高考数学 第九节 幂函数教材.docx

1、高考数学 第九节 幂函数教材2019-2020年高考数学 第九节 幂函数教材教 材 面 面 观1一般地，函数_叫做幂函数，其中x是自变量，是常数注意幂函数中底数是自变量，幂指数是常数，这与指数函数是不同的，指数函数中底数是常数，幂指数是自变量答案yx25个最简单的幂函数的图象与性质：函数yxyx2yx3yxy定义域值域奇偶性单调性图象过定点答案函数yxyx2yx3yxy定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数 偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上递增在(，0) 上递减，在(0，)上递增在R上递增在(0，)在(，0) 和(0，) 上递减图象过定点(1,1)考

2、 点 串 串 讲1幂函数的图象幂函数yx，当，1,2,3时的图象见图(1)所示；当2，1，时的图象见图(2)所示；2幂函数的性质(1)0时；图象都通过点(0,0)，(1,1)；在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，)上是增函数(2)0时；图象都通过点(1,1)；在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，)上是减函数在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近3比较大小利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，具体方法如下：(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；(3)当幂

3、的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，从而确定两个幂值的大小；(4)比较多个幂值的大小一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.典 例 对 对 碰题型一 幂函数定义例1若幂函数y(m23m17)x4mm2的图象不过原点，求实数m的取值范围解析依题意，得所以m6.点评问题切入点幂函数的形式是yx2.因此m23m171，另一方面图象不过原点，必有4mm20，从而求出m.

4、熟练掌握并理解幂函数定义及性质是解题的关键.变式迁移1函数f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在x(0，)上是减函数，则实数m的值为()A2B3C4 D5答案A解析由题知m2m11，得m1或m2，再验证m22m30，得m2.故选A.题型二 定义域问题例2求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)；(4).解析把分数指数幂化为根式(1) ，其定义域为R；(2) ，其定义域为0，)；(3) ，其定义域为(，0)(0，)；(4) ，其定义域为(0，)点评注意：分母不能为0；偶次根号下必须为非负实数；零的零次方没有意义；奇次根号下不作限制.变式迁移2设1,1，3，则使函数yx的定义域为R且为奇

5、函数的所有的值为_答案1,3解析定义域为R说明幂指数是正数且幂指数不等于，是奇函数说明1,3.题型三 幂函数的图象例3已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)分析首先要理解幂函数是形式定义，yx，然后根据函数图象可以解决解析设f(x)x，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，将点(，2)代入f(x)x中，得2()a，解得a2，f(x)x2；设g(x)xb，点(2，)在幂函数g(x)的图象上，将点(2，)代入g(x)xb中，得(2)b，解得b2，g(x)x2.在同一坐标系

6、下作出f(x)x2与g(x)x2的图象如图所示由图象可知：(1)当x1，或x1时，f(x)g(x)；(2)当x1，或x1时，f(x)g(x)；(3)当1x1，且x0时，f(x)g(x)点评(1)幂函数的一般形式是yx(为常数)，要求幂函数只要解出即可；(2)函数的图象在解方程和不等式时有着重要的作用；(3)本题注意g(x)x2的定义域是x|x0，即求幂函数的解析式问题的关键是掌握幂函数的定义特征.变式迁移3如图所示为幂函数yxi(i1,2,3,4)在第一象限内的图象，则1，2，3，4按由小到大的顺序排列为_答案3241解析首先根据图象特点和幂函数的单调性，得10，40，20，30，令xa且a1

7、，根据函数图象特点可知a3a2a4a1，由于指数函数yax(a1)是单调递增函数，故3241.题型四 比较大小问题例4已知(0.71.3)m(1.30.7)m，求m的取值范围解析根据幂函数yx1.3知00.71.31，由幂函数yx0.7知，1.30.71,0.71.31.30.7，对于函数yxm，(0.71.3)m(1.30.7)m，m0.点评恰当地构造函数是解决本题的关键变式迁移4设()b()a1，则下列不等关系成立的是()Aaaabba BaabaabCabaaba Dabbaaa答案C解析()b()a11ba0，在A和B中，yax(0a1)在定义域内是单调递减的，则aaab，所以结论不成

