春季高考北京卷理科数学试题及答案.docx

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春季高考北京卷理科数学试题及答案

2005年普通高等学校春季招生考试（北京卷）

数学试卷（理工农医类）

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、的共轭复数是（）

A．B．C．D．

2、函数y=|log2x|的图象是

3、有如下三个命题：

①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；

②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；

③过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直。

其中正确命题的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

4、如果函数的最小正周期是T，且当时取得最大值，那么（）

A．B．C．D．

5、设，“”是“曲线为椭圆”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件

6、已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是（）

A．B．C．D．

7、在中，已知，那么一定是（）

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

8、若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9、=__________。

10、已知，那么的值为_____，的值为_____。

11、若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为__________。

12、如图，正方体的棱长为，将该正方体沿对角面切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________。

13、从这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的二次函数共有__________个，其中不同的偶函数共有__________个。

（用数字作答）

14、若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是__________；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是__________。

三、解答题：

本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15、（本小题满分12分）设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N。

求：

（1）集合M，N；

（2）集合，。

16、（本小题满分14分）如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、。

将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M。

求：

（1）二面角的大小；

（2）异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）。

17、（本小题满分14分）已知是等比数列，，；是等差数列，，。

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和的公式；

（3）设，，其中，试比较与的大小，并证明你的结论。

18、（本小题满分14分）如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点。

（1）写出直线的截距式方程；

（2）证明：

；

（3）当时，求的大小。

19、（本小题满分13分）经过长期观测得到：

在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：

。

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？

最大车流量为多少？

（精确到千辆/小时）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？

20、（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：

，其中。

为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：

记，，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线。

（1）求和的值；

（2）设的斜率为，判断的大小关系；

（3）证明：

当时，；

（4）求由函数与的图象所围成图形的面积（用表示）。

2005年普通高等学校春季招生考试

数学（理工农医类）（北京卷）参考答案

一、选择题：

本大题主要考查基本知识和基本技能．每小题5分，满分40分．

1．D2．A3．C4．A5．B6．C7．B8．A

二、填空题：

本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．

9．10．11．12．13．186

14．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

.

16．本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力．满分14分．

解（Ⅰ）连接AM，A1G

∵G是正三角形ABC的中心，

且M为BC的中点，

∴A，G，M三点共线，AM⊥BC．

∵B1C1∥BC，

∴B1C1⊥AM于G，

即GM⊥B1C1，GA1⊥B1C1，

∴∠A1GM是二面角A1—B1C1—M的平面角．

∵点A1在平面BB1C1C上的射影为M，

∴A1M⊥MG，∠A1MG=90°

在Rt△A1GM中，由A1G=AG=2GM得∠A1GM=90°

即二面角A1—B1C1—M的大小是60°

（Ⅱ）过B1作C1C的平行线交BC于P，则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角．

由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP，

PM=BM—BP=A1B1=AB1=2．

∵A1M⊥面BB1C1C于M，

∴A1M⊥BC，∠A1MP=90°．

在Rt△A1GM中，A1M=A1G·

在Rt△A1MP中，

在△A1B1P中，由余弦定理得

，

∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos

17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．满分14分．

解：

（Ⅰ）设{an}的公比为q，由a3=a1q2得

（Ⅱ）

（Ⅲ）b1,b4,b7,…,b3n-2组成以3d为公差的等差数列，所以

18．本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，满分14分．

（Ⅰ）解：

直线l的截距式方程为

①

（Ⅱ）证明：

由①及y2=2px消去x可得

②

点M，N的纵坐标y1,y2为②的两个根，故

（Ⅲ）解：

设OM，ON的斜率分别为k1,k2,

19．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分13分．

解：

（Ⅰ）依题意，

（Ⅱ）由条件得

整理得v2－89v+1600<0,

即（v－25）（v－64）<0,

解得25

答：

当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．

20．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，满分13分．

（Ⅰ）解：

（Ⅱ）解：

因为a1

所以k1

（Ⅲ）证明：

由于f（x）的图象是连接各点的折线，要证明

下面证明

证法一：

对任何n（n=1,2,3,4）,

证法二：

对任何n（n=1,2,3,4）

（Ⅳ）解：

设S1为[0，1]上折线f（x）与x轴及直线x=1所围成图形的面积，则