（x2－mx＋1）有意义的条件是mx2＋4x＋m＋2＞0.因此，要使函数y＝（mx2＋4x＋m＋2）－＋（x2－mx＋1）的定义域为全体实数，需满足mx2＋4x＋m＋2＞0对一切实数都成立．
即，解得m＞－1.
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题型七幂函数的判定
例7下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）
A．y＝－x3B．y＝x－3
C．y＝2x3D．y＝x3－1
分析 幂函数的定义是形式上的，即只有形如y＝xα（α是常数）的函数才是幂函数，本例中其余选项中的函数只是幂函数类函数．
解析 形如y＝xα（α是常数）的函数叫做幂函数，选B.
答案 B
变式迁移7
给出下列函数：
①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝，其中是幂函数的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
答案 B
解析 可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的四个函数中，只有y＝＝x－3和y＝＝x符合幂函数的定义，是幂函数，其余两个都不是幂函数．所以选B.
题型八数形结合题
例8当k∈（0，）时，试研究方程＝kx的解的个数．
分析 令y＝，y＝kx，通过两曲线交点个数来判断方程解的个数．
解析 令y1＝，y2＝kx.
在同一直角坐标系下．
先作过y1＝的图象，如图所示．
再研究当k∈（0，）时，直线y2＝kx与上述图象交点的个数，显然该直线与曲线x＜1的部分必有一交点，对于x＞1的部分，将y＝kx代入y2＝1－x（y＞0），得k2x2－x＋1＝0，Δ＝1－4k2，当k∈（0，）时，Δ＞0，所以y＝kx与曲线y2＝x－1（x＞1）有两交点．
所以直线与曲线只有三个交点．
点评 数形结合思想的恰当引入使判断方程根的个数转化为检验曲线交点个数问题，直观形象，易于理解．
数形结合思想是高考考查的热点之一，本题将方程问题转化为函数问题，化繁为简，化难为易，深刻体现了数学基本思想在解题中的重要地位.
变式迁移8
已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜.其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③
C．②④D．②③
答案 D
解析 依题意，设f（x）＝xα，则有（）α＝，即（）α＝，所以α＝，于是.
由于函数在定义域[0，＋∞）内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（
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