8、立；在C中，yxn(n0)在(0，)内是单调递增的，又abaaba，即abaaba.故选C.题型五 幂函数的性质例5讨论函数的定义域、奇偶性，作出图象，并由图象指出函数的单调性解析函数，定义域为实数集R.f(x)(x2)f(x)函数为偶函数，其图象关于y轴对称下面用列表法作出函数yx在(0，)上的图象列表：x01234y011.592.082.52描点：连线：画出y轴右边部分，再由对称性画出y轴左侧部分如图所示由图象可以看出，函数yx在区间(，0)上是减函数，在区间(0，)上是增函数点评描点法先要求出函数的定义域.变式迁移5给出关于幂函数的以下命题：幂函数的图象都经过点(1,1)；幂函数的图象

9、都经过点(0,0)；幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；幂函数的图象不可能经过第四象限；幂函数在第一象限内一定有图象；幂函数在(，0)上不可能是增函数，其中正确的命题有_答案解析命题显然正确；只有当0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若0，则幂函数的图象不过原点，故命题错误；幂函数yx就是一个非奇非偶函数，所以命题错误；由于在yx(R)中，只要x0，必有y0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故正确；命题也正确；幂函数yx3在(，0)上是增函数，故命题错误因此正确的命题有.题型六 幂函数的综合应用例6已知幂函数f(x)xm22m3(mZ)为偶函数，且在区间(0，)上是单调减函数(1)求f

10、(x)；(2)讨论F(x)a的奇偶性解析(1)xm(m2)3由题意知m(m2)为奇数且m22m30，又mZ，m1，f(x)x4(2)F(x)aax2bx3yx2是偶函数，yx3为奇函数，讨论如下：a0且b0时，F(x)是非奇非偶函数；a0且b0时，F(x)是奇函数；a0且b0时，F(x)是偶函数；ab0时，F(x)既是奇函数，又是偶函数.变式迁移6函数y(mx24xm2)(x2mx1)的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是()A(1,2)B(1，)C(2,2)D(1，1)答案B解析函数y(mx24xm2)(x2mx1)有意义的条件是mx24xm20.因此，要使函数y(mx24xm2)(x2m

11、x1)的定义域为全体实数，需满足mx24xm20对一切实数都成立即，解得m1.【教师备课资源】题型七 幂函数的判定例7下列所给出的函数中，是幂函数的是()Ayx3 Byx3Cy2x3 Dyx31分析幂函数的定义是形式上的，即只有形如yx(是常数)的函数才是幂函数，本例中其余选项中的函数只是幂函数类函数解析形如yx(是常数)的函数叫做幂函数，选B.答案B变式迁移7给出下列函数：y；y3x2；yx4x2；y，其中是幂函数的有 ()A1个 B2个C3个 D4个答案B解析可以对照幂函数的定义进行判断在所给出的四个函数中，只有yx3和yx符合幂函数的定义，是幂函数，其余两个都不是幂函数所以选B.题型八

12、数形结合题例8当k(0，)时，试研究方程kx的解的个数分析令y，ykx，通过两曲线交点个数来判断方程解的个数解析令y1，y2kx.在同一直角坐标系下先作过y1的图象，如图所示再研究当k(0，)时，直线y2kx与上述图象交点的个数，显然该直线与曲线x1的部分必有一交点，对于x1的部分，将ykx代入y21x(y0)，得k2x2x10，14k2，当k(0，)时，0，所以ykx与曲线y2x1(x1)有两交点所以直线与曲线只有三个交点点评数形结合思想的恰当引入使判断方程根的个数转化为检验曲线交点个数问题，直观形象，易于理解数形结合思想是高考考查的热点之一，本题将方程问题转化为函数问题，化繁为简，化难为易，深刻体现了数学基本思想在解题中的重要地位.变式迁移8已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：x1f(x1)x2f(x2)；x1f(x1)x2f(x2)；.其中正确结论的序号是()A BC D答案D解析依题意，设f(x)x，则有()，即()，所以 ，于是.由于函数在定义域0，)内单调递增，所以当x1x2时，必有f(x1)f(x2)，从而有x1f(x1)x2f(